北师大版 (2019)3.1 不等式性质导学案及答案

1.2.2　全称量词与存在量词

【教学目标】

重点、难点 

1、能够比较两个实数的大小；

2、掌握不等式的基本性质并运用基本性质证明一些简单的不等式；（重点）

3、掌握不等式关系与性质及比较大小的常用方法：作差法与作商法；

4、通过对基本不等式的基本性质的证明，使学生在不等式证明中逐渐掌握基本性质.（难点）

学科素养

通过类比等式的基本性质来联系不等式的基本性质，培养学生类比的数学思想.

【知识清单】

1.实数大小比较的依据

(1)a>b⇔a－b   0；

(2)a＝b⇔a－b   0；

(3)a<b⇔a－b   0.

2.2.不等式的性质

(1)对称性：a＞b⇔b＜a；

(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；

(3)可加性：a＞b⇔a＋c  b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c   b＋d；

(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；

(5)可乘方：a＞b＞0⇒an   bn(n∈N，n≥1)；

(6)可开方：a＞b＞0⇒  (n∈N，n≥2).

3.有关分式的性质

(1)若a>b>0，m>0，则<；  (b－m>0).

(2)若ab>0，且a>b⇔  .

【基础过关】

1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)a＞b⇔ac2＞bc2.(　　)

(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　　)

(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0(a<0)的解集为R.(　　)

(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　)

2、若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　　)

A.＞   B.＜           C.＞   D.＜

【经典例题】

不等式的性质及应用

【例1】已知条件甲：a>0，条件乙：a>b且>，则甲是乙的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

【例2】若a<b<0，给出下列不等式：

①a2＋1>b2；②|1－a|>|b－1|；③>>.

其中正确的个数是(　　)

A.0   B.1   C.2   D.3

【课堂达标】

1．若且，则下列不等式中一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

2．设 ，则有（    ）

A． B． C． D．

3．若，则下列不等关系正确的是（ ）

A． B．

C． D．

4．已知，，则和的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

5．盐水溶液的浓度公式为，向盐水中再加入克盐，那么盐水将变得更咸，下面哪一个式子可以说明这一事实（    ）

A． B． C． D．

6．（多选题）对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，则

C．若，则

D．若，，则

7．（多选题）下列说法正确的有（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

8．（多选题）已知，则.（    ）

A． B． C． D． E.

9．已知|a|<1，则与1－a的大小关系为________.

10．若a<0，－1<b<0，则a、ab、ab2的大小关系为_________．

11．设a＝＋2，b＝2＋，则a，b的大小关系为________．

12．已知，比较与的大小.

13．已知，求证：.

14．已知，较与的大小.

【能力提升】

1．若，且，则下列不等式一定成立的是（   ）

A． B．

C． D．

2．下列命题中，一定正确的是　　

A．若，则， B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

3．若，则“”是 “”的（  ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知，，，均为实数，有下列命题：

（1）若，，则；

（2）若，，则；

（3）若，，则，

其中正确命题的个数是　　

A．0 B．1 C．2 D．3

5．下列说法正确的是　　

A． B．

C． D．

6．若、、为实数，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

7．（多选题）若非零实数，满足，则下列不等式不一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

8．（多选题）若，则下列不等式中正确的是（    ）

A． B． C． D．

9．（多选题）已知,则下列选项正确的是(    )

A． B． C． D．

10．若，试比较的大小．

11．已知，比较与的大小．

12．设，试比较与的大小.

13．已知，试比较与的大小．

【参考答案】

【知识清单】

1、（1）>；（2）＝；（3）<

2、（3）＞；（4）＞；（5）＞；（6）＞；

（1）>；（2）<；

【基础过关】

1、解析　(1)由不等式的性质，ac2＞bc2⇒a＞b；反之，c＝0时，a＞b⇒/ ac2＞bc2.

(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实根，则不等式ax2＋bx＋c>0(a<0)的解集为∅.

(4)当a＝b＝0，c≤0时，不等式ax2＋bx＋c≤0也在R上恒成立.

答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

解析　因为c＜d＜0，所以0＞＞，两边同乘－1，得－＞－＞0，又a＞b＞0，故由不等式的性质可知－＞－＞0.两边同乘－1，得＜.

答案　B

【经典例题】

例1、答案　B

解析　由a>0不能推出a>b且>，故甲不是乙的充分条件．若a>b且>，即a>b且>0，则ab<0，所以a>0，b<0.所以由a>b且>能推出a>0.故甲是乙的必要条件．所以甲是乙的必要不充分条件．

例2、解析

因为a<b<0，所以|a|>|b|>0，所以a2>b2，故a2＋1>b2，①正确；a<b<0⇒－a>－b>0⇒－a＋1>－b＋1>0，故|1－a|>|b－1|，②正确；a<b<0⇒a＋b<a<b<0，所以>>，③正确.故选D.

