高中人教A版 (2019)第五章 三角函数5.7 三角函数的应用学案及答案

这是一份高中人教A版 (2019)第五章 三角函数5.7 三角函数的应用学案及答案，共18页。

5.7　三角函数的应用
课标要求
素养要求
1.会用三角函数解决简单的实际问题.
2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
通过实际问题，构建三角函数数学模型，重点提升学生的数学抽象、数学运算和数学建模素养.

教材知识探究

温州市区著名景点——江心屿，江心屿上面有座寺庙——江心寺，在江心寺中题了一副非常知名的对联.上联是：云朝朝　朝朝朝　朝朝朝散；下联是：潮长长　长长长　长长长消.该对联巧妙地运用了叠字诗展现了瓯江潮水涨落的壮阔画面.下面是瓯江江心屿码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表：

江心屿
时间
0
1
3
6
8
9
12
15
18
21
24
水深
6
6.25
7.5
5
2.84
2.5
5
7.5
5
2.5
5
问题　1.仔细观察表格中的数据，你能从中得到一些什么信息？
2.以时间为横坐标，水深为纵坐标建立平面直角坐标系，将上面表格中的数据对应点描在直角坐标系中，你能得到什么结论？
提示　1.水深随时间的变化呈周期变化.
2.若用平滑的曲线连结各点，则大致呈正弦曲线.

1.在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0.
理清三角函数模型的物理意义是解决问题的关键
(1))A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；
(2)简谐运动的周期是T=，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；
(3)简谐运动的频率由公式f==
给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；
(4)ωx＋φ称为相位；x＝0时的相位φ称为初相.)
2.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，在刻画周期变化预测其未来等方面发挥着十分重要的作用.具体地，我们可以利用搜集到的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.
教材拓展补遗
[微判断]
1.数据拟合问题实际是根据提供的数据画出简图，求出相关的函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制.(√)
2.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：
f(t)＝10－2sin，t∈[0，24).则实验室这一天的最大温差为4 ℃.(√)
[微训练]
1.电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝ s时，电流I为________A.
解析　I＝5sin＝5cos＝2.5(A).
答案　2.5
2.振动量y＝sin(ωx＋φ)(φ>0)的初相和频率分别为－π和，则它的相位是________.
解析　∵T＝，∴ω＝3π，初相为－π，∴相位为3πx－π.
答案　3πx－π
3.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝6sin，则单摆来回摆动一次所需的时间为________s.

解析　因为单摆运动的周期为T＝＝1，故单摆来回摆动一次所需时间为1 s.
答案　1
[微思考]
1.现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？
提示　三角函数模型.
2.在建模过程中，散点图的作用是什么？
提示　利用散点图可以较为直观地分析两个变量之间的某种关系，然后利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误.

题型一　已知三角函数图象解决应用问题

【例1】　已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ).
(1)如图所示的是I＝Asin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？


解　(1)由题图知A＝300，设t1＝－，t2＝，
则周期T＝2(t2－t1)＝2＝.
∴ω＝＝150π.
又当t＝时，I＝0，即sin＝0，
而|φ|<，∴φ＝.
故所求的解析式为I＝300sin.
(2)依题意，周期T≤，
即≤(ω>0)，
∴ω≥300π>942，又ω∈N*，
故所求最小正整数ω＝943.
规律方法　已知三角函数图象解决应用问题，首先由图象确定三角函数的解析式，其关键是确定参数A，ω，φ，同时在解题中注意各个参数的取值范围.
【训练1】　弹簧振子以O为平衡位置，在B，C两点间做简谐运动，B，C相距20 cm，某时刻振子处在B点，经0.5 s振子首次到达C点，求：
(1)振动的振幅、周期和频率；
(2)弹簧振子在5 s内通过的路程及位移.
解　(1)设振幅为A，则2A＝20 cm，
所以A＝10 cm.
设周期为T，则＝0.5 s，所以T＝1 s，所以f＝1 Hz.
(2)振子在1 s内通过的路程为4A，故在5 s内通过的路程s＝5×4A＝20A＝20×10＝200(cm).
5 s末物体处在B点，所以它的位移为0 cm.
题型二　已知三角函数解析式解决应用问题
【例2】　一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，小球来回摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：厘米)与时间t(单位：秒)的函数关系是：s＝6sin(2πt＋).
(1)画出它一个周期的图象；
(2)回答以下问题：
①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置是多少厘米？
②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少厘米？
③小球来回摆动一次需要多少时间？
解　(1)周期T＝＝1(秒).
列表：
t
0




