高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.1 从频数到频率导学案及答案

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.1 从频数到频率导学案及答案，共21页。学案主要包含了教学目标，知识清单，经典例题，课堂达标，能力提升，参考答案等内容，欢迎下载使用。

6.3.1从频数到频率
【教学目标】
重点、难点
重点：频数与频率的概念。
难点：用频数、频率知识解决实际问题。
学科素养
培养交流与合作能力，感受成功的体验，激发学习数学的兴趣，培养应用数学的科学品质。
【知识清单】
1. 收集数据的过程
第一步：明确调查问题
第二步：确定调查对象
第三步：选择调查方法
第四步：展开调查
第五步：记录结果
第六步：得出结论
2. 统计活动
（ 1 ）统计活动就是对调查的结果进行登记、汇总，得出结论的过程，它是数据收集的一个重要的步骤。
（ 2 ）统计活动的过程一般可分为分组登记、分组汇总、总体汇总、得出结论四个基本过程。
3. 频数与频率的定义
（ 1 ）频数：指一组数据中个别数据重复出现的次数或一组数据在某个确定的范围内出现的数据的个数。
（ 2 ）频率：是频数与数据组中所含数据的个数的比。
（ 3 ）频数与频率的联系：频数具体地反映了数据分布的情况，频率反映了不同的数据或在不同的范围内出现的数据在整个数据组中所占的比例。它们都反映了一组数据的分布情况。
（ 4 ）频数与频率的关系：
①各试验结果的频数之和等于试验的总次数。
②各试验结果的频率之和等于 1
③频数 / 总次数 ＝频率
4. 频率的意义
在一定程度上，频率的大小反映了事件发生的可能性的大小。频率大，发生的可能性就大；反之频率小，发生的可能性小。
5. 频率与权数的关系：
在用加权平均数计算平均数时，频率就是权数。
6. 频数的应用
通过统计活动所获得的一些数据，能根据稳定变化的数据作简单的判断和预测。
【经典例题】
（一）频数与频率
例 1. 李明和张健站在罚球处进行定点投篮比赛其结果如下表所示：

上表数据显示，李明投中的频数是 ____________ ；投中的频率是 ____________ ；张健投中的频数是 ____________ ，投中的频率是 ____________ ，两人中投中率更优秀的是 ____________ 。

例 2. 已知一组数据有 40 个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别为 10 ， 5 ， 7 ， 6 ，第五组的频率是 0.20 ，则第六组的频率是（ ）
A. 0.10 B. 0.12 C. 0.15 D. 0.18

（二）频数与权数的关系
例 3. 某校初一某班数学测试成绩如下：
100 分 6 人， 99 分 5 人， 98 分 6 人， 95 分 4 人， 88 分 5 人， 85 分 5 人， 80 分 8 人， 79 分 2 人， 78 分 4 人， 65 分 3 人， 50 分 2 人
（ 1 ）如 85 分以上（含 85 分）为优秀，则成绩为优秀的人的频率是多少？
（ 2 ）利用计算加权平均数的方法，求出这次考试的平均成绩。

（三）频数的应用
例 4 据统计， 2002 年 10 月 1 日 至 10 月 5 日 ，省内外几个主要旅游景点客流量如下表：

如果你是旅行社老板，在明年的国庆长假中，你将如何安排你旅行社的导游、车辆和食宿。









【课堂达标】
1．在容量为50的样本中，某组的频率为，则该组样本的频数为（ ）．
A．9 B．10 C．18 D．20
2．一个容量为20的数据样本，已知分组与频数如下：，2个；，3个；，4个；，5个；4个；，2个．那么，样本数据在区间的可能性为（ ）
A．25％ B．45％ C．55％ D．70％
3．一个容量为20的样本数据，分组后组距为10，区间与频数分布如下：(10，20]，2；(20，30]，3；(30，40]，4；(40，50]，5；(50，60]，4；(60，70]，2.则样本在(10，50]上的频率为（ ）
A． B． C． D．
4．容量为100的样本数据，分组后的频数如下表：
分组






频数
5
12
20
38
17
8

则样本数据落在区间内的频率是（ ）
A．0.25 B．0.35 C．0.45 D．0.55
5．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
分组






