2021-2022学年九年级数学上学期期末测试卷（北师大版，广东专用）03（含考试版+全解全析+答题卡）

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2021–2022学年上学期期末测试卷03（北师大版，广东专用）
九年级数学·全解全析
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
第Ⅰ卷
一、选择题（每小题3分，共30分）

1．（2021·四川·成都嘉祥外国语学校九年级期中）下列给出的各个点中，在双曲线上的点为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据双曲线得到，只要具备就能判断此点在图象上，反之就不在图象上，代入判断即可．
【详解】
解：∵，
∴，
A、，选项说法错误，不符合题意；
B、，选项说法错误，不符合题意；
C、，选项说法正确，符合题意；
D、，选项说法错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题考查了对反比例函数上点的坐标特征的理解和掌握，解题的关键是能根据点的坐标特征进行判断．
2．（2021·四川省成都市七中育才学校九年级期中）把方程x2+x＝3（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（　　）
A．1，﹣2，2 B．1，﹣3，6 C．1，﹣2，6 D．1，4，6
【答案】C
【分析】
将方程x2+x＝3（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式，即可求解．
【详解】
解：把方程x2+x＝3（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式为：
，
∴ ．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题的关键．
3．（2021·辽宁本溪·九年级期中）如图所示的几何体的主视图为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据主视图的意义得出该几何体的主视图即可．
【详解】
解：从正面看该几何体，是一行两个矩形，
故选：D．
【点睛】
本题考查了几何体的三视图，掌握简单几何体三视图的形状是正确判断的前提．
4．（2021·湖北梁子湖·九年级期中）若x1，x2是方程x2－3x－2＝0的两个根，则x1＋x2的值为（ ）
A．－2 B．2 C．－3 D．3
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可．
【详解】
解：由题意，得：x1+x2=3；
故选D．
【点睛】
此题主要考查的是一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，则x1+x2=−．
5．（2021·四川·成都嘉祥外国语学校九年级期中）如图，直线，直线AC和DF被，，所截，，，，则的长为（ ）．

A．2 B．3 C．4 D．
【答案】D
【分析】
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入已知数据计算，得到答案．
【详解】
解：∵l1∥l2∥l3，
∴，即，
解得，DE，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
6．（2021·浙江·温州市第十二中学九年级期中）某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，实验结果统计如下：
移植总数（n）
50
270
400
750
1500
3500
7000
9000
14000
成活数（m）
47
235
369
662
1335
3203
6335
8073
12628
成活频率（）
0.94
0.87
0.923
0.883
0.89
0.915
0.905
0.897
0.902
由此可以估计该种幼树移植成活的概率为（　　）（结果保留小数点后两位）
A．0.88 B．0.89 C．0.90 D．0.92
【答案】C
【分析】
概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率．
【详解】
概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，
∴这种幼树移植成活率的概率约为0.90，
故选：C．
【点睛】
本题考查了用频率估计概率，熟练掌握用频率估计概率的条件和方法是解答的关键．
7．（2021·辽宁大东·九年级期中）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为（ ）

A．16 B．20 C．29 D．34
【答案】B
【分析】
由矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，可求得BC与CD的长，然后由勾股定理求得AC的长，再由三角形中位线的性质求得OM的长，由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半，求得OB的长，继而求得四边形ABOM的周长．
【详解】
解：∵矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，
∴BC＝AD＝12，CD＝AB＝5，∠ABC＝90°，OA＝OC，
∴AC＝，
∴OB＝OA＝OC＝AC＝6.5，
∵M是AD的中点，
∴OM＝CD＝2.5，AM＝AD＝6，
∴四边形ABOM的周长为：AB＋OB＋OM＋AM＝5＋6.5＋2.5＋6＝20．
故选：B．
【点睛】
此题考查了矩形的性质、三角形中位线的性质、勾股定理以及直角三角形斜边的中线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
8．（2021·山东省青岛第二十六中学九年级期中）在一个不透明的袋子里装有白球、红球共40个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ）
A．16 B．24 C．4 D．8
【答案】A
【分析】
设袋子中红球有x个，根据摸出红球的频率稳定在0.4左右列出关于x的方程，求出x的值，从而得出答案．
【详解】
解：设袋子中红球有x个，
根据题意得：，
解得：，
∴袋子中红球的个数最有可能是16个，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
9．（2021·辽宁·沈阳市光明中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点B在函数（x>0）的图象上，点Р是矩形OABC内的一点，连接PO、PA、PB、PC，则图中阴影部分的面积是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】
两个阴影图形均为三角形，根据三角形的面积公式计算推出阴影面积和为矩形面积的一半即可．
【详解】
解：由反比例函数的性质得：S矩形AOBD=6，
∵，
∴




