数学必修33.3.1几何概型测试题

这是一份数学必修33.3.1几何概型测试题，共5页。试卷主要包含了理解几何概型的特点和计算公式，会求几何概型的概率等内容，欢迎下载使用。

1．了解几何概型与古典概型的区别，知道均匀分布的含义．
2．理解几何概型的特点和计算公式．
3．会求几何概型的概率．
1．几何概型
(1)定义．
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的____`(面积或体积)成______，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
几何概型的两个特点，一是无限性，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；二是等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的．
(2)计算公式．
在几何概型中，事件A的概率的计算公式是：
P(A)＝____________ .
几何概型的概率计算公式中的“长度”并不是实际意义上的长度，它的意义取决于试验的全部结果构成的区域，当区域分别是线段、平面图形和几何体时，相应的“长度”分别是线段的长度、平面图形的面积和几何体的体积．
【做一做1】 一个红绿灯路口，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为45秒．当你到达路口时，恰好看到黄灯亮的概率是( )
A．eq \f(1,12) B．eq \f(3,8) C．eq \f(1,16) D．eq \f(5,6)
2．均匀分布
当Χ为区间[a，b]上的任意实数，并且是______的，我们称Χ服从[a，b]上的均匀分布，Χ为[a，b]上的均匀______．
【做一做2】 Χ服从[3,40]上的均匀分布，则Χ的值不能等于( )
A．15 B．25 C．35 D．45
答案：1．(1)长度 比例
(2)eq \f(构成事件A的区域长度或面积或体积,试验的全部结果所构成的区域长度或面积或体积)
【做一做1】 C 设看到黄灯亮为事件A，构成事件A的“长度”等于5，试验的全部结果所构成的区域长度是30＋5＋45＝80，所以P(A)＝eq \f(5,80)＝eq \f(1,16).
2．等可能 随机数
【做一做2】 D 由于X∈[3,40]，则3≤X≤40，则X≠45.
区分古典概型和几何概型
剖析：几何概型的特征：一是无限性，试验中所有出现的结果(基本事件)有无限个，即有无限个不同的基本事件；二是等可能性，每个结果出现的可能性是均等的．而古典概型的特征：一是有限性，指在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；二是等可能性，指每个结果出现的可能性(概率)是均等的．
因此判断一个概率模型属于古典概型还是属于几何概型的步骤是：
(1)确定一次试验中每个结果(基本事件)的可能性(概率)是否均等，如果不均等，那么既不属于古典概型也不属于几何概型；
(2)如果试验中每个结果出现的可能性是均等的，再判断试验结果的有限性．当试验结果有有限个时，这个概率模型属于古典概型；当试验结果有无限个时，这个概率模型属于几何概型．
题型一 长度型的几何概型
【例题1】 一只蚂蚁在三边边长分别为3,4,5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为__________．
反思：如果试验的结果所构成的区域的几何度量能转化为实际意义上的线段长度，这种概率称为长度型的几何概型，可按下列公式来计算其概率：
P(A)＝eq \f(事件A构成的区域长度,全部试验结果构成的区域长度).
题型二 面积型的几何概型
【例题2】 取一个边长为4a的正方形及其内切圆，如图所示，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率．
分析：由于是随机丢一粒豆子，因此可认为豆子落入正方形内的任一点都是等可能的，故豆子落入圆内的概率应等于圆的面积与正方形的面积之比．
反思：如果试验的结果所构成的区域的几何度量能转化为平面图形的面积，这种概率称为面积型的几何概型，可按下列公式来计算其概率：
P(A)＝eq \f(构成事件A的区域面积,全部试验结果构成的区域面积).
题型三 体积型的几何概型
【例题3】 有一杯2升的水，其中含有一个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，求这一小杯水中含有这个细菌的概率．
分析：这个细菌所在的位置有无限个，属于几何概型．
反思：如果试验的结果所构成的区域的几何度量能转化为几何体的体积，这种概率称为体积型的几何概型，可按下列公式来计算其概率：
P(A)＝eq \f(构成事件A的区域体积,全部试验结果构成的区域体积).