频数
2
3
4
5
4
2

则样本数据落在区间的频率为 （ ）
A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.65
6．下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：

空调类
冰箱类
小家电类
其它类
营业收入占比
90.10%
4.98%
3.82%
1.10%
净利润占比
95.80%

3.82%
0.86%

则下列判断中不正确的是（ ）
A．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损
B．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同
C．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供
D．剔除冰箱类销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低
7．一个频率分布表（样本容量为）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在上的频率为，则估计样本在、内的数据个数共有（ ）

A． B． C． D．
8．下表是年我国就业人口及劳动年龄人口（劳动年龄人口包含就业人口）统计表：
时间（年）







就业人口（万人）







劳动年龄人口（万人）








则由表可知（ ）
A．年我国就业人口逐年减少
B．年我国劳动年龄人口逐年增加
C．年这年我国就业人口数量的中位数为
D．年我国劳动年龄人口中就业人口所占比重逐年增加
9．在一次模拟考试后，从高三某班随机抽取了20位学生的数学成绩，其分布如下：
分组






频数
1
2
6
7
3
1

分数在130分（包括130分）以上者为优秀，据此估计该班的优秀率约为（ ）
A．10% B．20% C．30% D．40%
10．已知样本数据:10，8，6，10，13，8，10，12，11，7，8，9，11，9，12，9，10，11，12，11.那么频率为0.2的是（ ）
A． B． C． D．
11．垃圾分类(英文名为Garbage classification)，一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称。垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用。为进一步在社会上普及垃圾分类知识，某中学学生积极到社会上举行垃圾分类的公益讲座，该校学生会为了解本校高一年级1000名学生课余时间参加公益讲座的情况，随机抽取50名学生进行调查，将数据分组整理后，列表如下：
参加场数
0
1
2
3
4
5
6
7
参加人数占调查人数的百分比
8%
10%
20%
26%
18%
12%
4%
2%

下列估计该校高一学生参加公益讲座的情况正确的是（ ）
A．参加公益讲座次数是3场的学生约为360人
B．参加公益讲座次数是2场或4场的学生约为480人
C．参加公益讲座次数不高于2场的学生约为280人
D．参加公益讲座次数不低于4场的学生约为360人
12．采用随机抽样法抽到一个容量为20的样本数据，分组后，各组的频数如下表：
分组






频数
2
3

5

2

已知样本数据在的频率为0.35，则样本数据在区间上的频率为（ ）
A．0.70 B．0.50 C．0.25 D．0.20

13．为了解一批灯泡（共只）的使用寿命，从中随机抽取了只进行测试，其使用寿命（单位：）如下表：
使用寿命





只数






根据该样本的频数分布，估计该批灯泡使用寿命不低于的灯泡只数是________．
14．在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论:
①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;
②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;
③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是____________.
15．一个样本的容量为，分成五组.已知第一组、第三组的频数分别是、，第二组、第五组的频率都为，则该样本第四组的频率为_______.
16．去年，相关部门对某城市“五朵金花”之一的某景区在“十一”黄金周中每天的游客人数作了统计，其频率分布如下表所示：
时间
10月1日
10月2日
10月3日
10月4日
10月5日
10月6日
10月7日
频率
0.05
0.08
0.09
0.13
0.30
0.15
0.20

已知10月1日这天该景区的营业额约为8万元，假定这七天每天游客人均消费相同，则这个黄金周该景区游客人数最多的那一天的营业额约为______万元.

【能力提升】
17．（1）在已分组的若干数据中，每组的频数是指___________，每组的频率是指____________.
（2）一个公司共有N名员工，下设一些部门，要采用等比例外层随机抽样的方法从全体员工中抽取样本量为n的样本，如果某部门有m名员工，那么从该部门抽取的员工人数是____________.
18．2019年1月1日新修订的个税法正式实施，规定：公民全月工资、薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算（预扣）：
全月应缴纳所得额
税率
不超过3000元的部分

