高中数学人教版新课标A必修32.2.2用样本的数字特征估计总体学案设计

                        临清三中数学组  编写人：孙秀英 

2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征

〖教学目标〗

1. 正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差

2. 能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释；

3. 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识。

〖教学重难点〗

教学重点　　用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。
教学难点　　能应用相关知识解决简单的实际问题。

〖教学过程〗

         一、复习回顾

作频率分布直方图分几个步骤？各步骤需要注意哪些问题？

         二、创设情境

在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕

甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；

乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.

观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？上节课我们学习了用图表的方法来研究，为了从整体上更好地把握总体的规律，我们这节课要通过样本的数据对总体的数字特。

     三、 新知探究

众数、中位数、平均数

众数—一组数中出现次数最多的数；在频率分布直方图中，我们取最高的那个小长方形横坐标的中点。

中位数——当一组数有奇数个时等于中间的数，当有偶数个时等于中间两数的平均数；在频率分布直方图中，是使图形左右两边面积相等的线所在的横坐标。

平均数——将所有数相加再除以这组数的个数；在频率分布直方图中，等于每个小长方形的面积乘以其底边中点的横坐标的和。

思考探究：

分别利用原始数据和频率分布直方图求出众数、中位数、平均数，观察所得的数据，你发现了什么

问题？为什么会这样呢？

你能说说这几个数据在描述样本信息时有什么特点吗？由此你有什么样的体会？

答：（1）从频率分布直方图得到的众数和中位数与从数据中得到的不一样，因为频率分布直方图损失了一部分样本信息，所以不如原始数据准确。

   （2）众数和中位数不受极端值的影响，平均数反应样本总体的信息，容易受极端值的影响。

练一练：

假如你是一名交通部门的工作人员，你打算向市长报告国家对本市26个公路项目投资的平均资金数额，其中一条新公路的建设投资为2000万元人民币，另外25个项目的投资是20～100万元。中位数是25万元，平均数是100万元，众数是20万元。你会选择哪一种数字特征       来表示国家对每一个项目投资的平均金额？

解析：平均数。

一、   标准差、方差

在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕

甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；

乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.

观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？

我们知道，。

两个人射击的平均成绩是一样的。那么，是否两个人就没有水平差距呢？（观察图2.2－7）直观上看，还是有差异的。很明显，甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中，因此我们从另外的角度来考察这两组数据。

1、   标准差

标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示。

思考探究：

1、标准差的大小和数据的离散程度有什么关系？

2、标准差的取值范围是什么？标准差为０的样本数据有什么特点？

答：（1）显然，标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小。

   （2）从标准差的定义和计算公式都可以得出：。当时，意味着所有的样本数据

        都等于样本平均数。

2、   方差

在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差。

四、例题精析

例1：农场种植的甲乙两种水稻，在面积相等的两块稻田连续6年的年平均产量如下：

甲：900，920，900，850，910，920

乙：890，960，950，850，860，890

那种水稻的产量比较稳定？

    [分析]采用求标准差的方法

解：

所以甲水稻的产量比较稳定。

点评：在平均值相等的情况下，比较方差或标准差。

变式训练：在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：

     90     89    90     95    93    94   93

 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为

（A）92 , 2           (B) 92 , 2.8            (C)  93 , 2            (D) 93 , 2.8

【答案】B

【解析】由题意知，所剩数据为90，90，93，94，93，所以其平均值为

90+=92；方差为2.8，故选B。

例2、例1.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为

由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在

的人数是　  .

(2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数　  .

(3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数　  .

点评：在直方图中估计中位数、平均数。

变式训练：

某医院急诊中心关于其病人等待急诊的时间记录如下：

用上述分组资料计算得病人平均等待时间的估计值=               ，病人等待时间的标准差的估计值=              

       五、反馈测评

1． 在一次知识竞赛中，抽取20名选手，成绩分布如下：

则选手的平均成绩是                                                         （  ）

A．4              B.4.4                 C.8                D.8.8

2．8名新生儿的身长（cm）分别为50，51，52，55，53，54，58，54，则新生儿平均身长的估计为                ，约有一半的新生儿身长大于等于                 ，新生儿身长的最可能值是                   .

3.．样本的平均数为5，方差为7，则3的平均数、方差，标准差分别为                                  

4．某工厂甲，乙两个车间包装同一产品，在自动包装传送带上每隔30min抽一包产品，称其重量是否合格，分别记录抽查数据如下：甲车间：102，101，99，103，98，99，98；乙车间：110，105，90，85，75，115，110.

（1）这样的抽样是何种抽样方法？

（2）估计甲、乙两车间的均值与方差，并说明哪个车间的产品较稳定.

