人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质导学案

【新教材】5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（人教A版）

1.了解周期函数与最小正周期的意义;

2.了解三角函数的周期性和奇偶性;

3.会利用周期性定义和诱导公式求简单三角函数的周期;

4.借助图象直观理解正、余弦函数在[0,2π]上的性质(单调性、最值、图象与x轴的交点等);

5.能利用性质解决一些简单问题.

1.数学抽象：理解周期函数、周期、最小正周期等的含义；

2.逻辑推理： 求正弦、余弦形函数的单调区间；

3.数学运算：利用性质求周期、比较大小、最值、值域及判断奇偶性.

4.数学建模：让学生借助数形结合的思想，通过图像探究正、余弦函数的性质.

重点：通过正弦曲线、余弦曲线这两种曲线探究正弦函数、余弦函数的性质；

难点：应用正、余弦函数的性质来求含有cosx,sinx的函数的单调性、最值、值域及对称性.

一、    预习导入

阅读课本201-205页，填写。

1.定义域

正弦函数、余弦函数的定义域都是_______________.

2.值域

(1)值域：正弦函数、余弦函数的值域都是_______________.

(2)最值

正弦函数

①当且仅当_______________时,取得最大值

②当且仅当_______________时,取得最小值

余弦函数

①当且仅当_______________时,取得最大值

②当且仅当_______________时,取得最小值

3.周期性

定义：对于函数,如果存在一个_______________,使得当取定义域内的每一个值时,

都有_______________,那么函数就叫做周期函数,非零常数_______________叫做这个函数的周期.

对于一个周期函数,如果在它所有的周期中存在一个_______________,那么这个_______________就叫做的最小正周期.

根据上述定义,可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,都是它的周期,最小正周期是.

4.奇偶性

()为_______________,其图象_______________对称

()为_______________,其图象_______________对称

5.对称性

正弦函数的对称中心是_______________,

对称轴是直线_______________;

余弦函数的对称中心是_______________,

对称轴是直线_______________.

(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴(中轴线)的交点).

6.单调性

正弦函数在每一个闭区间_______________上都是增函数,其值从增大到;在每一个闭区间_______________上都是减函数,其值从减小到.

余弦函数在每一个闭区间_______________上都是增函数,其值从增加到;余弦函数在每一个闭区间_______________上都是减函数,其值从减小到.

1．判断正误

(1)存在x∈R满足sin x＝.            (　　)

(2)函数y＝cos 2x在上是减函数．      (　　)

(3)在区间[0,2π]上，函数y＝cos x仅在x＝0时取得最大值1.    (　　)

2．设函数f(x)＝sin，x∈R，则f(x)是    (　　)

A．最小正周期为π的奇函数

B．最小正周期为π的偶函数

C．最小正周期为的奇函数

D．最小正周期为的偶函数

3．函数y＝sin x和y＝cos x都是减函数的区间是(　　)

A.(k∈Z)

B.(k∈Z)

C.(k∈Z)

D.(k∈Z)

4．已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论错误的是(　　)

A．函数f(x)的最小正周期为π

B．函数f(x)是偶函数

C．函数f(x)的图象关于直线x＝对称

D．函数f(x)在区间上是增函数

题型一    正、余弦函数的周期性

例1  求下列三角函数的最小正周期:

(1)y=3cos x,x∈R;                (2)y=sin 2x,x∈R;

 (3)y=2sin(),x∈R;        (4)y=|cos x|,x∈R.　

跟踪训练一

1.（1）函数y=2sin (3x+),x∈R的最小正周期是(　　)

(A) (B) (C) (D)π

(2)函数y=|sin 2x|(x∈R)的最小正周期为　　　　. 

题型二  化简、求值

例2判断下列函数的奇偶性:

(1)f(x)=sin 2x;(2)f(x)=sin(+);

(3)f(x)=sin |x|;(4)f(x)=+.

跟踪训练二

1.下列函数中,最小正周期为π的奇函数是(　　)

(A)y=sin(2x+)    (B)y=cos(2x+)

(C)y=sin(2x+)    (D)y=sin(x+)

2.定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f 等于                                                          (　　)

A．－      B．1      C．－    D．

题型三   正、余弦函数的单调性

例3 求函数y=sin(x+)的单调区间.

跟踪训练三

1．求函数y＝2sin的单调增区间．

题型四    正弦函数、余弦函数单调性的应用

例4  比较下列各组中函数值的大小：

（1）cos与cos；

(2)sin 194°与cos 160°.

跟踪训练四

1．下列结论正确的是         (　　)

A．sin 400°>sin 50°　　 B．sin 220°<sin 310°

C．cos 130°>cos 200°   D．cos(－40°)<cos 310°

题型五   正、余弦函数的值域与最值问题

例5  求下列函数的值域:

(1)y=cos(x+),x∈[0,];

(2)y=cos2x-4cos x+5.

跟踪训练五

1. 函数y=2cos2x+5sin x-4的值域为　　　　. 

2.设f(x)=acos x+b的最大值是1,最小值是-3,则g(x)=bsin(ax+)的最大值为　　　　. 

1．若函数（）是上的偶函数，则的值是（    ）

A.0 B. C. D.

2．若函数（）的最小正周期为,则（    ）

A.5 B.10 C.15 D.20

3．已知，关于的下列结论中错误的是（    ）

A.的一个周期为 B.在单调递减

C.的一个零点为 D.的图象关于直线对称

4．求下列函数的单调递增区间．

（1）；

（2）．

5．比较下列各组数的大小．

（1）与；

（2）；

（3）与．

答案

小试牛刀

1．(1)×　(2)×　(3)×

2．B.