超过3000元至12000元的部分

超过12000元至25000元的部分


国家在实施新个税时，考虑到纳税人的实际情况，实施了《个人所得税税前专项附加扣税暂行办法》，具体如下表：
项目
每月税前抵扣金额（元）
说明
子女教育
1000
一年按12月计算，可扣12000元
继续教育
400
一年可扣除4800元，若是进行技能职业教育或者专业技术职业资格教育一年可扣除3600元
大病医疗
5000
一年最高抵扣金额为60000元
住房贷款利息
1000
一年可扣除12000元，若夫妻双方在同一城市工作，可以选择一方来扣除
住房租金
1500/1000/800
扣除金额需要根据城市而定
赡养老人
2000
一年可扣除24000元，若不是独生子女，子女平均扣除.赡养老人年龄需要在60周岁及以上

老李本人为独生子女，家里有70岁的老人需要赡养，有一个女儿正读高三，他每月还需缴纳住房贷款2734元.若2019年11月老李工资，薪金所得为20000元，按照《个人所得税税前专项附加扣税暂行办法》，则老李应缴纳税款（预扣）为______元.

三、解答题
19．已知某保险公司的某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下表：
上年度出险次数
0
1
2
3

保费（元）






随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到下表：
出险次数
0
1
2
3

频数
140
40
12
6
2

该保险公司这种保险的赔付规定如下表：
出险序次
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次及以上
赔付金额（元）




0

将所抽样本的频率视为概率．
（1）求本年度—续保人保费的平均值的估计值；
（2）求本年度—续保人所获赔付金额的平均值的估计值；
（3）据统计今年有100万投保人进行续保，若该公司此险种的纯收益不少于900万元，求的最小值（纯收益=总入保额-总赔付额）．
20．共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调査，并将问卷中的这50人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
频率分布表
组别
分组
频数
频率
第1组

8
0.16
第2组



第3组

20
0.40
第4组


0.08
第5组

2


合计




（1）求的值；
（2）若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的2人中至少一人来自第5组的概率

【参考答案】

【经典例题】

例 1. 分析： 本题已经给出数据，根据该数据可以判断两人在投中率上谁更优秀一些。
从频数上看：李明投 50 个中 30 个，而张健投 40 个中 25 个，还不太容易看出谁的投中率更优秀一些。
从频率上看：李明为 30/50 ＝ 60 ％，而张健为 25/40 ＝ 62.5% ，故高于李明。
所以张健的投中率更优秀一些。
解： 李明投中的频数是 30 ，频率是 30/50 ＝ 60 ％
张健投中的频数是 25 ，频率是 25/40 ＝ 62.5%
∴张健更优秀一些。
小结： 频数和频率是统计中两个重要的数字特征，它们反映了各个对象出现的频繁程度。
例 2. 分析： 可由已知条件得到第一组到第四组数据的频率分别为 0.25 ， 0.125 ， 0.175 ， 0.15 ，这六组的频率之和是 1 ，因此，第六组的频率为 1 － 0.25 － 0.125 － 0.175 － 0.15 － 0.20 ＝ 0.10
解： 根据上述分析可知，此题应选 A 。
小结： 此题利用各组的频率之和等于 1 这个性质。
例 3. 分析： 85 分以上的人数与总人数的比值为优秀的人的频率即优秀率：每种分数的频率即为相应分数的权数。
解： （ 1 ）

（ 2 ）




小结： 此题是利用频数就是计算加权平均数的权数。
例 4 分析： 由表中数据可知四个景点的日客流量变化不大，只要按日平均客流量的比例来安排导游，车辆和食宿即可。
解： 张家界日平均客流量：

凤凰日平均客流量：

昆明日平均客流量：

北京日平均客流量：

日平均客流量之比： 1.96 ： 1.16 ： 2.56 ： 3.08 ≈ 7 ： 4 ： 9 ： 11
∴应按照 7 ： 4 ： 9 ： 11 的比例安排导游，车辆和食宿。
小结： 日客流量变化较为稳定时，才能用频数知识来进行简单预测。