六、课堂小结

1、在频率分布直方图中，如何求出众数、中位数、平均数？                                                                                                                       

2、标准差的公式；标准差的大小和数据的离散程度有什么关系？                                                                                    

〖板书设计〗

〖书面作业〗

课本   6   7   

21世纪教育网        

                     临清三中数学组  编写人：孙秀英 

2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征

课前预习学案

一、预习目标：

通过预习，初步理解众数、中位数、平均数、标准差、方差的概念。

二、预习内容：

1、知识回顾：

 作频率分布直方图分几个步骤？各步骤需要注意哪些问题？

2、众数、中位数、平均数的概念

众 数:­­­____________________________________________________________________

中位数:___________________________________________________________________

平均数:____________________________________________________________________

3.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系：

众数在样本数据的频率分布直方图中，就是______________________________________

中位数左边和右边的直方图的________应该相等，由此可估计中位数的值。

平均数是直方图的___________.

4.标准差、方差

标准差 s=_________________________________________________________________

方  差s2=_________________________________________________________________

三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

课内探究学案

一、学习目标：

1. 能说出样本数据标准差的意义和作用，会计算数据的标准差

2. 能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释；

3. 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识。

二、学习内容

1.众数、中位数、平均数

思考1：分别利用原始数据和频率分布直方图求出众数、中位数、平均数，观察所得的数据，你发现了什么问题？为什么会这样呢？

思考2： 你能说说这几个数据在描述样本信息时有什么特点吗？由此你有什么样的体会？

练一练：

假如你是一名交通部门的工作人员，你打算向市长报告国家对本市26个公路项目投资的平均资金数额，其中一条新公路的建设投资为2000万元人民币，另外25个项目的投资是20～100万元。中位数是25万元，平均数是100万元，众数是20万元。你会选择哪一种数字特征来表示国家对每一个项目投资的平均金额？

2. 标准差、方差

在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕

甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；

乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.

观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？

思考1：标准差的大小和数据的离散程度有什么关系？

思考2：标准差的取值范围是什么？标准差为０的样本数据有什么特点？

3、〖典型例题〗

例1.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为

由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在

的人数是　  .

(2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数　  .

(3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数　  .

例2：农场种植的甲乙两种水稻，在面积相等的两块稻田连续6年的年平均产量如下：

甲：900，920，900，850，910，920

乙：890，960，950，850，860，890

那种水稻的产量比较稳定？

三、反思总结

1、 在频率分布直方图中，如何求出众数、中位数、平均数？

2、标准差的公式；标准差的大小和数据的离散程度有什么关系?

四、当堂检测

1．   在一次知识竞赛中，抽取20名选手，成绩分布如下：

则选手的平均成绩是                                                         （  ）

A．4              B.4.4                 C.8                D.8.8

2．8名新生儿的身长（cm）分别为50，51，52，55，53，54，58，54，则新生儿平均身长的估计为                ，约有一半的新生儿身长大于等于                 ，新生儿身长的最可能值是                   .

3．某医院急诊中心关于其病人等待急诊的时间记录如下：

用上述分组资料计算得病人平均等待时间的估计值=               ，病人等待时间的标准差的估计值=              

4．样本的平均数为5，方差为7，则3的平均数、方差，标准差分别为                          

5．某工厂甲，乙两个车间包装同一产品，在自动包装传送带上每隔30min抽一包产品，称其重量是否合格，分别记录抽查数据如下：甲车间：102，101，99，103，98，99，98；乙车间：110，105，90，85，75，115，110.

（1）这样的抽样是何种抽样方法？

（2）估计甲、乙两车间的均值与方差，并说明哪个车间的产品较稳定.

课后练习与提高

1.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为（   ）

A．1               B.2              C.3           D.4

解：由平均数公式为10，得，则，又由于方差为2，则得

所以有，故选D.

2.某房间中10个人的平均身高为1.74米，身高为1.85米的第11个人，进入房间后，这11个人的平均身高是多少？

解：原来的10个人的身高之和为17.4米，所以，这11个人的平均身高为=1.75.即这11个人的平均身高为1075米

[例4]若有一个企业，70%的人年收入1万，25%的人年收入3万，5%的人年收入11万，求这个企业的年平均收入及年收入的中位数和众数

解：年平均收入为1（万）；中位数和众数均为1万

3.下面是某快餐店所有工作人员的收入表：

（1）计算所有人员的月平均收入；

（2）这个平均收入能反映打工人员的月收入的一般水平吗？为什么？

（3）去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员的月收入的水平吗？

（4）根据以上计算，以统计的观点对（3）的结果作出分析