2021-2022学年九年级数学上学期期末测试卷（人教版，广东专用）02（含考试版+全解全析+答题卡）

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2021–2022学年上学期期末测试卷02（人教版，广东专用）
九年级数学·全解全析
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
第Ⅰ卷
一、选择题（每小题3分，共30分）

1．（2021·广西合浦·九年级期中）方程2x2+x＝3的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．2，0，3 B．2，1，3 C．2，0，﹣3 D．2，1，﹣3
【答案】D
【分析】
先把方程化为一般式得到2x2+x−3＝0，然后便可得到二次项系数、一次项系数、常数项．
【详解】
解：先化为一般式为2x2+x−3＝0，
所以二次项系数为2、一次项系数为1、常数项为−3．
故选D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a、b、c为常数，且a≠0），其中a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项，掌握一元二次方程的一般形式是解题关键．
2．（2021·湖北黄陂·九年级期中）下列四个汽车标志图案中，可以看作是中心对称图形的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据中心对称图形的定义求解即可．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】
解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
【点睛】
此题考查了中心对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握中心对称图形的定义．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
3．（2021·江苏盐都·九年级期中）方程2x2+3x﹣5＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程根的判别式可直接进行排除选项．
【详解】
解：由方程2x2+3x﹣5＝0可得：
，
∴方程有两个不相等的实数根；
故选A．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
4．（2021·浙江·杭州市惠兴中学九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A＝40°，则∠B的度数为（ ）

A．80° B．60° C．50° D．40°
【答案】C
【分析】
由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠C=90°，又由直角三角形中两锐角互余，即可求得答案．
【详解】
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵∠A=40°，
∴∠B=90°-∠A=50°．
故选：C．
【点睛】
此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意直径所对的圆周角是直角定理的应用．
5．（2021·山东·济南市长清区第三初级中学九年级月考）在一个不透明的口袋里，装有仅颜色不同的黑球、白球若干个，某小组做摸球实验：将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，再放入袋中，不断重复，下表是活动中的一组数据，则摸到黑球的概率约是（　　）
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到黑球的次数m
42
54
84
205
328
401
摸到黑球的频率
0.42
0.3
0.42
0.41
0.41
0.401
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
【答案】A
【分析】
根据表格中的数据，随着实验次数的增大，频率逐渐稳定在0.4左右，即为摸出黑球的概率．
【详解】
解：观察表格得：通过多次摸球实验后发现其中摸到黑球的频率稳定在0.4左右，
则P黑球＝0.4．
故选：A．
【点睛】
此题考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近．
6．（2021·江苏盱眙·九年级期中）有下列说法：①任意三点确定一个圆；②任意一个三角形有且仅有一个外接圆；③长度相等的两条弧是等弧；④直径是圆中最长的弦，其中正确的是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】D
【分析】
根据与圆相关的基本概念、性质和定义进行逐项分析判断即可．
【详解】
解：①任意不在同一直线上的三个点确定一个圆，故原说法错误；
②任意一个三角形三边的中垂线有且仅有一个交点，则对应的外接圆有且仅有一个，故原说法正确；
③在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故原说法错误；
④连接圆上任意两点的线段是弦，其中直径是圆中最长的弦，故原说法正确；
∴说法正确的有：②④，
故选：D．
【点睛】
本题考查和圆相关的基本概念与性质，掌握圆的基本性质，理解圆中的相关概念是解题关键．
7．（2021·贵州黔东南·九年级期中）如图所示，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△COD绕点O按顺时针方向旋转到△AOB的位置，则旋转的角度为（ ）

A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】D
【分析】
根据旋转的性质，对应边的夹角即为旋转角．
【详解】
解：△COD绕点O按顺时针方向旋转到△AOB的位置，
OD的对应边为OB，其夹角为旋转角，
旋转角的角度为90°，
故选：D．
【点睛】
本题考查旋转的性质，熟记性质及旋转角的确定是解题关键．
8．（2021·辽宁本溪·九年级期中）在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为30%，估计袋中黑球有（ ）个．
A．8 B．9 C．14 D．15
【答案】C
【分析】
根据摸到白球的频率约为30%，用6除以30%得到总球数，再计算求解即可．
【详解】
解：∵摸到白球的频率约为30%，
∴不透明的袋子中一共有球为：6÷30%=20（个），
黑球有20-6=14（个），
故选：C．
【点睛】
本题考查了用频率求总体，解题关键是明确频率的意义，求出总共有多少个球．
9．（2021·江苏沛县·九年级期中）二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ）
A．向下，直线， B．向下，直线，
C．向上，直线， D．向下，直线，
【答案】D
【分析】
由二次函数解析式化为顶点式确定其开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．
【详解】
解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为（-3，2），
故选：D．
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为，对称轴为直线．
10．（2021·江苏沛县·九年级期中）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2.5，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中说法正确的是（　　）

