高中人教版新课标A2.2.2用样本的数字特征估计总体教学设计及反思

教学目标

（1）能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征

（2）会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。

（3）形成对数据处理过程进行初步评价的意识。

（4）会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用，能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系。

重点难点

重点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。

难点：能应用相关知识解决简单的实际问题。

教学过程

一.复习旧知

问题1. 对一个未知总体，我们常用样本的频率分布估计总体的分布，其中表示样本数据的频率分布的基本方法有哪些？

频率分布直方图、频率分布表、频率分布折线图、茎叶图

二. 创设情境

美国NBA在2006——2007年度赛季中，甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情况如下：

甲运动员得分：12，15，20，25，31，30， 36，36，37，39，44，49.

乙运动员得分：8，13，14，16，23，26， 28，38，39，51，31，39.

如果要求我们根据上面的数据，估计、比较甲，乙两名运动员哪一位发挥得比较稳定，就得有相应的数据作为比较依据，即通过样本数据对总体的数字特征进行研究，用样本的数字特征估计总体的数字特征.

三.探究新知

问题2:怎样将各个样本数据汇总为一个数值，并使它成为样本数据的“中心点”？

初中我们曾经学过众数，中位数，平均数等各种数字特征，应当说，这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息。例如前面一节在调查100位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2.25t（最高的矩形的中点）（图略见课本）它告诉我们，该市的月均用水量为2. 25t的居民数比月均用水量为其他值的居民数多，但它并没有告诉我们到底多多少.

问题3：在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中，你认为众数应在哪个小矩形内？

问题4:请大家翻回到课本看看原来抽样的数据，有没有2.25 这个数值呢？根据众数的定义，2.25怎么会是众数呢？为什么？

这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失的原因，而2.25是由样本数据的频率分布直方图得来的，所以存在一些偏差。

问题5:如何从频率分布直方图中估计中位数呢？

在样本数据中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数。因此，在频率分布直方图中，矩形的面积大小正好表示频率的大小，即中位数左边和

右边的直方图的面积应该相等。在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中，从左至右各个小矩形的面积分别是0.04，0.08，0.15，0.22，0.25，0.14，0.06，0.04，0.02, 0.5－0.04－0.08－0.15－0.22=0.01，0.5×0.01÷0.25=0.02，中位数是2.02.由此可以估计出中位数的值为2.02。

问题6:2.02这个中位数的估计值，与样本的中位数值2.0不一样，你能解释其中的原因吗？

样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了

问题7:中位数不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是一个优点，但是它对极端值的不敏感有时也会成为缺点，你能举例说明吗？

如：样本数据收集有个别差错不影响中位数；大学毕业生凭工资中位数找单位可能收入较低.

问题8：平均数是频率分布直方图的“重心”，从直方图估计总体在各组数据内的平均数分别为多少？

0.25，0.75，1.25，1.75，2.25，  2.75，3.25，3.75，4.25.

问题9：将频率分布直方图中每个小矩形的 面积与小矩形底边中点的横坐标之积相加， 就是样本数据的估值平均数.  由此估计总体的平均数是什么？

 0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.22+2.25×0.25+2.75×0.14+3.25×06+3.75×0.04+4.25×0.02=2.02（t）. 

平均数是2.02.

问题10：从居民月均用水量样本数据可知，该样本的众数是2.3，中位数是2.0，平均数是1.973，这与我们从样本频率分布直方图得出的结论有偏差，你能解释一下原因吗？

频率分布直方图损失了一些样本数据，得到的是一个估计值，且所得估值与数据分组有关.

注: 在只有样本频率分布直方图的情况下，我们可以按上述方法估计众数、中位数和平均数，并由此估计总体特征.

问题11:样本数据的平均数大于（或小于）中位数说明什么问题？

平均数大于（或小于）中位数，说明样本数据中存在许多较大（或较小）的极端值.

问题12:你怎样理解“我们单位的收入水平比别的单位高”这句话的含义？

这句话具有模糊性甚至蒙骗性，其中收入水平是员工工资的某个中心点，它可以是众数、中位数或平均数.

总结:

样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息.

    平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大.

当样本数据质量比较差时，使用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置，可能与实际情况产生较大的误差，难以反映样本数据的实际状况，因此，我们需要一个统计数字刻画样本数据的离散程度.

四、例题讲解

在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示：

分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数

解：在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75．

　 上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70；这组数据的平均数是

答：17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次是1.75（米）、1.70（米）、1.69（米）.

五、课堂小结

众数、中位数、平均数求法意义

六.课堂小结

用样本的众数、中位数、平均数和标准差等统计数据，估计总体相应的统计数据.

2. 平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数据的平均水平.

七.课后作业：

《习案》与《学案》