题型四 不能正确构造出随机事件对应的几何图形
【例题4】 向面积为S的矩形ABCD内任投一点P，试求△PBC的面积小于eq \f(S,4)的概率．
错解：如图1所示，设△PBC的边BC上的高为PF，线段PF所在的直线交AD于E，则当P点到底边BC的距离小于eq \f(1,2)EF时，即0＜PF＜eq \f(1,2)EF，有0＜eq \f(1,2)BC·PF＜eq \f(1,4)BC·EF，则0＜S△PBC＜eq \f(S,4).
设“△PBC的面积小于eq \f(S,4)”为事件A，则A表示的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(S,4)))，所以由几何概型求概率的公式得P(A)＝eq \f(\f(S,4),S)＝eq \f(1,4).
所以△PBC的面积小于eq \f(S,4)的概率是eq \f(1,4).
错因分析：如图2所示，P为矩形ABCD内任意点，△PBC的边BC上的高PF为矩形ABCD内任意线段，但应满足△PBC的面积小于eq \f(S,4).当△PBC的面积等于eq \f(S,4)时，即eq \f(1,2)BC·PF＝eq \f(1,4)BC·EF，所以PF＝eq \f(1,2)EF.过点P作GH平行于BC交AB于G，交CD于H.点P的轨迹是线段GH，满足条件“△PBC的面积小于eq \f(S,4)”的点P应落在矩形区域GBCH内，而不是三角形区域PBC内．出错的原因是不能正确构造出随机事件对应的几何图形．
答案：
【例题1】 eq \f(1,2) 解析：如图所示，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，
则△ABC的周长为3＋4＋5＝12.设某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1为事件A，
则P(A)＝eq \f(DE＋FG＋MN,BC＋CA＋AB)＝eq \f(3＋2＋1,12)＝eq \f(1,2).
【例题2】 解：记“豆子落入圆内”为事件A，
则P(A)＝eq \f(圆的面积,正方形的面积)＝eq \f(π2a2,4a2)＝eq \f(π,4).
故豆子落入圆内的概率为eq \f(π,4).
【例题3】 解：判断这个细菌所在的位置看成一次试验，设小水杯中含有这个细菌为事件A，则事件A构成的区域体积是0.1升，全部试验结果构成的区域体积是2升，所以P(A)＝eq \f(0.1,2)＝0.05.
【例题4】 正解：如图所示，设△PBC的边BC上的高为PF，线段PF所在的直线交AD于E，当△PBC的面积等于eq \f(S,4)时，即eq \f(1,2)BC·PF＝eq \f(1,4)BC·EF，有PF＝eq \f(1,2)EF.过点P作GH平行于BC交AB于G，交CD于H.
则满足S△PBC＝eq \f(S,4)的点P的轨迹是线段GH.
所以满足条件“△PBC的面积小于eq \f(S,4)”的点P应落在矩形区域GBCH内，设“△PBC的面积小于eq \f(S,4)”为事件A，则A表示的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(S,2))).
所以由几何概型求概率的公式，得P(A)＝eq \f(\f(S,2),S)＝eq \f(1,2).
1．一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随意地飞行，若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个面的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全，若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的．假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是( )
A． B． C． D．
2．在长度为1的线段AB上随机地选取一点P，则得到|PA|≤的概率是__________．
3．在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则所投的点落在E中的概率是__________．
4．如图，在直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，求射线OA落在∠xOT内的概率．
答案：1．C 蜜蜂的飞行区域是棱长为30的正方体内部 V＝303＝27 000，蜜蜂安全飞行的区域是棱长为30－10－10＝10的正方体内部V′＝103＝1 000，所以蜜蜂飞行是安全的概率是＝.
2. 解析：设线段AB的中点为C，如图所示，则点P在线段AC上时满足|PA|≤，设|PA|≤成立为事件M，则有P(M)＝＝＝.
3. 设点P(x，y)是区域D内任意一点，则即则区域D是直线x＝±2与y＝±2围成的正方形，
如图所示．区域E是以原点为圆心，半径为1的圆面．设点P落在区域E中为事件A，
则P(A)＝＝＝.
4．解：记事件M为“射线OA落在∠xOT内”，因为∠xOT＝60°，所以P(M)＝＝.
即射线OA落在∠xOT内的概率为.