1
2πt＋


π

2π
2π＋
6sin(2πt＋)
3
6
0
－6
0
3
描点画图：

(2)①小球开始摆动(t＝0)，离开平衡位置为3 厘米.
②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 厘米.
③小球来回摆动一次需要1 秒(即周期).
规律方法　在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)来表示运动的位移y随时间x的变化规律，其中：
(1)A称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移；
(2)T＝称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；
(3)f＝＝称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数.
【训练2】　已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4，16].
(1)求该地区这一段时间内的最大温差；
(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
解　(1)x∈[4，16]，则x－∈.
由函数解析式易知，当x－＝，
即x＝14时，函数取得最大值，最大值为30，即最高温度为30 ℃，当x－＝－，即x＝6时，函数取得最小值，最小值为10，即最低温度为10 ℃，所以最大温差为30－10＝20( ℃).
(2)令10sin＋20＝15，可得sin＝－，而x∈[4，16]，所以x＝.令10sin＋20＝25，可得sin＝，而x∈[4，16]，所以x＝.故该细菌在这段时间内能存活－＝(小时).
题型三　建立确定的三角函数模型
【例3】　如图为一个观光缆车示意图，该观光缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设点B与地面距离为h.

(1)求h与θ间关系的函数解析式；
(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t间关系的函数解析式.
解　(1)由题意可作图

如图.过点O作地面平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于点M.
当<θ≤π时，∠BOM＝θ－.
h＝|OA|＋0.8＋|BM|
＝5.6＋4.8 sin；
当0≤θ≤，π<θ≤2π时，上述解析式也适合.
则h与θ间的函数解析式为h＝5.6＋4.8sin.
(2)点在⊙O上逆时针运动的角速度是＝，
∴t秒转过的弧度数为t，
∴h＝4.8sin＋5.6，t∈[0，＋∞).
规律方法　面对实际问题时，能够迅速地建立数学模型是一项重要的基本技能，在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程.
【训练3】　如图，一个大风车的半径为8 m，每12 min旋转一周，最低点离地面2 m.若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点离地面的距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系是(　　)

A.h＝8cost＋10 B.h＝－8cost＋10
C.h＝－8sint＋10 D.h＝－8cost＋10
解析　由T＝12，排除B；当t＝0时，h＝2，排除A，C.
答案　D
题型四　三角函数模型的拟合
【例4】　下表是某地某年月平均气温(华氏)：
月份
1
2
3
4
5
6
平均气温
21.4
26.0
36.0
48.8
59.1
68.6
月份
7
8
9
10
11
12
平均气温
73.0
71.9
64.7
53.5
39.8
27.7
以月份为x轴(x＝月份－1)，以平均气温为y轴.
(1)用正弦曲线去拟合这些数据；
(2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A；
(3)下面三个函数模型中，哪一个最适合这些数据？
①＝cos；②＝cos；③＝cos.
解　(1)如图.

(2)最低气温为1月份21.4，最高气温为7月份73.0，
故＝7－1＝6，所以T＝12.
因为2A的值等于最高气温与最低气温的差，
即2A＝73.0－21.4＝51.6，所以A＝25.8.
(3)因为x＝月份－1，
所以不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0.
代入①，得＝>1≠cos，故①不适合；代入②，得＝<0≠cos，故②不适合.所以应选③.
规律方法　根据收集的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，然后利用这个模型解决实际问题.
【训练4】　一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为________.
t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
y
－4.0
－2.8
0.0
2.8
4.0
2.8
0.0
－2.8
－4.0
解析　设y＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，则从表中数据可以得到A＝4，ω＝＝＝，又由4sin φ＝－4.0，得sin φ＝－1，取φ＝－，则y＝4sin，即y＝－4cost.
答案　y＝－4cost

一、素养落地
1.通过本节课的学习，重点提升学生的数学抽象、数学运算、数学建模素养.
2.三角函数模型构建的步骤：
(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象.
(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合.
(3)利用三角函数模型解决实际问题.
(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.
二、素养训练
1.如图所示的一个单摆，以平衡位置OA为始边、OB为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin，则当t＝0时，角θ的大小及单摆的频率是(　　)

A.， B.2，
C.，π D.2，π
解析　当t＝0时，θ＝sin＝，由函数解析式易知，单摆的周期为＝π，故单摆的频率为，故选A.
答案　A
2.已知简谐振动的振幅是，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则该简谐振动的频率和初相是(　　)
A.， B.，
C.， D.，
解析　由题意可知，A＝，32＋＝52，
则T＝8，ω＝＝，∴y＝sin.
由图象过点得sin φ＝，
∴sin φ＝，∵|φ|<，∴φ＝，
因此频率是，初相为，故选B.
答案　B
3.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin(t≥0)，则在下列时间段中人流量是增加的是(　　)
A.[0，5] B.[5，10]
C.[10，15] D.[15，20]
解析　由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，
知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.
当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10，15][3π，5π]，故选C.
答案　C
4.国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin(ωπt＋)＋60(美元)，t为天数，A>0，ω>0，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150天时，油价最低，则ω最小值为________.
解析　A＋60＝80得A＝20，且150πω＋＝－＋2kπ，k∈Z，即k＝1时，ω最小值为.
答案　
5.已知某种交流电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I＝
5sin，t∈[0，＋∞)，则这种交流电在0.5 s内往复运动________次.
解析　据I＝5sin(100πt－)知ω＝100π rad/s，
该电流的周期为T＝＝＝0.02 s，
则这种交流电电流在0.5 s内往复运行次数为
n＝2·＝2× s＝50(次).
答案　50