故选：A．
【点睛】
本题考查反比例函数k的几何意义和图形的转换，关键在于将阴影的面积转换为已知条件．
10．（2021·河南安阳·八年级期末）如图1，点P从菱形ABCD的顶点A出发，沿着折线ABCDA匀速运动，图2是线段AP的长度y与时间x之间的函数关系的图像（不妨设当点P与点A重合时，y＝0），则菱形ABCD的面积为（ ）

A．12 B．6 C．5 D．2.5
【答案】B
【分析】
连接AC，BD且相交于点O，由图2可知AB＝2.5，AC＝4，根据菱形的性质可得AO＝2，再根据勾股定理可得BO的长，进而得出BD的长，然后根据菱形的面积等于对角线的乘积的一半求解即可．
【详解】
解：连接AC，BD且相交于点O，

根据题意，结合图2可知，AB＝2.5，AC＝4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝AC＝2，
∴BO＝，
∴BD＝2BO＝3，
∴菱形ABCD的面积为AC•BD＝×4×3＝6．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查动点问题的函数问题，解题的关键是熟悉整个运动过程，找到关键点（一般是函数图象的折点），对应数据转化为图形中的线段长度．



第Ⅱ卷
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．（2021·河南卫辉·九年级期中）已知，则________．
【答案】
【分析】
根据比的性质解答即可；
【详解】
解：∵
∴n=3m
∴
故答案为：
【点睛】
此题考查了比例的性质，关键是根据比例的性质解答．
12．（2021·辽宁凌海·九年级期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是______．
【答案】且
【分析】
由于关于的一元二次方程有实数根，计算根的判别式， 得关于的不等式，由于一元二次方程二次项系数不为0得出，，求解即可．
【详解】
关于的一元二次方程有实数根，
，且．
解得：且．
故答案为：且．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式的应用，掌握“方程有两个实数根，则”是解题的关键.
13．（2021·四川成都·九年级期中）如果m是从1、2、3三个数中任取得一个数，n是2、3两个数中任取得一个数，那么关于x的一元二次方程x2﹣2mx+n2＝0有实数根的概率为 ___．
【答案】
【分析】
先列表得出所有等可能结果，再从中找到满足Δ＝（−2m）2−4n2≥0，即m2≥n2的结果数，继而利用概率公式求解即可．
【详解】
解：列表如下：

2
3
1
（1，2）
（1，3）
2
（2，2）
（2，3）
3
（3，2）
（3，3）
由表可知，共有6种等可能结果，其中满足Δ＝（−2m）2−4n2≥0，即m2≥n2的有（2，2）、（3，2）、（3，3）这3种结果，
∴关于x的一元二次方程x2−2mx＋n2＝0有实数根的概率为，
故答案为：．
【点睛】
此题考查了一元二次方程根的判别式、列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（2021·北京·二模）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端D观察水岸C，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么井深为______米．

【答案】7
【分析】
由题意易得，则有，然后问题可求解．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵米，米，米，
∴，
解得米，
故井深AC为7米．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
15．（2021·广东·佛山市三水区三水中学附属初中九年级期中）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是__．


【答案】
【分析】
连接BD交AC于点O，则可证得OE=OF，OD=OB，可证四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，可证得四边形BEDF为菱形；根据勾股定理计算DE的长，可得结论．
【详解】
解：如图，连接BD交AC于点O，

∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，OD=OB=OA=OC，
∵AE=CF=2，
∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，
∴四边形BEDF为菱形，
∴DE=DF=BE=BF，
∵AC=BD=8，OE=OF==2，
由勾股定理得：DE==2，
∴四边形BEDF的周长=4DE=4×2=8，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质、菱形的判定和性质及勾股定理，掌握对角线互相垂直平分的四边形为菱形是解题的关键．
16．（2021·湖南·常德市第二中学九年级期中）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的横坐标为，则点的坐标为 __．

【答案】
【分析】
反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【详解】
解：把代入得，，
，
点与点关于原点对称，
点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象的中心对称性，关于原点对称的两点的横、纵坐标分别互为相反数．
17．（2021·江苏·苏州市平江中学校八年级月考）如图，在中，，点P是边的中点，点Q是边上一个动点，当_______时，与相似．

