高中数学《变量间的相关关系》文字素材1 新人教A版必修3教案
展开变量间的相关性——知识导学
一、课标要求
1．通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系；
2．经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程，知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。
二、要点清点
（一）变量间的相关关系
1．变量间的相关关系
变量与变量之间的关系常见的有两类：一类是确定性的函数关系；另一类是变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，此时我们称两个变量具有相关关系。
注：相关关系与函数关系的异同点：
（1）相同点：两者均是指两个变量的关系。
（2）不同点：①函数关系是一种确定的关系；相关关系是一种非确定的关系。
②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。
2．散点图
把两个变量作为横、纵坐标，在平面直角坐标系中描点作出两个变量的对应点，这样的图形叫做散点图。
注：散点图中变量的对应点如果分布在某条直线的周围，我们就可以得出结论：这两个变量具有相关关系；如果变量的对应点分布没有规律，我们就可以得出结论：这两个变量不具有相关关系。
3．正相关、负相关
具有相关关系的两个变量，如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关；反之，如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关。
（二）两个变量的线性相关
1．线性相关、回归直线
如果散点图中，相应于具有相关关系的两个变量所有观察值的数据点，分布在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这样的直线可以画出许多条，其中“最贴近”这些数据点的一条，我们称之为回归直线。
2．用最小二乘法求回归直线方程。
记回归直线方程为，，叫做回归系数。利用最小二乘法可以求得回归系数：
， 。
其中，。
注：（1）我们知道，回归直线是数据点最贴近的直线，反映贴近程度的数据是离差的平方和，即总离差，这样，回归直线就是所有直线中取最小值的那一条，这种使“离差平方和为最小”的方法，叫做最小二乘法。
（2）利用最小二乘法求回归系数，时，是将离差的平方和转化为关于或的二次函数，利用二次函数知识求得的。
3．求回归直线方程的步骤
（1）作出给出数据的散点图，并直观地判断是否是线性相关的；
（2）求出，；
（3）求出，；
（4）求出和，写出回归直线方程。
4．回归直线方程的应用
（1）描述两变量之间的依存关系：利用回归直线方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系；
（2）利用回归方程进行预测：把预报因子（即自变量）代入回归方程对预报量（即因变量）进行估计，即可得到个体值的容许区间。
（3）利用回归方程进行统计控制规定值的变化，通过控制的范围来实现统计控制的目标。如已经得到了空气中的浓度和汽车流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中的浓度。
5．利用散点图和回归直线方程的注意事项
（1）做回归分析要有实际意义；
（2）回归分析前，最好先作出散点图，以判断是否是线性相关关系；
（3）回归直线不要外延。
三、范例剖析
例1 下列两个变量之间的关系不具有线性关系的是（ ）
．小麦产量与施肥值
．球的体积与表面积
．蛋鸭产蛋个数与饲养天数
．甘蔗的含糖量与生长期的日照天数
分析：设球的半径为，则球的体积为，球的表面积，显然这两者不是线性关系。
解析：
评注：线性关系是一种函数关系，因此具有确定性。本题中的两者之间有相关关系，但不具有线性关系。
例2 要分析学生初中升学的数学成绩对高一学习情况的影响，在高一年级学生中随机抽取了10名学生，他们的入学成绩与期末考试成绩如下表：
学生编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
入学成绩 | 63 | 67 | 45 | 88 | 81 | 71 | 52 | 99 | 58 | 76 |
期末成绩 | 65 | 78 | 52 | 82 | 92 | 89 | 73 | 98 | 56 | 75 |
（1）若变量与之间具有线性相关关系，求出回归直线方程；
（2）若某学生的入学成绩为80分，试估计他的期末成绩。
解析：（1），
。
∴，，
∴所求线性回归直线方程为。
（2）某学生的入学成绩为80分，代入上式可求得，即这个学生期末成绩的预测值为84分。
评注：知道与呈线性相关关系，无须进行相关性检验。否则，应首先进行相关性检验，如果本身两个变量不具备相关关系，或者说，它们之间相关关系不显著，即使求出回归直线方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的。
例3 下表是我国居民生活污水排放量的一组数据：
年份 | 1995 | 1996 | 1997 | 1998 | 1999 | 2000 | 2001 | 2002 |
排放量 | 151 |
| 189.1 | 194.8 | 203.8 | 220.9 | 227.7 | 232.3 |
试估计1996年我国居民生活污水的排放量，并预测2004年生活污水的排放量（单位：）。
分析：要估计或预测，可考虑先求回归直线方程，将年份与污水的排放量的相关关系表达出来，可先剔除1996年，样本容量为7。
解析：设1995年为第1年，…2002年为第8年，列表，用科学计算器进行有关计算：
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
1 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
151 | 189.1 | 194.8 | 203.8 | 220.9 | 227.7 | 232.3 | |
151 | 1019 | ||||||
， ，， | |||||||
∴，
。
∴所求回归直线方程为，从而当时，；当时，。
∴1996年污水排放量估计为，2004年污水排放量估计为。
评注：灵活选取数据可以简化运算，当只要求分析两变量相关关系用其解决实际问题时，可选取恰当的变量进行分析。
例3 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积的数据：
房屋面积 | 115 | 110 | 80 | 135 | 105 |
销售价格（万元） | 24.8 | 18.4 | 29.2 | 22 |
（1）画出数据对应的散点图；
（2）求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；
（3）据（2）的结果估计当房屋面积为150时的销售价格。
分析：将表中各对数据在平面直角坐标系中描点，便得到具有相关关系的两个变量的一组数据的图形，即得散点图；按照求回归直线方程的步骤和公式，写出回归直线方程。
解析：（1）数据对应的散点图如下图所示：
（2），，，。
设所求回归直线方程为，则
，
。
故所求回归直线方程为。
（3）当x=150时，销售价格的估计值为（万元）。
评注：研究变量间的相关关系，求得回归直线方程，能帮助我们发现事物发展的一些规律，补充积累资料的不足，估计预测某些数据，为我们的判断和决策提供依据。