A．①②③ B．②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【分析】
根据图象分别求出a、b、c的符号，即可判断①，根据对称轴求出b＝2a，代入2a﹣b即可判断②，把x＝2代入二次函数的解析式，再根据图象即可判断③，求出点（﹣5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标，根据对称轴即可判断y1和y2的大小.
【详解】
解：∵二次函数的图象开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数的图象交y轴的负半轴于一点，
∴c＜0，
∵对称轴是中线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0，
∴abc＜0，∴①正确；
∵b＝2a，
∴2a﹣b＝0，∴②正确；
把x＝2代入y＝ax2+bx+c得：y＝4a+2b+c，
从图象可知，当x＝2时y＞0，
即4a+2b+c＞0，∴③错误；
∵（﹣5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标是（3，y1），
又∵当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，2.5＜3，
∴y1＞y2，∴④正确；
即正确的有3个①②④.
故选：C.
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，关键是注意：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，当a＜0时，二次函数的图象开口向下.



第Ⅱ卷
二、填空题（每小题4分，共28分）

11．（2021·四川·阆中中学九年级期中）抛物线与y轴的交点坐标为__________．
【答案】
【分析】
根据y轴上点的横坐标为0，令x=0，进行计算即可得解．
【详解】
解：当x=0时，y=02-5=4-5=-5，
所以，抛物线y=x2-5与y轴的交点坐标为（0，-5）．
故答案为：（0，-5）．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据y轴上点的横坐标为0求出交点的纵坐标是解题的关键．
12．（2021·江西赣州·九年级期中）设α、β是一元二次方程x2＋x﹣2021＝0的两个实数根，则α2＋2α＋β＝_____．
【答案】2020
【分析】
根据一元二次方程解的定义得到α2＝﹣α+2021，则α2+2α+β化为α+β+2021，再根据根与系数的关系得到α+β＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算α2+2α+β的值．
【详解】
解：∵α是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的根，
∴α2+α﹣2021＝0，
∴α2＝﹣α+2021，
∴α2+2α+β＝﹣α+2021+2α+β＝α+β+2021，
∵α、β是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，
∴α+β＝﹣1，
∴α2+2α+β＝﹣1+2021＝2020．
故答案为：2020．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系进行求解．
13．（2021·江苏玄武·九年级期中）一只布袋中有三种小球（除颜色外没有任何区别），分别是2个红球，3个黄球和5个蓝球，每一次只摸出一只小球，观察后放回搅匀，在连续9次摸出的都是蓝球的情况下，第10次摸出黄球的概率是_________________．
【答案】
【分析】
由题可知，第10次摸出的球的颜色与前9次的结果是无关的，求出球的总数和黄球的个数，利用概率的公式进行计算即可．
【详解】
∵共有个小球，3个黄球，
∴第10次摸出黄球的概率是．
故答案为．
【点睛】
本题是一道关于概率的题目，解答本题的关键是熟练掌握概率的计算公式．
14．（2021·浙江金华·九年级期中）已知⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P为⊙O上除C、D外任意一点，则∠CPD的度数为________．

【答案】30°或150°
【分析】
连接OC、OD，如图，利用正六边形的性质得到∠COD=60°，讨论：当P点在弧CAD上时，根据圆周角定理得到∠CPD=30°，当P点在弧CD上时，利用圆内接四边形的性质得到∠CPD=150°．
【详解】
解：连接OC、OD，如图，