【课堂达标】

1．D

【解析】

【分析】

根据不等式的性质即可判断.

【详解】

对于A，若，则不等式不成立；

对于B，若，则不等式不成立；

对于C，若均为负值，则不等式不成立；

对于D，不等号的两边同乘负值，不等号的方向改变，故正确；

故选：D

【点睛】

本题主要考查不等式的性质，需熟练掌握性质，属于基础题.

2．A

【解析】

【分析】

作差即可得出P-Q=a2≥0，从而得出P，Q的大小关系．

【详解】

P-Q=2a（a-2）+3-（a-1）（a-3）=a2≥0，

∴P≥Q．

故选：A．

【点睛】

本题考查了作差比较实数大小的方法，清楚a2≥0，考查了计算能力，属于基础题．

3．A

【解析】

试题分析：，．故A正确．

考点：不等式的性质．

4．D

【解析】

【分析】

考虑的符号即可得到两者的大小关系.

【详解】

，故.故选D.

【点睛】

比较两个代数式的大小，可选用作差法或作商法，前者需要把差因式分解后再确定各个因式的符号，后者要注意两个代数式的符号且需确定商与1的大小关系.

5．A

【解析】

【分析】

向盐水溶液中加入克盐，得出加入后的盐水浓度为，根据盐水更咸，说明盐的浓度更大，由此得出不等关系，可得出正确选项.

【详解】

向盐水溶液中加入克盐，盐水的浓度变为，此时浓度变大，盐水更咸，即，

故选：A.

【点睛】

本题考查不等关系的确定，解题时要将题中的文字信息转化为数学语言，考查转化思想，属于基础题.

6．BD

【解析】

【分析】

（1）可举反例证明不正确.（2）因为成立，则.（3）为正数，为负数时不成立.（4）因为，则，所以.

【详解】

A选项：，，但是，A不正确；

B选项：因为成立，则，那么，B正确；

C选项：，但是，C不正确；

D选项：因为，则，又，所以，D正确.

故选：BD

【点睛】

此题考查不等式比较大小，一般可通过特值法证伪判错，属于简单题目.

7．BC

【解析】

【分析】

根据不等式的基本性质和举反例法一一判断即可．

【详解】

解：对于A，若，则，故A错；

对于B，若，则，则，则，化简得，故B对；

对于C，若，则根据指数函数在上单调递增得，故C对；

对于D，若，取，，则，故D错；

故选：BC．

【点睛】

本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．

8．DE

【解析】

【分析】

利用赋值法,排除错误选项,从而确定正确答案.

【详解】

解:由,可知,由不等式的性质可知,

所以,故D正确;

,,,,故E正确.

故选:DE

【点睛】

本题考查不等式的性质,利用赋值法排除错误选项,可以有效地简化解题过程.

9．≥1－a

【解析】

【分析】

先证明1＋a>0，1－a>0，再利用作商比较法比较大小得解.

【详解】

由|a|<1，得－1<a<1.

∴1＋a>0，1－a>0.

所以＝，

∵0<1－a2≤1，

∴≥1，

∴≥1－a.

故答案为：≥1－a.

【点睛】

本题主要考查实数大小的比较，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.

10．

【解析】

【分析】

根据基本不等式的性质即可判断．

【详解】

∵a＜0，-1＜b＜0，∴ab＞0，ab2＜0，0＜b2＜1，∴ab2＞a，∴ab＞ab2＞a.

故答案为.

【点睛】

本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．

11．a＜b

【解析】

【分析】

先分别将平方，再进行大小比较即可．

【详解】

a＝＋2，b＝2＋两式的两边分别平方，

可得a2＝11＋4，b2＝11＋4，

显然＜.

所以a＜b.

故答案为：a＜b

【点睛】

此题主要考查了无理数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较平方法等．属于基础题.

12．

【解析】

【分析】

利用作差法，将作差比较大小即可.

【详解】

解：

.

∵，，

∴，当且仅当时，取等号，

∴.

【点睛】

本题考查了利用作差法比较大小，重点考查了运算能力，属基础题.

13．证明见解析

【解析】

【分析】

由已知有，再将不等式左右两边同时除以正数即可得证.

【详解】

证明：因为，所以，所以，

所以，

即.

【点睛】

本题考查了不等式的性质，重点考查了运算能力，属基础题.

14．

【解析】

【分析】

作差得，再根据条件比较大小．

【详解】

解：∵，

∵，∴，，∴，

∴，

∴．

【点睛】

本题主要考查作差法比较数的大小，本题也可用对勾函数的单调性解决，属于基础题．

【能力提升】

1．B

【解析】

【分析】

根据不等式性质确定选项.