3．A.

4. C.

自主探究

例1 【答案】(1) 2π；(2)π；(3) 4π；(4)π.

【解析】:(1)因为3cos(x+2π)=3cos x,所以由周期函数的定义知,y=3cos x的最小正周期为2π.

(2)因为sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x,所以由周期函数的定义知,y=sin2x的最小正周期为π.

(3)因为,所以由周期函数的定义知,的最小正周期为4π.

(4)y=|cos x|的图象如图(实线部分)所示.由图象可知,y=|cos x|的最小正周期为π.

跟踪训练一

1.【答案】(1)B；(2) ．

【解析】　(2)作出y=|sin 2x|(x∈R)的图象(如图所示).

由图象可知,函数y=|sin 2x|(x∈R)的最小正周期为.

例2【答案】(1) 奇函数;(2) 偶函数;(3) 偶函数;(4) 既是奇函数又是偶函数.

【解析】(1)显然x∈R,f(-x)=sin(-2x)=-sin 2x=-f(x),所以f(x)=sin 2x是奇函数.

(2)因为x∈R,f(x)=sin(+)=-cos,

所以f(-x)=-cos(-)=-cos=f(x),

所以函数f(x)=sin(+)是偶函数.

(3)显然x∈R,f(-x)=sin |-x|=sin |x|=f(x),

所以函数f(x)=sin |x|是偶函数.

(4)由得cos x=1,所以x=2kπ(k∈Z),关于原点对称,此时f(x)=0,故该函数既是奇函数又是偶函数.

跟踪训练二

1.【答案】B

【解析】　A中,y=sin(2x+),即y=cos 2x,为偶函数;C,D中,函数为非奇非偶函数;B中,y=cos(2x+)=-sin 2x,是奇函数,T==π,故选B.

2.【答案】D

【解析】因为f(x)的最小正周期为T＝π，

所以f ＝f ＝f ，

又y＝f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．

所以f ＝f ＝f ＝sin＝.

例3【答案】略.

【解析】当-+2kπ≤x+≤+2kπ(k∈Z)时函数单调递增,所以函数的单调递增区间为[-+,+](k∈Z).当+2kπ≤x+≤+2kπ(k∈Z)时函数单调递减,所以函数的单调递减区间为[+,+](k∈Z).

跟踪训练三

1．【答案】略.

【解析】y＝2sin＝－2sin，令z＝x－，则y＝－2sin z，求y＝－2sin z的增区间，即求y＝sin z的减区间，所以＋2kπ≤z≤＋2kπ(k∈Z)，

即＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)，解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，

所以y＝2sin的单调增区间是(k∈Z)．

例4 【答案】（1）cos＜cos；（2）sin 194°＞cos 160°.

【解析】（1）cos＝cos＝cos，

cos＝cos＝cos，

∵π＜＜＜2π，且函数y＝cos x在[π，2π]上单调递增，

∴cos＜cos，即cos＜cos.

(2)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，

cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°.

∵0°＜14°＜70°＜90°，且函数y＝sin x在0°＜x＜90°时单调递增，∴sin 14°＜sin 70°.

从而－sin 14°＞－sin 70°，即sin 194°＞cos 160°.

跟踪训练四

1．【答案】C.

【解析】由cos 130°＝cos(180°－50°)＝－cos 50°，cos 200°＝cos(180°＋20°)＝－cos 20°，因为当0°<x<90°时，函数y＝cos x是减函数，所以cos 50°<cos 20°，所以－cos 50°>－cos 20°，即cos 130°>cos 200°.

例5  【答案】（1）[-,] ；（2）[2,10].

【解析】(1)由x∈[0,]可得

x+∈[,],

函数y=cos x在区间[,]上单调递减,所以函数的值域为[-,].

 (2)y=cos2x-4cos x+5,令t=cos x,

则-1≤t≤1.

y=t2-4t+5=(,

当t=-1时,函数取得t-2)2+1最大值10;

t=1时,函数取得最小值2,所以函数的值域为[2,10].

跟踪训练五

1.【答案】[-9,1].

【解析】(1)y=2cos2x+5sin x-4=2(1-sin2x)+5sin x-4

=-2sin2x+5sin x-2

=-2(sin x-)2+.

故当sin x=1时,ymax=1;

当sin x=-1时,ymin=-9,

故y=2cos2x+5sin x-4的值域为[-9,1].

2.【答案】1.

【解析】由题意a≠0,当a>0时,所以

此时g(x)=-sin(2x+),其最大值为1.

当a<0时,所以

此时g(x)=-sin(-2x+),其最大值为1.综上知,g(x)的最大值为1.

当堂检测 

1-3．CBB

4．【答案】（1）（）；（2）（）.

【解析】（1）由题意可知函数的单调递减区间为函数的单调递增区间，

由（），

得（），

所以函数的单调递增区间为（）．

（2）由对数函数的定义域和复合函数的单调性，

可知，

解得（），

即（），

故所求单调递增区间为（）.

5．【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】（1）因为，，且函数在上单调递减，

所以，所以．

（2），

因为，

函数在上单调递减，

所以，

即．

（3）．

因为，函数在上单调递增，

所以，即，

又函数在上单调递减，

所以．