【答案】2或8
【分析】
可根据相似三角形的判定：夹角相等对应边成比例的两个三角形形似，则（1）当时，有；（2）当时，有，进而可求出BQ的长．
【详解】
当时，
则，
，点P时AB边的中点，
,
,
,
当时，
则，
，点P时AB边的中点，
,
，
，
故答案为：2或8．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，正确分类讨论是解题关键．



三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（2020·江西吉安·九年级期中）（1）解方程：．
（2）如图，在中，平分，交于点，是上一点，连接，且．证明：．

【答案】（1）；（2）见解析
【分析】
（1）利用因式分解法解方程即可
（2）由角平分线的定义可得出∠ABD=∠CBD，再根据三角形的外角∠ADB=∠CBD+∠C，结合已知，得出∠EDB=∠C，即可证出△BCD～△BDE．
【详解】
解：（1）∵
∴（x-2）（2x+1）=0
∴x-2=0或2x+1=0
∴
（2）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD．
∵
∴∠CBD=∠ADE
∵∠ADB=∠CBD+∠C=∠ADE+∠EDB，
∴∠C=∠EDB
∴△BCD～△BDE．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程和相似三角形的判定，熟练掌握相关的知识是解题的关键
19．（2021·浙江·杭州市惠兴中学九年级期中）吉林省已有六家国家5A级旅游景区，分别为a：长影世纪城；b：伪满皇宫博物院；c：长白山景区；d：六鼎山文化旅游区；e：长春世界雕塑园；f：天山天池．张帆同学与父母计划在十一期间从中选择部分景区游玩．
（1）张帆一家选择e：长春世界雕塑园的概率是 　 　；
（2）若张帆一家选择了e：长春世界雕塑园，他们再从a，b，c，d四个景区中任选两个景区去旅游，求选择a，d两个景区的概率（要求画树状图或列表求概率）．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据概率公式直接求解即可，，概率=所求情况数与总情况数之比；
（2）根据题意画树状图或列表求概率即可
【详解】
（1）共有6个景区，则张帆一家选择e的概率是．
故答案为：；
（2）列表可得，

a
b
c
d
a

ba
ca
da
b
ab

cb
db
c
ac
bc

dc
d
ad
bd
cd

共有12种等可能结果，其中选择a，d两个景区有2种
选择a，d两个景区的概率为．
【点睛】
本题考查了概率公式，用列表法或画树状图法求概率；列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比，掌握求概率的方法是解题的关键．
20．（2021·河南·淅川县基础教育教学研究室九年级期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，请按要求完成下面的问题：
（1）以图中的点O为位似中心，将△ABC同向作位似变换且放大到原来的两倍得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）在（1）的条件下，若△ABC内有一点P的坐标为（3，2），求位似变化后对应的点P′的坐标．

【答案】（1）见解析；（2）（6，4）．
【分析】
（1）由以图中的点O为位似中心，将△ABC作位似变换且同向放大到原来的两倍，可得△A1B1C1的坐标，继而画出△A1B1C1；
（2）由（1）可得△A1B1C1与△ABC的位似比为2：1，继而可求得位似变化后对应的点P′的坐标．
【详解】
（1）如图所示：

（2）∵以点O为位似中心，将△ABC作位似变换且同向放大到原来的两倍，且△ABC内一点P的坐标为（3，2），
∴位似变化后对应的点P′的坐标是：（6，4）．
【点睛】
此题考查了位似图形的性质与位似变换．此题难度不大，注意掌握位似图形的性质是解此题的关键．


四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（2021·辽宁大东·九年级期中）如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，．

（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）四边形是矩形，理由见解析；（2）9
【分析】
（1）根据菱形的性质和矩形的判定定理解决问题；
（2）根据（1）的结论和题干条件，用勾股定理求线段的长即可求得．
【详解】
（1）四边形是矩形．理由如下：
∵四边形是菱形，
∴．
∵是的中点，
∴是的中位线，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴．
∵是的中点，
∴．
由（1）知，四边形是矩形，
∴．
∵，，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了平行四边形，菱形、矩形的性质与判定，勾股定理，熟练以上定理与性质是解题的关键．
22．（2021·陕西·榆林市第一中学分校九年级月考）某农户建一个养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为19米，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成；篱笆总长34米，长方形养鸡场除门外四周不留空隙．
（1）若要围成的鸡场面积为160平方米，则养鸡场的长和宽各为多少米？
（2）围成养鸡场的面积能否达到180平方米？请说明理由．

