高中北师大版 (2019)1.1 利用函数性质判定方程解的存在性学案

利用函数性质判定方程解的存在性

【学习目标】

1．学习函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系，提升直观想象素养。

2．通过结合图像与解函数零点问题，培养数学抽象、数学运算素养。

【学习重难点】

1．了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系。(易混点)

2．掌握函数零点存在的判定方法。(重点)

3．能结合图像求解零点问题。(难点)

【学习过程】

一、预习提问

思考：(1)函数的零点是点吗？

(2)若f(a)·f(b)>0，则y＝f(x)在区间(a，b)内一定没有零点吗？

[提示]  (1)不是点，是数。

(2)不一定，如y＝x2－1，在区间(－2，2)上有两个零点。

二、合作探究

【例1】  判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出。

(1)f(x)＝； 

(2)f(x)＝x2＋2x＋4；

(3)f(x)＝2x－3；

(4)f(x)＝1－log3x。

【答案】

(1)令＝0，解得x＝－3，

所以函数f(x)＝的零点是－3．

(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12<0，

所以方程x2＋2x＋4＝0无解，

所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点。

(3)令2x－3＝0，解得x＝log23，

所以函数f(x)＝2x－3的零点是log23．

(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，

所以函数f(x)＝1－log3x的零点是3．

【例2】  (1)已知函数f(x)的图像是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表：

则函数f(x)在区间[1，6]上的零点至少有(    )

A．2个               B．3个

C．4个   D．5个

(2)函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是(    )

A．(1，2)   B．(2，3)

C．和(3，4)   D．(e，＋∞)

【答案】

(1)B  (2)B  [(1)由已知数表可知f(2)·f(3)＝10×(－7)＜0，

f(3)·f(4)＝(－7)×6＜0，f(4)×f(5)＝6×(－4)<0，

故函数f(x)在(2，3)，(3，4)，(4，5)上分别存在零点，故至少有3个零点。

(2)∵f(1)＝－2＜0，f(2)＝ln 2－1＜0，

∴在(1，2)内f(x)无零点，A错；

又f(3)＝ln 3－＞0，∴f(2)·f(3)＜0，

∴f(x)在(2，3)内有零点。]

【母题探究】

1．(变条件)已知函数f(x)＝x3－x－1仅有一个正零点，则此零点所在区间是(    )

A．(3，4)             B．(2，3)

C．(1，2)   D．(0，1)

2．(变结论)探究1中，函数y＝f(x)有负零点吗？

【答案】1．C  [因为f(1)＝－1<0，f(2)＝5>0，

所以f(1)·f(2)<0，

所以f(x)在区间(1，2)内至少有一个零点，

又f(x)仅有一个正零点，故选C．]

2．[解]  当x≤－1时，f(x)＝x3－x－1＝x(x2－1)－1<－1，当－1<x<0时，f(x)＝x3－x－1＝x3－(x＋1)<－(x＋1)<0，综上知，当x<0时，f(x)<0，

因此，f(x)没有负零点。

【例3】  (1)函数f(x)＝的零点个数为(    )

A．3   B．2

C．1   D．0

(2)函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数是________。

【答案】(1)B  (2)1  [(1)当x≤0时，令x2＋2x＋3＝0，解得x＝－3；当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2，所以已知函数有两个零点，故选B．

(2)因为f(1)＝－2，f(2)＝ln 2＋1>0；

所以f(1)·f(2)<0.

又f(x)＝ln x＋x2－3的图像在(1，2)上是不间断的，所以f(x)在(1，2)上必有零点。

又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，

所以零点只有1个。]

【学习小结】

(1)函数的零点：

①定义：函数f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。

②方程的根、函数的图像、函数的零点三者之间的联系。

(2)函数零点的判定定理：

若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解。

【精炼反馈】

1．思考辨析

(1)零点即函数y＝f(x)的图像与x轴的交点。(    )

(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)有两个零点。(    )

(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0.(    )

2．y＝x＋1的图像与x轴的交点坐标及其零点分别是(    )

A．－1，(－1，0)         B．(－1，0)，0

C．(－1，0)，－1   D．－1，－1

3．若函数f(x)唯一的零点在区间(1，3)或(1，4)或(1，5)内，则

①函数f(x)的零点在(1，2)或(2，3)内；

②函数f(x)在(3，5)内无零点；

③函数f(x)在(2，5)内有零点；

④函数f(x)在(2，4)内不一定有零点；

⑤函数f(x)的零点必在(1，5)内。

以上说法错误的是________(将序号填在横线上)。

4．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出。

(1)y＝；(2)y＝x2－2x＋4；(3)y＝1－log5x。

【答案】

1．(1)×

(2)√

(3)×

2．C

[由y＝x＋1＝0，得x＝－1，

故交点坐标为(－1，0)，零点是－1．]

3．①②③

[由于三个区间是包含关系，而(1，5)范围最大，零点位置可能在区间(1，5)的任何一个子区间内，①②③错误。]

4．[解]  (1)令y＝0，得＝0，无解。故函数不存在零点。

(2)令y＝0，得x2－2x＋4＝0，Δ＝4－4×4＝－12<0.故函数不存在零点。

(3)令y＝0，得1－log5x＝0，log5x＝1，解得x＝5．故函数的零点为5．