北师大版 (2019)必修 第一册1.2 利用二分法求方程的近似解学案设计

利用二分法求方程的近似解

【学习目标】

1．通过具体函数图像，借助计算器用二分法求相应方程的近似解，培养数学运算素养。

2．通过学习利用二分法求方程近似解的过程和方法，提升直观想像、逻辑推理素养。

【学习重难点】

1．根据具体函数的图像，借助计算器用二分法求相应方程的近似解。(重点)

2．学习利用二分法求方程近似解的过程和方法。(难点)

【学习过程】

一、初试身手

1．下列函数图像与x轴均有交点，其中能用二分法求零点的是(    )

2．在用二分法求函数f(x)的一个零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，若精确度为0.1，则函数f(x)的零点近似值可为(    )

A．0.64               B．0.65

C．0.70   D．0.73

3．在下面给出的四个函数中，需要用二分法求其零点的是________。

①y＝x＋π；②y＝3x－1；③y＝ln x；④y＝x－x。

4．用“二分法”求2x＋log2x－4＝0在区间(1，3)内的根。如果取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________。

【答案】

1．C

[C中函数的零点是变号零点，故选C．]

2．C

[∵f(0.72)>0，f(0.68)<0，∴f(x)在(0.68，0.72)内至少有一个零点，又|0.72－0.68|<0.1，故其零点的近似值可为0.70.]

3．④

[①②③可直接解出来，不需要用二分法去求，而④无法直接解出来，故应填④。]

4．(1，2)

[令f(x)＝2x＋log2x－4，则f(1)＝－2<0，f(2)＝1>0，

由零点存在性定理知，f(x)在区间(1，2)内至少存在一个零点。

所以，下一个有根的区间是(1，2)。]

二、合作探究

【例1】  下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是(    )

A          B          C            D

[思路探究]  →

A  [按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)＜0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点。故结合各图像可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图像经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解。故选A．]

【例2】  求方程lg x＝x－1的近似解(精度为0.1)。

[解]  如图所示，由函数y＝lg x与y＝x－1的图像可知，方程lg x＝x－1有唯一实数解，且在区间[0，1]内。

设f(x)＝lg x－x＋1，f(1)＝>0，用计算器计算，列表如下：

由于区间(0.5，0.625)的长度为0.125<0.2，此时该区间中点0.562 5与真正零点的误差不超过0.1，所以函数f(x)的零点近似值为0.562 5，即方程lg x＝x－1的近似解为x≈0.562 5．

【学习小结】

(1)二分法的概念

对于图像在区间[a，b]上连续不断且满足f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法。

(2)用二分法求方程的近似解的过程

【精炼反馈】

1．思考辨析

(1)任何函数的零点都可以用二分法求得。(    )

(2)用二分法求出的方程的根都是近似解。(    )

(3)当方程的有解区间[a，b]的区间长度b－a≤ε(精度)时，区间(a，b)内任意一个数都是满足精度ε的近似解。(    )

2．用二分法求函数f(x)＝3x－7的零点时，初始区间可选为(    )

A．(－1，0)               B．(0，1)

C．(1，2)   D．(2，3)

3．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

那么函数零点的一个近似解(精度为0.1)为(    )

A．1.25     B．1.375     

C．1.406 25     D．1.5

4．用二分法求2x＋x＝4在区间[1，2]内的近似解(精度为0.2)。参考数据：

【答案】

1．[答案]  (1)×  (2)×  (3)√

2．C

[f(－1)＝3－1－7＝－7＝－＜0，

f(0)＝30－7＝1－7＝1－7＝－6＜0，

f(1)＝31－7＝－4<0，

f(2)＝32－7＝9－7＝2＞0，

故函数f(x)的零点在区间(1，2)上，故初始区间可选为(1，2)。]

3．C

[根据题意知函数的零点在1.406 25至1.437 5之间，又|1.437 5－1.406 25|＝0.031 25<0.1，故方程的一个近似解为1.406 25，故选C．]

4．[解]  令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4<0，f(2)＝22＋2－4>0.

∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2，

∴2x＋x＝4在[1，2]内的近似解可取为1.375．