【答案】（1）长为16米，宽为10米；（2）不能，见解析
【分析】
（1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（34+2-2x）米，根据养鸡场的面积为160平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，结合墙长19米，即可确定养鸡场的长和宽；
（2）不能，设垂直于墙的一边长为y米，则平行于墙的一边长为（34+2-2y）米，根据养鸡场的面积为180平方米，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ=-36＜0，即可得出该方程无实数根，即围成养鸡场的面积不能达到180平方米．
【详解】
解：（1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（34+2-2x）米，
依题意得：x（34+2-2x）=160，
整理得：x2-18x+80=0，
解得：x1=8，x2=10．
当x=8时，34+2-2x=34+2-2×8=20＞19，不合题意，舍去；
当x=10时，34+2-2x=34+2-2×10=16＜19，符合题意．
答：养鸡场的长为16米，宽为10米．
（2）不能，理由如下：
设垂直于墙的一边长为y米，则平行于墙的一边长为（34+2-2y）米，
依题意得：y（34+2-2y）=180，
整理得：y2-18y+90=0．
∵△=（-18）2-4×1×90=-36＜0，
∴该方程无实数根，
即围成养鸡场的面积不能达到180平方米．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
23．（2021·江苏宝应·九年级期中）如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP＝QB．
（1）求两个路灯之间的距离．
（2）当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？

【答案】（1）18米；（2）米
【分析】
（1）如图1，先证明△APM∽△ABD，利用相似比可得AP＝AB，即得BQ＝AB，则AB+12+AB＝AB，解得AB＝18（m）；
（2）如图2，他在路灯A下的影子为BN，证明△NBM∽△NAC，利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出BN即可．
【详解】
解：（1）如图1，∵PM∥BD，
∴△APM∽△ABD，
，即，
∴AP＝AB，
∵QB=AP，
∴BQ＝AB，
而AP+PQ+BQ＝AB，
∴AB+12+AB＝AB，
∴AB＝18．
答：两路灯的距离为18m；
（2）如图2，他在路灯A下的影子为BN，
∵BM∥AC，
∴△NBM∽△NAC，
∴，即，解得BN＝3.6．
答：当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是3.6m．

【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，要求学生能根据题意画出对应图形，能判定出相似三角形，以及能利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等的原理解决求线段长的问题等，蕴含了数形结合的思想方法．


五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．（2021·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．
（1）求k的值．
（2）若将菱形ABCD向右平移，使点D落在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，求菱形ABCD平移的距离．

【答案】（1）k＝32；（2）
【分析】
（1）根据点D的坐标为（4，3），即可得出DE的长以及DO的长，即可得出A点坐标，进而求出k的值；
（2）根据D′F′的长度即可得出D′点的纵坐标，进而利用反比例函数的性质求出OF′的长，即可得出答案．
【详解】
解：（1）作DE⊥BO，DF⊥x轴于点F，
∵点D的坐标为（4，3），
∴FO＝4，DF＝3，
∴DO＝5，
∴AD＝5，
∴A点坐标为：（4，8），
∴xy＝4×8＝32，
∴k＝32；
（2）∵将菱形ABCD向右平移，当点D落在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴DF＝3，D′F′＝3，
∴D′点的纵坐标为3，
∴3＝，
x＝，
∴OF′＝，
∴FF′＝﹣4＝，
∴菱形ABCD平移的距离为：．
．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数图象性质，菱形的性质和平移的性质，解决本题的关键是要熟练掌握反比例函数图象性质，菱形的性质和平移的性质.
25．（2021·福建安溪·九年级期中）在等腰直角△ABC中，AB＝AC，点D在底边BC上，∠EDF的两边分别交AB、AC所在直线于E、F两点，∠EDF＝2∠ABC，BD＝nCD．
（1）如图1，若n＝1，则DE　 　DF；（填“＞”“＜”或“＝”）
（2）连接EF．
①如图2，沿着直线EF折叠，使得点A落在边BC上的D点，求的值（含n的式子表示）；
②如图3，EFBC，且，求出n的值．

【答案】（1）；（2）；（3）或
【分析】
（1）连接，证明即可求得；
（2）过点作，可得四边形是矩形，可得，由是等腰直角三角形，可得，证明，根据即可求得
（3）过点分别作的垂线，垂足分别为，证明，设，则，设，则，根据相似比列方程求得的长，进而求得的长，根据即可求得比值．
【详解】
（1）如图，连接，

是等腰直角三角形
，
，
，

在与中



故答案为：=
（2）过点作，



四边形是矩形


是等腰直角三角形


折叠

，







（3）如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，


是等腰三角形，


四边形是平行四边形

四边形是矩形
，


设，则
，，






设，则

解得
当时，

当时，


或
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．