∵⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，
∴∠COD=60°，
当P点在弧CAD上时，∠CPD=∠COD=30°，
当P点在弧CD上时，∠CPD=180°-30°=150°，
综上所述，∠CPD的度数为30°或150°．
故答案为：30°或150°．
【点睛】
本题考查了正多边形与圆：熟练掌握正多边形的有关概念和正多边的性质．也考查了圆周角定理．
15．（2021·广东·广州市第七十五中学九年级期中）已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ___．
【答案】且
【分析】
根据根的判别式和一元一次方程的定义得出△=（-2）2-4（k-1）×1＞0且k-1≠0，求出k的取值即可．
【详解】
解：关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
，且
解得：且
故答案为：且
【点睛】
本题考查了根的判别式和一元一次方程的定义，能根据题意得出关于k的不等式是解此题的关键．
16．（2021·甘肃武威·九年级期中）已知二次函数y＝ax2+2ax﹣1（其中x是自变量），当x≥1时，y随x的增大而减小，且时，y的最小值为﹣9，则a的值为___．
【答案】
【分析】
先求得二次函数化的对称轴，再根据二次函数的增减性得出，再根据最小值求得的值．
【详解】
二次函数y＝ax2+2ax﹣1，
对称轴是，
当x≥1时，y随x的增大而减小，

时，y的最小值为﹣9，
当时候，取得最小值，
时，，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值，理解题意，掌握二次函数的性质是解题的关键．
17．（2021·黑龙江·桦南县第四中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去……若点，，则点的坐标为________．

【答案】
【分析】
由勾股定理可计算出AB的长，其周长为p=6，△AOB经过3次旋转后点B2的横坐标为OA+AB+OB=p=6，即为三角形的周长，纵坐标为2，即B2(6，2)；再经过3次旋转后点B4的横坐标为2(OA+AB+OB)=2p=12，即为三角形的周长2倍，纵坐标为2，即B4(12，2)；再经过3次旋转后点B6的横坐标为3（OA+AB+OB）=3p=18，即为三角形的周长的3倍，纵坐标为2，即B6(18，2)；…；一般地，△AOB经过3n次旋转后点B2n的横坐标为n（OA+AB+OB）=np=6n，即为三角形的周长的n倍，纵坐标为2，B2n(6n，2)．从而根据规律可求得B2022的坐标．
【详解】
∵，
∴
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
∴△AOB的周长为
△AOB经过3次旋转后点B2的横坐标为OA+AB+OB=p=6，即为三角形的周长，纵坐标为2，即B2(6，2)；
△AOB再经过3次旋转后点B4的横坐标为2(OA+AB+OB)=2p=12，即为三角形的周长2倍，纵坐标为2，即B4(12，2)；
再经过3次旋转后点B6的横坐标为3（OA+AB+OB）=3p=18，即为三角形的周长的3倍，纵坐标为2，即B6(18，2)；
…；
一般地，经过3n次旋转后点B2n的横坐标为n（OA+AB+OB）=np=6n，即为三角形的周长的n倍，纵坐标为2，即B2n(6n，2)．
∵2022是偶数
∴B2022(6066，2)
故答案为：
【点睛】
本题是平面直角坐标系中坐标规律探索问题，先由特殊情况出发，得出一般性规律，再回到特殊情况，体现了数学中的归纳思想，这是问题的关键．注意数形结合．


三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（2021·湖北梁子湖·九年级期中）解下列方程：
（1）x2－4x－6＝0； （2）(x－1)2＋2x(x－1)＝0.
【答案】（1），；（2），
【分析】
（1）利用配方法求解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法求解一元二次方程即可．
【详解】
解：（1）



，
（2）


，
【点睛】
此题考查了一元二次方程的求解，涉及了配方法和因式分解法，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题的关键．
19．（2021·浙江衢州·九年级期中）作为中国共产党建党百年的献礼，我校精心策划“庆祝中国共产党成立100周年”歌唱比赛，歌曲有：《没有共产党就没有新中国》，《歌唱祖国》，《少年中国说》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，九年一班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由九年二班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌唱比赛．
（1）九年一班抽中歌曲《少年中国说》的概率是______；
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出一班和二班抽中不同歌曲的概率．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）直接根据概率公式计算可得；
（2）画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得．
【详解】
解：（1）因为有A，B，C，3种等可能结果，
所以九（1）班抽中歌曲《少年中国说》的概率是，
故答案为；
（2）树状图如图所示：

