高中数学人教版新课标A必修33.3.1几何概型教案

这是一份高中数学人教版新课标A必修33.3.1几何概型教案，共4页。教案主要包含了教材分析，学生分析，学法与教学用具，教学程序与设计环节等内容，欢迎下载使用。

一、教材分析
本节内容是新教材必修3中第三章第二节的第一课时，是新增加的知识模块，对于概率部分来说，这是一个教学难点，如何循序渐进地引入新课，由易到难地提出问题，进而顺利地解决问题，是本节课的关键。
二、学生分析
高二的学生已经具备了初步的数学建模的意识，而前一节的学习使学生能够把一些实际问题转化为古典概型，并对概率的意义有了较深刻的理解，在此基础上，通过类比，观察，推断，归纳等合情推理过渡到几何概型应该是水到渠成，顺理成章的，能够有效地提高学生的直觉思维能力，分析问题，解决问题的能力。
三 教学目标
知识与技能
（1）正确理解几何概型的概念；
（2）掌握几何概型的概率公式：
P（A）==；
（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；
（4）能将实际问题通过数学建模后转化为几何概型，进而解决问题。
过程与方法
（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；
（2）类比法教学，通过与古典概型的类比与对比，让学生感触到知识的层进与推陈出新，提高学生发现问题，分析问题的能力，并达到温故而知新的目的。
情感态度与价值观：本节课的主要特点是生活案例多，学习时要积极探求如何构建数学模型，体会数学不是远离生活高不可攀的，更体会学习数学的重要与快乐。
四 重点与难点
1、重点：几何概型的概念、公式及应用；
2、难点：几何概型的应用
五、学法与教学用具
1、通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法；
2、教学用具：幻灯片，计算机及多媒体教学．
六、教学程序与设计环节
创设情境：在古典概型中利用等可能性的概念，成功地解决了某一类问题的概率，不过，在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况。例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个。
[情景一]（幻灯片：讨论题组1）
（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“6点”的概率；
（2）如图，图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向区域B时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率。B
B
B
B
[设计意图]与古典概型类比，引起学生认知上的冲突，很自然地引入新的概率模型。
[问题解决] 学生口答（1）抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6=36种，而两个都是六点的结果只有一种 ，所以
（2）学生对于这种全新的题型，可能会摇头，和学生一起对比分
（1）很明显是一个古典概型，因为结果的有限性和等可能性，所以运用公式很快得到结论，而（2）中，游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，如何来计算概率呢？学生讨论后不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，鼓励学生从直观感觉上给出结果，从而引入新的概率模型——几何概型。
2．基本概念（1）几何概型：事件A理解为区域的某一子区域A，如果事件A发生的概率只与构成该事件的子区域A的几何度量（长度，面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关，则称这样的概率模型为几何概型；
（2）几何概型的概率公式
P（A）=，其中为区域的几何度量，为子区域A的几何度量
（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．
3．例题解析：
[情景2]（幻灯片 例题分析组）
例1．在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率？
分析：草履虫在这500毫升水中的分布可以看作是随机的，取得的2毫升水样可视作构成事件的区域，500毫升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率。
解：取出2毫升水样，其中“含有草履虫”这一事件记为A，则
2a
r
M
P(A)= =．
[设计意图]对于几何概型的各种情况层层展开，让学生有全面的了解和认识。
例2平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r解：把“硬币不与任一条平行线相碰”记为事件A，为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，如图所示，这样线段OM的长度（记作OM）的取值范围就是[,a]，只有当r＜OM≤a时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A的概率就是P（A）==。
[设计意图]从题目设置上抽象出几何概型的另一种几何度量——长度，让学生意识到重点不是死记公式，而是从实际问题中剥离抽象出数学模型，进而体会到数学知识的成功应用带来的快乐。
加强例题：某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率。
[师生讨论后分析]假设他在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.
[学生解答]解:设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)= =，即此人等车时间不多于10分钟的概率为．
[设计意图]对于长度等几何度量以多元化的形式出现，让学生活学活用，达到举一反三的目的。
练习：1．已知地铁列车每10min一班，在车站停1min，求乘客到达站台立即乘上车的概率。
2．两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2m的概率．
学生口答1．由几何概型知，所求事件A的概率为P(A)= ；
2．记“灯与两端距离都大于2m”为事件A，则P(A)= =．
例3 一海豚在水池中自由游弋，水池为长30米，宽20米的长方形。求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2米的概率。
师生讨论：显然这是一个几何概型，我们要把题目中最本质的东西提炼出来，那是什么？学生的答案关键是要找到随机事件对应的几何度量。
问：区域是什么？其几何度量是什么？
区域及其几何度量呢？
回答以上问题后学生很快给出答案P(A)= =
[设计意图]通过例题的设置，使几何概型这本书完全打开，学生对于这部分知识的认知直触本质，犹如登山，最终获得一览众山小的通透和畅快。
（一分钟练习）例1 如图，以正方形ABCD的边长为直径作半圆，重叠部分为花瓣. 现在向该矩形区域内随机地投掷一飞镖，求飞镖落在花瓣内的概率.
解：飞镖落在正方形区域内的机会是均等的，符合几何概型条件. 记飞镖落在花瓣内为事件A，设正方形边长为2r，则
.
所以，飞镖落在花瓣内的概率为.
4、课堂小结
(1) 几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的几何度量成比例；
(2) 分析清楚几何概型的解题关键是既快又准地找到事件对应的几何度量。
(3) 有些几何概型的问题，既不容易分辩出属于几何概率模型，也难发现随机事件的构成区域，如课后习题B的第二题，需要更深入细致地研究。
5、自我评价与课后作业
（1）ABC的面积为s，在AB边上任投一点P，求PBC的面积小于s的概率
（2）ABC的面积为s，在ABC内任投一点P，求PBC的面积小于s的概率
（3）三棱锥D-ABC的体积为v,向其内部任投一点P，求三棱锥P-ABC的体积小于v的概率
[设计意图]在相似的背景下提出问题，得到不同的解答，更能突出几何概型的本质，对学生有较强的冲击力，使本节内容得以巩固加深。