【课堂达标】
1．A
【解析】
【分析】
根据频数、样本容量、频率的关系，结合题设数据，即得解
【详解】
由题意，频数＝样本容量×频率．
故选：A
【点睛】
本题考查了频数、样本容量、频率的关系，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题
2．B
【解析】
【分析】
首先根据题意得到样本数据在区间共有个，再求其概率即可.
【详解】
由题知：样本数据在区间共有个，
故概率为.
故选：B
【点睛】
本题主要考查古典概型，考查学生分析问题的能力，属于简单题.
3．D
【解析】
【分析】
根据频率等于频数比样本容量求解.
【详解】
因为样本在(10，50]上的频数为14，样本容量为20，
所以样本在(10，50]上的频率为
故选：D
【点睛】
本题主要考查统计中频率的求法，属于基础题.
4．A
【解析】
【分析】
计算出落在区间内的频数，再用频数除以样本容量即可.
【详解】
由题意可得样本数据落在区间内的频数为，
则所求频率为.
故选：A.
【点睛】
本题考查在频数分布表中，计算频率，属基础题.
5．B
【解析】
【分析】
根据频数表求出区间上的频数，可计算出频率．
【详解】
由已知区间上的频数为，∴频率为．
故选：B．
【点睛】
本题考查频数分布表，考查频率的概念，属于简单题．
6．B
【解析】
【分析】
根据表格提供的数据，逐项分析，即可得出结论.
【详解】
选项A，该公司2018年度冰箱类电器利润率占比为负值，
因此冰箱类销售亏损，所以A项正确；
选项B，该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润是不同的量，
不知道相应的总量，无法比较，所以B项错误；
选项C，该公司2018年度空调类净利润占比比其它类占比大的多，
因此2018年度净利润主要由空调类电器销售提供，所以C项正确；
选项D，剔除冰箱类销售数据后，该公司2018年度总净利润变大，
而空调类电器销售净利润不变，因此利润占比降低，所以选项D正确.
故选：B.
【点睛】
本题考查统计图表与实际问题，考查数据分析能力,属于基础题．
7．B
【解析】
【分析】
计算出样本在的数据个数，再减去样本在的数据个数即可得出结果.
【详解】
由题意可知，样本在的数据个数为，
样本在的数据个数为，
因此，样本在、内的数据个数为.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用频数分布表计算频数，要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.
8．D
【解析】
【分析】
根据表格中数据就业人口和劳动年龄人口数的变化可判断A、B选项的正误；根据表格中的数据可得出年这年我国就业人口数量的中位数，可判断C选项的正误；利用表格中的数据计算出年我国劳动年龄人口中就业人口所占比重，可判断D选项的正误.
【详解】
由表格中的数据可知，年我国就业人口逐年增加，劳动年龄人口逐年减少，A、B选项均错误；
将年这年我国就业人口数量由小到大依次排列为：、、、、、、，中位数为，C选项错误；
年我国劳动年龄人口中就业人口所占比重如下表所示：
时间（年）







劳动年龄人口中就业人口所占比重








由上表可知，年我国劳动年龄人口中就业人口所占比重逐年增加，D选项正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查统计中相关命题的判断，涉及中位数、频率的计算，考查数据处理能力，属于基础题.
9．B
【解析】
【分析】
由频数分布表可计算得到样本的优秀率，由此可估计得到班级的优秀率.
【详解】
由表可知：优秀的人数为，则优秀率为：
据此估计该班的优秀率约为
故选：
【点睛】
本题考查利用样本估计总体的问题，属于基础题.
10．D
【解析】
【分析】
根据所给数据,结合选项中的分组,即可求得各组的频率.
【详解】
样本共有20个.根据选项,可分为4组,各组的频数和频率如下表所示:
分组
频数
频率