基础达标
一、选择题
1.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)

A.5 B.6
C.8 D.10
解析　由题意可知当sin(x＋φ)取最小值－1时，
函数取最小值ymin＝－3＋k＝2，得k＝5，
∴y＝3sin(x＋φ)＋5，当sin(x＋φ)取最大值1时，
函数取最大值ymax＝3＋5＝8.
答案　C
2.如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是(　　)

A.该质点的振动周期为0.7 s
B.该质点的振幅为5 cm
C.该质点在0.1 s和0.5 s时速度最大
D.该质点在0.3 s和0.7 s时加速度最大
解析　由图形可知振幅为5，故选B.
答案　B
3.已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　)
A.T＝6，φ＝ B.T＝6，φ＝
C.T＝6π，φ＝ D.T＝6π，φ＝
解析　由题意知f(0)＝2sin φ＝1，又|φ|<，所以φ＝，T＝＝6.故选A.
答案　A
4.如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧AP的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是(　　)



解析　设AP所对的圆心角为α，则α＝l，
弦AP的长d＝2·|OA|·sin，
即有d＝f(l)＝2sin .
答案　C
5.稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，温州市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：
x
1
2
3
y
10 000
9 500
？
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是(　　)
A.10 000元 B.9 500元 C.9 000元 D.8 500元
解析　因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9 500＝10 000；当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9 500＝9 500，所以ω可取，φ可取π，即y＝500sin＋9 500.
当x＝3时，y＝9 000.
答案　C
二、填空题
6.简谐运动y＝sin(x－2)的频率f＝________.
解析　f＝＝.
答案　
7.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝__________，其中t∈[0，60].
解析　将解析式可写为d＝Asin(ωt＋φ)的形式，由题意易知A＝10，当t＝0时，d＝0，得φ＝0；当t＝30时，d＝10，
可得ω＝，所以d＝10sin .
答案　10sin
8.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos (x＝1，2，3，…，12，A>0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.
解析　由题意得　∴
∴y＝23＋5cos，
当x＝10时，y＝23＋5×＝20.5.
答案　20.5
三、解答题
9.将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如图所示坐标系中，轮胎以角速度ω rad/s做圆周运动，P0是气针的初始位置，气针(看作一个点P)到原点(O)的距离为r.

(1)求气针(P)的纵坐标y关于时间t的函数关系，并求出P的运动周期；
(2)当φ＝，r＝ω＝1时，作出其图象.
解　(1)过P作x轴的垂线，设垂足为M，则MP就是正弦线.
∴y＝rsin(ωt＋φ)，因此T＝.
(2)当φ＝，r＝ω＝1时，y＝sin，
如图，其图象是将y＝sin t的图象向左平移个单位长度得到.

10.如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在地面上2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时.

(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；
(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.
解　(1)设在t s时，摩天轮上某人在高h m处.这时此人所转过的角为 t＝ t，故在t s时，此人相对于地面的高度为h＝10sin t＋12(t≥0).
(2)由10sint＋12≥17，得sint≥，
则≤t≤.
故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m.
能力提升
11.已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：

t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b.
(1)根据以上数据，求函数y＝Acos ωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
解　(1)由表中数据知周期T＝12，
∴ω＝＝＝，
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5.
由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0.
∴A＝0.5，b＝1，∴y＝cos t＋1.
(2)由题意知，当y>1时才可对冲浪者开放，
∴cos t＋1>1，
∴cos t>0，∴2kπ－ 即12k－3 由于8≤t≤20，∴令k＝1，得9≤t≤5.
∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午3：00.
12.为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排旅客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；
②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；
③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多.
(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；
(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？
解　(1)设该函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，0<|φ|<π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)－f(2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知，f(x)在[2，8]上单调递增，且f(2)＝100，所以f(8)＝500.
根据上述分析可得，＝12，
故ω＝，且解得
根据分析可知，当x＝2时，f(x)最小，
当x＝8时，f(x)最大，
故sin＝－1，
且sin＝1.
又因为0<|φ|<π，故φ＝－.
所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为
f(x)＝200sin＋300.
(2)由条件可知，200sin＋300≥400，化简得
sin≥2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得12k＋6≤x≤12k＋10，k∈Z.
因为x∈N*，且1≤x≤12，
所以x＝6，7，8，9，10.
即只有6，7，8，9，10五个月份要准备400份以上的食物.