【详解】

当时，不成立；

因为，所以；

当时，不成立；

当时，不成立；

所以选B.

【点睛】

本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题.

2．A

【解析】

【分析】

根据不等式的性质，对选项进行一一验证，即可得答案；

【详解】

对A，，，，因此，正确．

对B，时不成立．

对C，取，，，，满足，，而，因此不正确．

对D，取，，，，满足，，则，不正确．

故选：A．

【点睛】

本题考查不等式的基本性质，考查推理能力与计算能力，属于基础题．

3．A

【解析】

【分析】

本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.

【详解】

当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.

【点睛】

易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.

4．D

【解析】

【分析】

本题就是，，三个结论之间轮换，知二推一，利用不等关系证明即可．

【详解】

解：对于（1），

将不等式两边同时除以

所以（1）正确

对于（2），

将不等式两边同时乘以

  所以（2）正确

对于（3）

又

所以（3）正确

故选：．

【点睛】

本题考查不等式与不等关系的灵活运用，以及不等式的性质，属于基础题．

5．C

【解析】

【分析】

由不等式的性质，对各个选项逐一验证即可得，其中错误的可举反例．

【详解】

选项A，当c＝0时，由a＞b，不能推出ac2＞bc2，故错误；

选项B，当a＝﹣1，b＝﹣2时，显然有a＞b，但a2＜b2，故错误；

选项C，当a＞b时，必有a3＞b3，故正确；

选项D，当a＝﹣2，b＝﹣1时，显然有a2＞b2，但却有a＜b，故错误．

故选：C．

【点睛】

本题考查命题真假的判断，涉及不等式的性质，属基础题．

6．B

【解析】

【分析】

利用等式的性质或特殊值法来判断各选项中不等式的正误.

【详解】

对于A选项，若，则，故A不成立；

对于B选项，，在不等式同时乘以，得，

另一方面在不等式两边同时乘以，得，，故B成立；

对于选项C，在两边同时除以，可得，所以C不成立；

对于选项D，令，，则有，，，所以D不成立.

故选B.

【点睛】

本题考查不等式正误的判断，常用的判断方法有：不等式的基本性质、特殊值法以及比较法，在实际操作中，可结合不等式结构合理选择相应的方法进行判断，考查推理能力，属于基础题.

7．ABD

【解析】

【分析】

根据不等式的性质，或作差法，或举实例，逐项判断.

【详解】

选项A，当，此时不成立；

选项B，当，

此时不成立；

选项C，，

所以成立；

选项D，当，

此时不成立.

故选：ABD.

【点睛】

本题考查判断不等式是否成立问题，以及不等式的性质，注意用特例说明，属于基础题.

8．CD

【解析】

【分析】

这四个选项都可以做差，变形，根据条件比较大小.

【详解】

A.，，，即，故A不正确；

B.，，，所以，故B不正确；

C.，即，故C正确；

D.，所以，故D正确.

故选：CD

【点睛】

本题考查比较大小，属于基础题型，一般比较大小的题目，可以采用做差法，单调性，或者不等式的性质比较大小.

9．BCD

【解析】

【分析】

由,根据不等式性质,逐项判断,即可求得答案.

【详解】

对于A,由,可得,故A错误;

对于B,

,故:

又

整理可得:,故B正确;

对于C, 由,可得,故,故C正确;

对于D, ,可得,

又

,故D正确.

综上所述,正确的是: BCD.

故选: BCD.

【点睛】

本题主要考查了根据已知不等式判断所给不等式是否正确,解题关键是掌握不等式的基本性质,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.

10．．

【解析】

【分析】

先由已知条件结合不等式的基本性质得到,，再利用不等式的乘法性质得到，综合得到结论.

【详解】

，，，

，，

，即．

．

【点睛】

本题考查利用不等式的基本性质比较大小，属基础题.

11．

【解析】

【分析】

先怍差变形，再分别平方后再比较．

【详解】

因为，

．

所以．

所以，

即．

【点睛】

本题主要考查代数式比较大小，还考查了转化论证问题的能力，属于基础题.

12．当时两者相等；当时.

【解析】

【分析】

分成、，三种情况进行分类讨论，结合商比较法，判断出两者的大小关系.

【详解】

依题意，，

当时，；

当时，：

当时，，所以；

当时，，所以.

故当时，，即.

【点睛】

本小题主要考查商比较法比较大小，属于基础题.

13．

【解析】

【分析】

对两个式子作差、通分、因式分解，最后判断符号.

【详解】

因为

，显然成立，

，当且仅当时取等号.

【点睛】

本题考查利用比差法判断两个式子的大小，注意作差后要把式子化成几个因式的成绩，再判断符号，同时注意等号成立的条件.