北师大版 (2019)必修 第一册1.1 利用函数性质判定方程解的存在性学案设计

这是一份北师大版 (2019)必修 第一册1.1 利用函数性质判定方程解的存在性学案设计，共18页。学案主要包含了教学目标，知识清单，经典例题，课堂达标，能力提升，参考答案等内容，欢迎下载使用。
5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性【教学目标】重点、难点重点：函数零点概念及方程解存在的判定。难点：方程解存在的条件的探索。学科素养    在探索中体验“数学语言”的严谨性。培养学生由具体到抽象、由特殊到一般地认识事物的意识。【知识清单】1 ．函数的零点概念(1)概念：使得 f ( x 0 )＝0 的数 x 0 称为方程 f ( x )＝0的解 ， 也称为函数 f ( x )的零点．(2)方程、函数、图象之间的关系：函数 y ＝ f ( x )的 零点 就是函数 y ＝ f ( x )的图象与 x 轴交点的横坐标 ， 也就是方程 f ( x )＝0的解．2． 零点存在定理若函数 y ＝ f ( x )在闭区间[ a ， b ]上的图象是一条 连续 的曲线 ， 并且在区间端点的函数值 一正一负 ， 即 f ( a )· f ( b )<0 ， 则在开区间( a ， b )内 ， 函数 y ＝ f ( x )至少有一个零点 ， 即在区间( a ， b )内相应的方程 f ( x )＝0至少有一个解. 思考：(1)函数的“零点”是一个点吗？提示：不是 ， 函数的“零点”是一个数 ， 一个使 f ( x )＝0的实数 x .实际上是函数 y ＝ f ( x )的图象与 x 轴交点的横坐标．(2)若 f ( a )· f ( b )>0 ， 那么函数 y ＝ f ( x )在区间( a ， b )内一定没有零点吗？提示：不一定．如 y ＝ x 2 －1在区间(－2 ，2 )上有两个零点 ， 但 f (2)· f (－2)>0.【经典例题】求函数的零点【例1】　求下列函数的零点．(1) f ( x )＝ x 2 ＋7 x ＋6；(2) f ( x )＝1－ log 2 ( x ＋3)；(3) f ( x )＝2 x －1 －3；(4) f ( x )＝ .判断函数零点所在的区间【例2】　已知函数 f ( x )＝ x 3 － x －1仅有一个正零点 ， 则此零点所在的区间是(　　)A． (3 ，4 )　　  B．(2 ，3 )C． (1 ，2 )   D．(0 ，1 ) 函数零点的个数问题【例3】　判断下列函数零点的个数．(1) f ( x )＝ x 2 － x ＋ ；(2) f ( x )＝ ln  x ＋ x 2 －3. 【课堂达标】1．函数f(x)＝lgx－的零点所在的区间是(　　)A．(0,1) B．(1,10) C．(10,100) D．(100，＋∞)2．已知都是常数，.若的零点为，则下列不等式正确的是（    ）A． B．C． D．3．若函数的零点是（），则函数的零点是（    ）A． B．和 C． D．和4．设，则函数的零点所在的区间为（    ）A． B． C． D．5．已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)＜0，则f(x)＝0在[a，b]内（    ）A．至少有一个实根 B．至多有一个实根C．没有实根 D．有唯一实根6．函数的零点是（    ）A． B． C． D．7．设是函数的零点，且，，则（    ）A． B． C． D．8．当时，函数的值有正也有负，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．9．已知函数f(x)＝mx＋1的零点在区间(1，2)内，则m的取值范围是（    ）A． B．C． D．10．函数 的零点所在的区间是（    ）A． B． C． D．11．函数的零点所在的区间为（    ）A． B．C． D．12．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且图象是连续不断的，若f(a)·f(b)＜0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上（    ）A．至少有一实数根 B．至多有一实数根C．没有实数根 D．必有唯一的实数根 13．设函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是__.14．已知函数f(x)的定义域为R，满足f（x+2）＝2f(x)，且当x∈（0，2]时，f(x)＝2x﹣3.有以下三个结论：①f（-1）；②当a∈（，]时，方程f(x)＝a在区间[﹣4，4]上有三个不同的实根；③函数f(x)有无穷多个零点，且存在一个零点b∈Z.其中，所有正确结论的序号是_____.15．方程的解是     【能力提升】16．函数的零点是________17．已知函数，若恒成立，则a的值为________.18．