人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）学案设计

【新教材】4.5.1  函数的零点与方程的解

1.了解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的联系.

2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间.

3.能借助函数单调性及图象判断零点个数．

1.数学抽象：函数零点的概念；

2.逻辑推理：借助图像判断零点个数；

3.数学运算：求函数零点或零点所在区间；

4.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的思想总结函数零点概念.

重点：零点的概念，及零点与方程根的联系；

难点：零点的概念的形成．

一、 预习导入

阅读课本142-143页，填写。

1．函数的零点

对于函数y＝f(x)，把使______________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

[点睛]　函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．

2．方程、函数、图象之间的关系

方程f(x)＝0______________⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)______________．

3．函数零点的存在性定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是______________的一条曲线，并且有______________.那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得______________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

[点睛]　定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)＜0.

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)所有的函数都有零点．(　　)

(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1,0)(x2,0)．(　　)

(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0.(　　)

2．函数f(x)＝log2x的零点是(　　)

A．1　　   B．2　    C．3  D．4

3．下列各图象表示的函数中没有零点的是(　　)

4．函数f(x)＝x2－5x的零点是________．

题型一    求函数的零点

例1　判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．

(1) f (x)＝；(2) f (x)＝x2＋2x＋4；

(3) f (x)＝2x－3；(4) f (x)＝1－log3x.

跟踪训练一

1．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)

A. ，0　　　　　　　　 B．－2,0

C.    D．0

题型二   判断函数零点所在区间

例2 函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是

A．(1,2)    B．(2,3)

C．(3,4)    D．(e，＋∞)

跟踪训练二

1.若函数f(x)＝x＋(a∈R)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是(　　)

A．－2　　  　      B．0　　　     　C．1　　　   　   D．3

题型三   判断函数零点的个数

例3 判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．

跟踪训练三

1.函数f(x)＝的图象和函数g(x)＝log2x的图象的交点个数是________．

1．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是(　　)

A．－，－1　　　　　　　　 B. ，1

C. ，－1    D．－，1

2．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为(　　)

A．2   B．－2

C．±2   D．3

3．函数f(x)＝2x－的零点所在的区间是(　　)

A．(1，＋∞)   B.

C.   D.

4．若f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为________．

5．函数f(x)＝ln x＋3x－2的零点个数是________．

6．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．

(1)f(x)＝－x2＋2x－1；

(2)f(x)＝x4－x2；

(3)f(x)＝4x＋5；

(4)f(x)＝log3(x＋1)．

答案

小试牛刀

1．(1)×　(2)×　(3)×

2．A

3. D

4. 0,5

自主探究

例1　【答案】（1）-3（2）不存在（3）log23（4）3．

【解析】 (1)令＝0，解得x＝－3，所以函数f(x)＝的零点是－3.

(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0，

所以方程x2＋2x＋4＝0无实数根，

所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．

(3)令2x－3＝0，解得x＝log23.

所以函数f(x)＝2x－3的零点是log23.

(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，

所以函数f(x)＝1－log3x的零点是3.

跟踪训练一

1．【答案】D

【解析】当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.当x＞1时，令1＋log2x＝0，得x＝，此时无解．综上所述，函数零点为0.

例2 【答案】B

【解析】　∵f(1)＝－2＜0，f(2)＝ln 2－1＜0，∴在(1,2)内f(x)无零点，A错；

又f(3)＝ln 3－＞0，∴f(2)·f(3)＜0，∴f(x)在(2,3)内有零点．

跟踪训练二

1.【答案】A

【解析】f(x)＝x＋(a∈R)的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2时，f(1)＝1－2＝－1＜0，f(2)＝2－1＝1＞0.故f(x)在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A.

例3 【答案】有一个零点

【解析】[法一　图象法]

函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为

函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数．

在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．

由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点，从而ln x＋x2－3＝0有一个根，

即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点．

[法二　判定定理法]

由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2＜0，

f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0，

∴f(1)·f(2)＜0，又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，

又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．

跟踪训练三

1.【答案】3

【解析】作出g(x)与f(x)的图象如图，由图知f(x)与g(x)有3个交点．

当堂检测 

1-3、BCB

4、(－1,0)  

5、1

6、【答案】（1）1 （2）0，－1和1（3）不存在零点   （4）0.

【解析】(1)令－x2＋2x－1＝0，解得x1＝x2＝1，

所以函数f(x)＝－x2＋2x－1的零点为1.

(2)因为f(x)＝x2(x－1)(x＋1)＝0，所以x＝0或x＝1或x＝－1，

故函数f(x)＝x4－x2的零点为0，－1和1.

(3)令4x＋5＝0，则4x＝－5＜0，方程4x＋5＝0无实数解．

所以函数f(x)＝4x＋5不存在零点．

(4)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，

所以函数f(x)＝log3(x＋1)的零点为0.