高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.1 实际问题的函数刻画教学设计

实际问题的函数刻画

【教学目标】

1．尝试用函数刻画实际问题，感受函数与现实世界的联系，会用数学知识有意识地解决实际问题，能够找出简单实际问题中的函数关系式。

2．会用数学知识有意识地解决实际问题，会用数学知识进行实际问题的转化，并用数学知识解读实际问题。

3．培养学生用数学眼光看待问题的意识与能力。

【教学重点】

知道怎样用数学知识刻画实际问题。

【教学难点】

1．用数学知识解读实际问题。

2．引用数学符号建立数学模型，用数学语言表示实际问题。

【教学过程】

一、阅读交流

问题1：

某公司投入了15万元，用于研发设计一种新型几何模板。经测算，每件产品的直接成本是130元，市场的合适售价是190元。显然，这家公司一方面要尽力为使用者提供可信的产品，另一方面又要争取获得好的收益。当这种新型几何模板畅销时，怎样计算总收益呢？

提示：（1）该问题中反映的信息中有哪些量？

（2）这几个量之间存在怎样的依赖关系？

（3）数据提供的信息是什么（揭示了怎样的规律）？

（4）上述规律有什么现实指导意义？

解：设产量为x，总收益为y。

（1）。

（2）实际中企业关注的是成本与利润之间的关系，需要对它们进行比较。

（3）数学知识诠释：

①从利润关系式可见，希望有较大利润应增加产量。若x<2500，则要亏损；若x=2500 ，则利润为零；若x>2500，则可赢利。

②单位成本P与产量x的关系可见，为了降低成本，应增加产量，以形成规模效应。

问题2：

网购女鞋时，常常会看到一张女鞋尺码对照表，第一行是脚长（新鞋码，单位：mm），第二行是我们习惯称呼的“鞋号（旧鞋码，单位：号）”。

（1）脚长和鞋号有什么关系呢？

（2）如果看到一款“30号”的女童鞋，你知道对应的脚长估计是多少吗？

（3）一名脚长为262mm的女运动员，又该穿多大号的鞋呢？

解：

（1）在这个实际问题中出现了两个变量：一个是脚长；一个是鞋号。从题目看出，表中的数据已经给出了几个脚长对应的鞋码；

（2）从题目看出，对于每一个脚长都有唯一的鞋号与之对应，所以题目给出是一个函数关系；

（3）为了使函数关系更直观，我们将表中的每一对数值在平面直角坐标系中表示出来。

（4）可以看出，这些点都在一条直线上，不妨设这条直线为y=kx+B．利用表中任意两组数，得到k=0.2，b=－10.所以y=0.2x－10这就是鞋号关于脚长的函数模型。

当y=30时，x=200.能穿30号鞋的女童的脚长估计是200mm。

当x=262时，y=42.4．脚长为262mm的女运动员应穿43号的鞋。

二、课堂练习

如图，在一条弯曲的河道上，设置了6个水文监测站，现在需要在河边建一个情报中心，从各监测站沿河边分别向情报中心铺设专用通信电缆，怎样刻画专用通信电缆的总长度？

交流：（1）本题目要解决的问题是什么？

     （2）题中是否存在函数关系？

     （3）怎样求题目中的函数关系？

三、课堂小结

1．本节课主要研究实际问题的数学刻画如何刻画。

（1）认真读题，慎密审题。

（2）引进数学符号，建立数学模型。

（3）会把数学结果转化为实际问题的结果进行诠释实际问题。

2．应用问题解答的关键是：用数学的眼光看实际问题，用数学语言表示实际问题。