已知实数，满足，，其中e是自然对数的底数，则___________.19．函数的零点为_____________.20．已知函数有两个不同零点,. (1)求a的取值范围;(2)证明:当时,.          【参考答案】 【经典例题】【例1】[解]　(1)解方程 f ( x )＝ x 2 ＋7 x ＋6＝0 ，得 x ＝－1或 x ＝－6 ， 所以函数的零点是－1 ， －6.(2)解方程 f ( x )＝1－ log 2 ( x ＋3)＝0 ， 得 x ＝－1 ， 所以函数的零点是－1.(3)解方程 f ( x )＝2 x －1 －3＝0 ， 得 x ＝ log 2 6， 所以函数的零点是 log 2 6.(4)解方程 f ( x )＝ ＝0 ， 得 x ＝－6 ， 所以函数的零点为－6. 【例2】[思路点拨]　利用零点存在定理判断．C 　[∵ f (0)＝－1<0 ， f (1)＝－1<0 ， f (2) ＝ 5>0 ， f (3)＝23>0 ， f (4)＝59>0.∴ f (1)· f (2)<0 ， 此零点一定在(1 ，2 )内．]【例3】[解]　(1)由 f ( x )＝0 ， 即 x 2 － x ＋ ＝0 ，得 Δ ＝ －4× ＝－ <0 ，所以方程 x 2 － x ＋ ＝0没有实数根 ， 即 f ( x )零点的个数为0.(2)法一：函数对应的方程为 ln  x ＋ x 2 －3＝0 ， 所以原函数零点的个数即为函数 y ＝ ln  x 与 y ＝3－ x 2 的图象交点个数．在同一直角坐标系下 ， 作出两函数的图象(如图).由图象知 ， 函数 y ＝3－ x 2 与 y ＝ ln  x 的图象只有一个交点．从而方程 ln  x ＋ x 2 －3＝0只 有 一个根，即函数 y ＝ ln  x ＋ x 2 －3有一个零点．法二：由于 f (1)＝ ln 1 ＋1 2 －3＝－2<0 ， f (2)＝ ln 2 ＋2 2 －3＝ ln 2 ＋1>0 ， 所以 f (1)· f (2)<0 ， 又 f ( x )＝ ln  x ＋ x 2 －3的图象在(1 ，2 )上是不间断的 ，所以 f ( x )在(1 ，2 )上必有零点 ， 又 f ( x )在(0 ， ＋∞)上是递增的 ， 所以零点只有一个． 【课堂达标】1．B【解析】函数f（x）的定义域为（0，+∞），且函数f（x）单调递增，∵，∴在（1，10）内函数f（x）存在零点，故选B点睛：函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．2．B【解析】【分析】此题可转化为与的交点的横坐标为，利用二次函数的图像即可得到.【详解】若的零点为，则与的交点的横坐标为，令，则与轴的交点的横坐标为，如图所示，其中，故选：B.【点睛】此题考零点的概念即利用图像比较大小，属于简单题.3．B【解析】【分析】首先根据的零点是求得的关系式，对因式分解，由此求得的零点.【详解】由条件知，∴，∴的零点为和.故选B.【点睛】本小题主要考查函数零点的知识运用，属于基础题.4．B【解析】【分析】根据的单调性，结合零点存在性定理，即可得出结论.【详解】在单调递增，且，根据零点存在性定理，得存在唯一的零点在区间上.故选：B【点睛】本题考查判断函数零点所在区间，结合零点存在性定理的应用，属于基础题.5．D【解析】【分析】先判断函数的单调性，然后利用零点存在性定理判断即可【详解】解：设，且，则，因为，所以，即所以f(x)＝－x－x3在[a，b]上单调递减，因为f(a)·f(b)＜0，所以f(x)＝0在[a，b]内有唯一解.故选：D【点睛】此题考查在是函数零点存在性定理的应用，属于基础题.6．D【解析】【分析】求出方程的解，即可判断.【详解】令，解得或1，所以函数的零点是和1.故选：D.【点睛】本题考查零点的求解，属于基础题.7．C【解析】【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可求得整数的值.【详解】由于函数单调递增，且，，由零点存在定理可知，因此，.故选：C.【点睛】本题考查利用零点存在定理求参数，考查计算能力，属于基础题.8．C【解析】【分析】转化为与的函数值异号，列式可解得结果.【详解】函数的对称轴为，当时，函数单调，所以由零点存在定理当函数值有正也有负时，等价于与的函数值异号，即，也就是，解得.故选：C【点睛】本题考查了零点存在性定理，属于基础题.9．B【解析】【分析】直接利用零点存在性定理求解即可【详解】解：因为函数f(x)＝mx＋1的零点在区间(1，2)内，且此函数是连续函数，所以，即解得，故选：B【点睛】此题考查零点存在性定理的应用，属于基础题10．B【解析】【分析】直接利用零点存在定理计算得到答案.【详解】，易知函数单调递增，，，故函数在上有唯一零点.故选：B.【点睛】本题考查了零点存在定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.11．