学易金卷：2020-2021学年高一数学上学期期中测试卷01（北师大版2019）

学易金卷：2020-2021学年高一数学上学期期中测试卷01

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

1．若集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

可求出集合，然后进行交集的运算即可．

【详解】

∵，

∴．

故选：B．

【点睛】

考查描述法的定义，不等式的性质，以及交集的运算．

2．命题“”的否定为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据全称量词命题的否定即可得解.

【详解】

根据全称量词命题的否定可知，

“”的否定为，

故选：A.

【点睛】

本题考查了含有量词命题的否定，属于基础题.

3．已知实数，满足，则下列不等式不成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

利用不等式的性质即可判断.

【详解】

对于A，当时，，A选项成立，不符合题意，故A错误；

对于B，当时，，则，，即B选项不成立，符合题意，故B正确；

对于C，，，，即，C选项成立，不符合题意，故C错误；

对于D，当时，，D选项成立，不符合题意，故D错误；

故选：B.

【点睛】

本题考查不等式的性质，属于基础题.

4．若关于的不等式的解集为则不等式的解集为（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】B

【解析】

【分析】

关于的不等式的解集为，根据韦达定理求得，，在关于的不等式的两边同除以，得，即可求得答案.

【详解】

关于的不等式的解集为，

，且1，3是方程的两根，

根据韦达定理可得：，，

，，

在关于的不等式的两边同除以，

得，

不等式变为，

解得：

不等式的解集为：.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了求解一元二次不等式，解题关键是掌握一元二次不等式的解法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

5．已知函数f(x)的定义域为[3，6]，则函数y＝的定义域为（    ）

A．[，＋∞)        B．[，2)         C．(，＋∞)       D．[，2)

【答案】B

【解析】

【分析】

根据的定义域，结合被开方数是非负数，以及真数大于零，即可列出不等式求得结果.

【详解】

要使函数y＝有意义，需满足

⇒≤x<2.

故选：B.

【点睛】

本题考查具体函数和抽象函数定义域的求解，涉及对数不等式的求解，属综合基础题.

6．已知满足，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

由满足，利用（1），能求出结果．

【详解】

满足，

（1）．

故选．

【点睛】

本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

7．已知函数，则的值为（    ）

A． B． C． D．-54

【答案】B

【解析】

【分析】

先确定的范围，从而利用解析式确定的值

【详解】

，即

又

故选：．

【点睛】

本题考查指数运算和对数运算，要求能熟练应用指数运算法则和对数运算法则，属基础题.

8．已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意可知函数为上为减函数，可知函数为减函数，且，由此可解得实数的取值范围.

【详解】

由题意知函数是上的减函数，于是有，解得，

因此，实数的取值范围是．

故选：B.

【点睛】

本题考查利用分段函数的单调性求参数，一般要分析每支函数的单调性，同时还要考虑分段点处函数值的大小关系，考查运算求解能力，属于中等题.

9．下列各组函数中，与相等的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【解析】

【分析】

分析各选项中函数和的定义域，并化简函数解析式，可得出结论.

【详解】

对于A选项，函数的定义域为，函数的定义域为，则；

对于B选项，函数的定义域为，函数的定义域为，则；

对于C选项，函数与函数的定义域均为，且，，则；

对于D选项，函数与函数的定义域均为，且，则.

故选：D.

【点睛】

本题考查函数相等的判断，一般要求两个函数的定义域和对应关系一致，考查推理能力，属于基础题.

10．设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（    ）

A．是偶函数 B．是奇函数

C．是奇函数 D．是奇函数

【答案】C

【解析】

【分析】

根据函数奇偶性的性质即可得到结论．

【详解】

解：是奇函数，是偶函数，

，，

，故函数是奇函数，故错误，

为偶函数，故错误，

是奇函数，故正确．

为偶函数，故错误，

故选：．

【点睛】

本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．

11．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.

【详解】

由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；

当时，，选项B错误.

故选：A.

【点睛】

函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．

12．若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.

【详解】

因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，

所以在上也是单调递减，且，，

所以当时，，当时，，

所以由可得：

或或

解得或，

所以满足的的取值范围是，

故选：D.

【点睛】

本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.

13．已知集合中只有一个元素，则实数k的值为______ ．

【答案】4

【解析】

【分析】

根据条件即可得出一元二次方程只有一个解，从而得出，即可求出的值

【详解】

中只有一个元素，

一元二次方程有两个相等的根，

即

故答案为4

【点睛】

本题主要考查了集合元素问题，只需按照题意解一元二次方程即可，较为基础.

14．已知正实数m，n满足，则的最小值是________.