共有9种可能，九（1）班和九（2）班抽中不同歌曲的有6种结果，
∴九（1）班和九（2）班抽中不同歌曲的概率为6÷9＝．
【点睛】
此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（2021·福建永春·九年级期中）崇武古城是外地游客来惠安最喜欢打卡的旅游目的地之一．2020年五一小长假，崇武古城共接待游客2万人次，预计2022年五一假期，接待游客将达2.88万人次．古城边有一家特色闽南面线糊小店，根据以往销售经验测算，面线糊成本价每碗10元；若每碗售价15元，平均每天能销售120碗，若售价提高1元，则每天少卖8碗，且该店面每天店租等各类开支费用为168元．
（1）求2020年至2022年游客人数的年平均增长率；
（2）为了让更多的人前来消费，更好的宣传小店，店家希望销量最大化，则每碗售价为多少元时，能实现每天净利润600元？（净利润 = 总收入一扣除成本一各类开支）
【答案】（1）20%；（2）18元
【分析】
（1）设2020年至2022年游客人数的年平均增长率为x，根据2022年接待游客将达2.88万人次列出方程，解之即可；
（2）设每碗售价为y元，根据利润的等量关系列出方程求解即可．
【详解】
解：（1）设2020年至2022年游客人数的年平均增长率为x，
由题意可得：，
解得：x=0.2或x=-2.2（舍），
∴2020年至2022年游客人数的年平均增长率为20%；
（2）设每碗售价为y元，
由题意可得：，
解得：y=18或y=22，
∵希望销量最大化，
∴y=18，
∴每碗售价为18元时，能实现每天净利润600元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．


四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（2021·江苏玄武·九年级期中）已知关于x的一元二次方程x2＋2kx＋k﹣1＝0
（1）求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）若x1，x2为该方程的两个实数根，且满足x1（x2﹣2）＝2x2，求k的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）先计算判别式的值，再进行配方法得到△＝（2k﹣1）2+3，则根据非负数的性质可判断Δ＞0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）利用根与系数的关系得x1+x2＝﹣2k，x1x2＝k﹣1，再利用2（x1+x2）﹣x1x2＝0得到2×（﹣2k）﹣（k﹣1）＝0，然后解一次方程即可．
【详解】
（1）证明：
∵△＝（2k）2﹣4（k﹣1）
＝4k2﹣4k+4
＝（2k﹣1）2+3，
∵（2k﹣1）2≥0，
∴Δ＞0，
∴不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣2k，x1x2＝k﹣1，
∵x1（x2﹣2）＝2x2，
∴2（x1+x2）﹣x1x2＝0，
∴2×（﹣2k）﹣（k﹣1）＝0，
∴k＝．
【点睛】
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用根与系数的关系结合x1+x2＝﹣2k，x1x2＝k﹣1，找出关于k的方程
22．（2021·湖北广水·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（－2，4），B（－4，2），C（－1，1）（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．请完成以下画图并填空．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1（点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1）；
（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2（点A，B，C的对应点分别为A2，B2，C2）；
（3）△ABC的面积为　 ．（直接填结果）

【答案】(1)见详解；(2)见详解；(3）4
【分析】
（1）根据中心对称图形的概念即可作出图形，求出对应点坐标；
（2）根据旋转作图的方法即可．
（3）利用三角形所在的长方形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．
【详解】
解:(1)如图所示, △A1B1C1为所求;
(2)如图所示, △A2B2C2为所求;
(3)S△ABC=3×3-×2×2-×1×3-×1×3=9-2-1.5-1.5=4

【点睛】
本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
23．（2021·湖南长沙·九年级期中）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于26元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为 ；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
（3）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大？
【答案】（1）26；（2）每件商品降价元时，该商店每天销售利润为1200元；（3）每件商品降价14元时，该商店每天销售利润最大.
【分析】
（1）由平均销售量加上增加的销售量即可得到答案；
（2）设每件商品降价元时，该商店每天销售利润为1200元，则每件商品的利润为 元，每天的销售量为件，再列方程，再解方程，并检验即可得到答案；
（3）设每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元，再列函数关系式为，再利用二次函数的性质求解即可.
【详解】
解：（1） 销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，
降价3元，则平均每天销售数量为件.
故答案为：26
（2）设每件商品降价元时，该商店每天销售利润为1200元，
则
整理得：

解得：
当时，每件商品盈利元，
当时，每件商品盈利元，而每件盈利不少于26元，所以不符合题意，舍去，
所以每件商品降价元时，该商店每天销售利润为1200元.
（3）设每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元，则
，
令 则
解得：
所以该函数的对称轴为：
由 函数有最大值，


所以当时，元，
即每件商品降价14元时，该商店每天销售利润最大.
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用，二次函数的应用，利用二次函数的性质解决最大值问题时要注意自变量的取值范围，这是个易错点.