2
0.1

6
0.3

8
0.4

4
0.2
合计
20
1.0

从表中可以看出频率为0.2的是,
故选:D.
【点睛】
本题考查了频率分布表的做法,各组频率求法,属于基础题.
11．D
【解析】
【分析】
根据所给统计表中数据计算可得；
【详解】
解：估计该校高一学生参加活动次数不低于4场的学生约为：人，
参加公益讲座次数是3场的学生约为人，
参加公益讲座次数是2场或4场的学生约为人，
参加公益讲座次数不高于2场的学生约为人；
故选：D.
【点睛】
本题考查统计表的应用，考查学生分析数据、处理数据的能力，属于基础题.
12．D
【解析】
【分析】
根据的频数，构造关于频率的方程，求得；可根据样本容量求解出，从而求得对应频率.
【详解】
由题意得：，解得：
所求频率为：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查统计中频数和频率的计算问题，属于基础题.
13．
【解析】
【分析】
先根据频数分布表计算出使用寿命不低于的灯泡的频率，再乘以即可得出结果.
【详解】
由题意可知，使用寿命不低于的灯泡的频率为，
因此，该批灯泡使用寿命不低于的灯泡只数是.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了频数的计算，解题时要熟悉频数、频率与样本容量之间的关系，考查计算能力，属于基础题.
14．②③
【解析】
【分析】
根据局部频率和整体频率的关系，依次判断每个选项得到答案.
【详解】
不能确定甲乙两校的男女比例，故①不正确；
因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率，故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率，故②正确；
因为不能确定甲乙两校的男女比例，故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系，故③正确.
故答案为：②③.
【点睛】
本题考查局部频率和整体频率的关系，意在考查学生的理解能力和应用能力.
15．
【解析】
【分析】
用减去其它组的频率，求得第四组的频率.
【详解】
依题意，第四组的频率为.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查频率的计算，属于基础题.
16．48
【解析】
【分析】
根据频率的意义,可知每天的营业额与频率成比例,即可求得最高一天的营业额.
【详解】
根据表格可知,10月1日这天的频率为0.05,营业额为8万;频率最高的为10月5日,频率为0.30.
设这个黄金周10月5日的营业额约为x万元.
由
得,则游客人数最多的那一天的营业额约为48万元.
故答案为:48
【点睛】
本题考查了频率的意义,属于基础题.
【能力提升】
17．每组的数据个数. 该组的频数除以全体数据总数. .
【解析】
【分析】
（1）根据统计中的概念,可知频数与频率的定义.
（2）根据分层抽样的定义,即可求得从该部门抽取的员工人数.
【详解】
根据定义,可知每组的频数是指每组的数据个数.
每组的频率指的是该组的频数除以全体数据总数.
根据分层抽样定义,从该部门抽取的人数为
故答案为: (1). 每组的数据个数.该组的频数除以全体数据总数. (2). .
【点睛】
本题考查了统计中的概念,分层抽样中的频数的求法,属于基础题.
18．890
【解析】
【分析】
由题意首先确定老李需要纳税的钱数，然后结合税率计算需要缴纳的个人所得税即可.
【详解】
根据题意，老李应纳税的工资、薪金为元，
其中应纳税额所得额为.
缴纳的个人所得税（预扣）为元，
故答案为：890．
【点睛】
本题主要考查信息处理题的解法，实际问题的数学建模等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19．(1) (2) (3) 100元
【解析】
【分析】
（1）先计算出每个保费对应的概率，然后按照平均值的计算公式计算出平均值的估计值.（2）先计算出每个赔偿金额对应的概率，然后按照平均值的计算公式，计算出平均值的估计值.（3）根据（1）（2）计算的结果计算出纯收益为，使求得的最小值.
【详解】
解：（1）由题意可得
保费（元）





概率
0.7
0.2
0.06
0.03
0.01


∴本年度一续保人保费的平均值的估计值为
；
（2）由题意可得
赔偿金额（元）
0




概率
0.7
0.2
0.06
0.03
0.01


∴本年度一续保人所获赔付金额的平均值的估计值
；
（3）由（1），（2）得该公司此险种的总收益为，
∴，∴，∴基本保费的最小值为100元．
【点睛】
本小题主要考查平均数的计算，考查实际应用问题，属于中档题.
20．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布表可得b.先求得内的频数,即可由总数减去其余部分求得.结合频率分布直方图,即可求得的值.
（2）根据频率分布表可知在内有4人,在有2人.列举出从这6人中选取2人的所有可能,由古典概型概率计算公式即可求解.
【详解】
（1）由频率分布表可得
内的频数为,
∴
∴内的频率为
∴
∵内的频率为0.04
∴
（2）由题意可知,第4组共有4人,第5组共有2人,
设第4组的4人分别为、、、；第5组的2人分别为、
从中任取2人的所有基本事件为：,,,,,,,,,,,,,,共15个.
至少一人来自第5组的基本事件有：,,,,,,,共9个.
所以.
∴所抽取2人中至少一人来自第5组的概率为.
【点睛】
本题考查了频率分布表及频率分布直方图的应用,列举法表示事件的可能,古典概型概率计算方法,属于基础题.