B【解析】【分析】先判断函数的单调性，然后利用零点存在性定理求解即可【详解】解：因为函数在上均为减函数，所以函数在上为减函数，因为，所以函数的零点所在的区间为，故选：B【点睛】此题考查零点存在性定理的应用，属于基础题12．D【解析】【分析】由零点存在性定理可知f(x)在区间[a，b]上至少有一个零点，而函数f(x)在区间[a，b]上单调，从而可判断结果【详解】解：由题意知函数f(x)为连续函数，∵f(a)·f(b)＜0，∴函数f(x)在区间[a，b]上至少有一个零点，又∵函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，∴函数f(x)在区间[a，b]上至多有一个零点，故函数f(x)在区间[a，b]上有且只有一个零点，即方程f(x)＝0在区间[a，b]内必有唯一的实数根.故选：D.【点睛】此题考查零点存在性定理的应用，属于基础题.13．，.【解析】【分析】令，，求出函数的导数，判断函数的单调性，结合函数的图象，推出结果即可.【详解】解：令，，则，令，得或（舍去）当时，；当时，，所以在上是减函数，在上是增函数，又，（1），而在上是增函数，且，作出函数的图象如图，由得，所以当即时，函数与的图象有两个交点.故答案为：.【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的关系，函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.14．①②.【解析】【分析】由题意可得函数f(x)的大致图象，根据图像逐个判断，即可判断出所给命题的真假.【详解】如图：对①，因为函数f(x)的定义域为R，满足f（x+2）＝2f(x)，x∈（0，2]时，f(x)＝2x﹣3，所以f（-1）f（-1+2）f（1）•（21﹣3），所以①正确；对②，f(x)的大致图象如图所示可得当a∈（，]时，方程f(x)＝a在区间[﹣4，4]上有三个不同的实根，所以②正确对③，因为x∈（0，2]时，f(x)＝2x﹣3＝0，x＝log23，又因为f（x+2）＝2f(x)，所以函数f(x)由无数个零点，但没有整数零点，所以③不正确；故答案为：①②.【点睛】本题考查了类周期函数的图像与性质，考查了数形结合思想和函数方程思想，属于中当题.15．【解析】【分析】利用换元法，结合指数方程和一元二次方程之间的关系进行求解即可．【详解】由得，设t＝2x，则t＞0，则方程等价为t2+t-2＝0，即（t+2）（t﹣1）＝0，解得t＝1，或t＝-2（舍）由2x＝1得x＝0，故答案为．【点睛】本题主要考查指数的方程的求解，利用换元法将方程转化为一元二次方程是解决本题的关键，属于基础题． 【能力提升】 16．，【解析】【分析】根据函数解析式，令，分别求出所对应的的值，即可得解；【详解】解：因为，令，当时，，解得当，，解得（舍去）或故函数的零点为，故答案为：，【点睛】本题考查函数的零点的计算，属于基础题.17．0【解析】【分析】要使得在定义域上恒成立，则函数和函数必有相同零点，列出方程组，即可求解.【详解】由题意，令，解得或，因为恒成立，所以函数的零点也为或，所以，即，解得，当时，，当时，，，可得恒成立，当时，，，可得恒成立，综上可得，当时，在定义域上恒成立，所以实数a的值为.故答案：.【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，其中解答中转化为两个函数有相同的零点，列出方程组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.18．【解析】【分析】把已知等式取对数，得到两个关系，抽象成一个方程的解，再根据方程的解的唯一性，得到，关系，进而求出结论.【详解】因为，所以，即，所以，均为方程的根，又因为方程的根唯一，所以.故答案为: 【点睛】本题考查数与方程的关系，解题的关健要把两个条件式子化为结构一致，然后构造出一个方程，考查抽象概括能力，属于难题.19．【解析】【分析】令，解方程即可.【详解】令，即，解得：，故答案为：【点睛】本题主要考查函数零点的求解，属于基础题.20．(1);(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）求出导函数，求出函数的单调递增、递减区间，从而在处取得最大值,需满足,然后验证在，分别有零点即可. （2）由(1)可知,,证出，再利用函数的单调性即可得出，从而得证.【详解】(1)由题,,则当时,,单调递增;当时,,单调递减.故在处取得最大值,由题可知,需满足,即.      当时,,,故函数在上存在一个根,存在,使得,从而函数在上存在一个根,故a的取值范围为.      (2)由(1)可知,,因此       令,则,而,即,从而在上单调递减.所以,        因此,又因为在上单调递减,且,,所以,从而.【点睛】本题考查了函数的零点以及导数在研究函数单调性性中的应用，属于难题.