高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换导学案及答案

第五章  三角函数

5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1．了解两角差的余弦公式的推导过程．

2．掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式．

3．会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等．

4．熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．

重点：了解两角差的余弦公式的推导过程．

难点：会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等

1　两角和与差的余弦公式

2 两角和与差的正弦公式

3　两角和与差的正切公式

问题探究

１.两角差的余弦公式

    如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α＋β，α－β的正弦、余弦吗？

下面，我们来探究cos(α－β)与角α，β的正弦、 余弦之间的关系

      不妨令kπ＋β，k∈Z． 如图5.5.1，设单位圆与轴的正半轴相交于点A（１，０），以轴非负半轴为始边作角α，β，α—β， 它们的终边分别与单位圆相交于点（cosα，sinα）， （cosβ，sinβ），P(cos(α－β)，sin(α－β))．任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原来的圆重合，这一性质叫做圆的旋转对称性．连接，AP．若把扇形OAP,绕着点O旋转β角，则点A，P分别与点 重合．根据圆的旋转对称性可知，

与重合，从而， 所以AP＝

根据两点间的距离公式，得

+=+，
化简得:
=+
当kπ＋β （k∈Z）时，容易证明上式仍然成立．
所以，对于任意角α，β有
=+ （Ｃ（α－β））
此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α－β的余弦之间的关系，

称为差角的余弦公式，简记作Ｃ(α－β).

典例解析

例１ 利用公式证明：
（１）= ; （２）= ．

例２ 已知，∈(,), ，是第三象限角，求的值．

由公式 出发 ， 你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？

下面以公式 为基础来推导其他公式 ．

例如 ， 比较 与 ，并注意到 α ＋ β 与

之间的联系 ：＝则由公式   ，

有=＝+=

于是得到了两角和的余弦公式 ， 简记作 C（α ＋ β ） ．

=．

问题探究

     上面得到了两角和与差的余弦公式 ． 我们知道 ， 用诱导公式五 （ 或六 ） 可以实现正弦 、 余弦的互化 ． 你能根据 Ｃ （α ＋ β ） ， Ｃ （ α － β ） 及诱导公式五 （ 或六 ）， 推导出用任意角α ， β 的正弦 、 余弦表示 sin （ α ＋ β ）， sin（ α － β ） 的公式吗 ？

通过推导 ， 可以得到 ：

＝ ，（ S（α ＋ β ） ）

＝ ; （ S（α － β ） ）

      你能根据正切函数与正弦函数 、 余弦函数的关系 ， 从 Ｃ(α ± β ) ， Ｓ( α ± β ) 出发 ， 推导出用任意角 α ， β 的正切表示  ，  的公式吗 ？

通过推导 ， 可以得到 ：

    T(α + β )

     T(α β )

 和 （ 差 ） 角公式中 ， α ， β 都是任意角 ． 如果令 α 为某些特殊角 ， 就能得到许多有用的公式 ． 你能从和 （ 差 ） 角公式出发推导出诱导公式吗 ？ 你还能得到哪些等式

    公式 Ｓ (α ＋ β ) ， Ｃ(α ＋ β ) ， Ｔ(α ＋ β ) 给出了任意角 α ， β 的三角函数值与其和角 α ＋ β 的三角函数值之间的关系 ． 为方便起见 ， 我们把这三个公式都叫做 和角公式 ．

类似地 ， Ｓ(α －  β ) ， Ｃ(α －  β ) ， Ｔ(α －  β )都叫做 差角公式 ．

典例解析

例3. 已知，，求的值 ．

   由以上解答可以看到 ， 在本题条件下有 ． 那么对于任意角α ， 此等式成立吗 ？ 若成立 ， 你会用几种方法予以证明?

例 ４　 利用和 （ 差 ） 角公式计算下列各式的值 ：

（ １ ）sin72°cos42°－ cos72°sin42° ;

（ ２ ） cos20°cos70°－ sin20°sin70° ;

（ 3 ） ;

1． cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°等于(　　)

A．cos 100°　　　B．sin 100°          C．           D．

2.已知α是锐角，sin α＝，则cos等于(　　)

A．－        B．       C．－         D．

3．已知锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝－，则cos β等于(　　)

A．          B．－    C．          D．－

4．计算＝________.

5．已知α，β均为锐角，sin α＝，cos β＝，求α－β.

让我们回顾半节课的学习过程，看看主要的收获有哪些？

知识上：两角和差公式

思想方法上：整体代换思想，转化思想。

参考答案：

一、    知识梳理

1.cos αcos β＋sin αsin β    cos αcos β－sin αsin β

2.sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β

3.      

二、    学习过程

典例解析

例１证明: (1)= +=0＋1×=．
(2)== +=(-1)×．＝－ ．

例２解：由，∈(,),得
又由，是第三象限角，得．
所以=+=() ×()+() ×()=

例3. 解 ： 由 ，，

得

所以 = = -
于是有 )=

)=

7

例 ４　分析 ： 和 、 差角公式把 α ± β 的三角函数式转化成了 α ， β 的三角函数式 ．

如果反过来 ， 从右到左使用公式 ， 就可以将上述三角函数式化简 ．

解 ：（ １ ） 由公式 S（α － β ） ， 得

sin72°cos42°－ cos72°sin42°=Sin(72°－ 42°)=sin30°=

（2） 由公式 C（α +β ） ， 得

cos20°cos70°－ sin20°sin70°= cos(20°+70°)=cos90°=0

（3） 由公式 T（α +β ）及， 得

=== =

三、达标检测

1． 【解析】　原式＝cos(65°－35°)＝cos 30°＝.

【答案】　C

2.【解析】　因为α是锐角，sin α＝，

所以cos α＝，所以cos＝×－×＝.故选B．

【答案】　B

3．【解析】　因为α，β为锐角，cos α＝，cos(α＋β)＝－，

所以sin α＝，sin(α＋β)＝.

所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)·sin α＝－×＋×＝.故选A．

【答案】　A

4．【解析】　＝＝tan 45°＝1.

【答案】　1

5．【解】　∵α，β均为锐角，sin α＝，cos β＝，

∴sin β＝，cos α＝.

∵sin α<sin β，∴α<β，∴－<α－β<0，

∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－，

∴α－β＝－.