【答案】

【解析】

【分析】

利用已知条件配凑出：，展开后可用基本不等式求得最小值．

【详解】

∵正实数m，n满足，

∴，当且仅当，即时，等号成立，

∴的最小值是．

故答案为：．

【点睛】

本题考查用基本不等式求最值．基本不等式求最值的条件：一正二定三相等．其中定值常常需要我们配凑出，而“1”的代换是常用的配凑法．

15．不等式对于任意的实数恒成立，则实数的取值范围是_____.

【答案】

【解析】

【分析】

根据一元二次不等式恒成立，得到判别式小于等于0，进而可求出结果.

【详解】

因为不等式对于任意的实数恒成立，

所以只需，

解得：.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查由一元二次不等式恒成立求参数的问题，属于基础题型.

16．设，则________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据为定值，即采用分组求和方式求解.

【详解】

，

.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了函数求值，分组求和，属于容易题.

17．已知集合，.

（1）若，，求实数的取值范围；

（2）若，且，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）先求出，再根据包含关系可得关于的不等式组，从而求实数的取值范围，注意对是否为空集分类讨论；

（2）先求出，再根据得到关于的不等式，从而求实数的取值范围.

【详解】

（1），，，

①若，则，∴；

②若，则，∴，综上.

（2），∴，∴.

【点睛】

本题考查集合的包含关系以及一元二次不等式的解的求法，注意根据集合关系得到不同集合中的范围的端点满足的不等式（或不等式组），要验证等号是否可取，还要注意含参数的集合是否为空集或全集.

18．（1）若正数，满足，求的最小值；

（2）若正数，满足，求的取值范围.

【答案】（1）18；（2）.

【解析】

【分析】

（1）化简得，再利用基本不等式求最值；

（2）由题得，再解一元二次不等式得解.

【详解】

（1）原式.

(当且仅当时取等号.)

所以最小值为18.

（2），

所以，

所以，

所以，

所以.（当且仅当取等号）

所以的取值范围为.

【点睛】

本题主要考查基本不等式求最值，考查一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

19．已知关于的一元二次不等式．

（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；

（Ⅱ）若不等式的解集中恰有两个整数，求实数的取值范围．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

【分析】

（1）根据不等式的解集为，得到关于的一元二次方程的两根分别为

、3，代入方程求解即可.

（2）将不等式，转化为，然后分和讨论求解.

【详解】

（1）由题意可知，关于的一元二次方程的两根分别为、3，

则，

整理得，

解得；        

（2）不等式，即为．      

①当时，原不等式的解集为，

则解集中的两个整数分别为1、2，此时；   

②当时，原不等式的解集为，则解集中的两个整数分别为4、5，此时．  

综上所述，实数的取值范围是．

【点睛】

本题主要考查一元二次不等式的解法以及应用，还考查了分类讨论求解问题的能力，属于中档题.

20．（1）已知是一次函数，满足，求的解析式.

（2）已知，求的解析式.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）设，利用待定系数法即可求解.

（2）利用换元法即可求解.

【详解】

解：（1）设，则，

又因为，所以，，，

所以

（2）设，则

，

所以.

【点睛】

本题考查了待定系数法、换元法求函数解析式，考查了基本运算能力，属于基础题.

21．已知函数在上的最大值与最小值之和为20,记.

(1)求的值.

(2)证明:.

(3)求的值.

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）

【解析】

【分析】

（1）根据函数单调性可知最值在区间端点处取得，由此可构造方程求得；

（2）由（1）可得函数解析式，从而求得，整理可得结论；

（3）采用倒序相加的方式，根据（2）中结论即可求得结果.

【详解】

（1）为单调增函数    ，解得：

（2）由（1）知：   

（3）令

则

两式相加，由（2）可得：   

即

【点睛】

本题考查函数性质的综合应用问题，涉及到利用函数单调性求解参数值、函数解析式的性质、函数值的求解等知识；关键是能够通过函数的单调性确定最值点的位置，进而构造方程得到函数解析式.

22．已知函数对任意实数恒有，且当时，。

(1)判断的奇偶性；

(2)求证：是R上的减函数.

【答案】（1）奇函数； （2）见解析.

【解析】

【分析】

(1)取，求得，再取，得到，即可得到结论；

(2) 利用函数的单调性的定义，即可判定函数为单调递减函数.

【详解】

(1)由题意，函数的定义域为，关于原点对称，

取，因为，则，解得，

取，则，

可得对任意恒成立，

所以为奇函数．

(2) 任取x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1<x2，则x2－x1>0，

所以，即，

因为函数为奇函数，所以，

所以函数为的单调递减函数.

【点睛】

本题主要考查了函数的奇偶性与函数的单调性的判定与证明，其中解答中熟记函数的单调性与奇偶性的定义，以及合理赋值求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.