五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．（2021·福建·福州三牧中学九年级月考）已知点E在△ABC的边AB上，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且D在以AE为直径的⊙O上．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知∠B=30°，⊙O的半径为6，求阴影部分面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
(1)连接OD，求出∠CAD=∠OAD=∠ODA，得出ODAC，推出ODBC，根据切线判定推出即可；
(2)根据含30度角的直角三角形性质求出BO，AC，AB ，根据勾股定理求出BC，如图，AC与圆O的交点为M，连接OM，为等边三角形，边长为6，，作于N点，利用S阴影=半圆+ S弓形AM，可求出最终结果．
【详解】
解：（1）如图，连接OD，

OA = OD，
∠OAD = ∠ODA，
AD平分∠BAC，
∠OAD=∠CAD，
∠ODA = ∠CAD，
ODAC，
又∠C = 90°，
∠ODB = ∠C= 90°，
ODBC，
BC是O的切线；
（2）在Rt△BDO中，∠B = 30°，半径OD= 6，
BO = 2OD = 12，
AB = 12 + 6 = 18，AC=AB= 9，
由勾股定理得：
，
如图，AC与圆O的交点为M，连接OM，

在Rt△ABC中，∠B = 30°，
，
为等边三角形，边长为6，
，作于N点，

，
扇形OAM=，
S弓形AM=S扇形OAM-=，
阴影=半圆+ S弓形AM
=
阴影部分面积为．
【点睛】
本题主要考查圆切线的证明以及阴影部分面积的求解，有一定综合性和难度，熟练掌握圆的性质是解题关键．
25．（2021·湖北黄陂·九年级期中）抛物线C1：y＝ax2+bx+3交x轴于A(﹣1，0)，B(3，0)，交y轴于C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，抛物线的对称轴l交BC于M，交OB于N，点I为MN的中点．若抛物线上一点P关于点I的中心对称点Q正好落在坐标轴上，求点P的坐标；
（3）如图2，点G(﹣3，0)，将抛物线C1平移得到抛物线C2，C2的顶点D始终在线段CG上，抛物线C2与x轴交与EF两点，过点D作DH垂直于x轴于点H，线段DH和EF之间存在怎样的数量关系？判断并说明理由．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；（2）点P的坐标为：(，2)或(，2)或(2，3)；（3）EF2=4DH，理由见解析．
【分析】
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求得直线BC的解析式，求得I(1，1)，设P(x，-x2+2x+3)，分Q在x轴上和Q在y轴上两种情况讨论求解即可；
（3）先求得直线CG的解析式为y=x+3，设抛物线C2的顶点D(a，a+3)，则抛物线C2的解析式为y=-(x-a)2+a+3，求得E、F的横坐标，再通过计算即可求解．
【详解】
解：（1）把A(﹣1，0)，B(3，0)代入y=ax2+bx+3得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；
（2）由 （1）知抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，
令x=0，y=3，
∴C(0，3)，
设直线BC的解析式为：y=kx+3，
∴0=3k+3，解得k=-1，
∴直线BC的解析式为：y=-x+3，
∵抛物线的对称轴为，
∴M(1，2)，N(1，0)，
∵点I为MN的中点．
∴I(1，1)，
设P(x，-x2+2x+3)，
当Q在x轴上时，点P、点Q关于点I中心对称，
则，
解得：x=，
∴P(，2)或P(，2)；
当Q在y轴上时，点P、点Q关于点I中心对称，
则，
解得：x=2，
∴P(2，3)；
综上，点P的坐标为：(，2)或(，2)或(2，3)；
（3）EF2=4DH．理由如下：
直线CG经过点C(0，3)，G(-3，0)，
同理可求得直线CG的解析式为y=x+3，
∵抛物线C2的顶点D始终在线段CG上，
∴设D(a，a+3)，
则抛物线C2的解析式为y=-(x-a)2+a+3，
当y=0时，-(x-a)2+a+3=0，
解得：x1=，x2=，
∴EF=，
∴EF2=4(a+3)，
∵DH= a+3，
∴EF2=4DH．
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的图象和性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．