第五章函数的应用单元测试题-2020-2021学年高一数学新教材配套学案（北师大2019版必修第一册）

第五章函数的应用单元测试题

一、单选题

1．当时，，，的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

2．已知函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表:

则函数一定存在零点的区间是(    )

A． B． C． D．

3．若函数f（x）＝ln（x2+mx）的值域为R，则函数f（x）的零点个数为（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个

4．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（    ）

A． B． C． D．

5．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（    ）

A．B．C．D．

6．函数的零点必定位于下列哪一个区间（    ）

A． B． C． D．

7．某研究小组在一项实验中获得一组关于之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中最能近似刻画与之间关系的是（   ）

A． B． C． D．

8．已知函数若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

9．已知函数是奇函数，且满足，当时，，则函数在，上零点的个数是（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

10．若，设函数 的零点为的零点为，则的取值范围是(    )

A． B． C． D．

11．2020年3月，国内新冠肺炎疫情得到有效控制，人们开始走出家门享受春光.某旅游景点为吸引游客，推出团体购票优惠方案如下表：

两个旅游团队计划游览该景点.若分别购票，则共需支付门票费1290元；若合并成个团队购票，则需支付门票费990元，那么这两个旅游团队的人数之差为（    ）

A．20 B．30 C．35 D．40

12．已知函数，且对于任意实数关于的方程都有四个不相等的实根，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

二、填空题

13．能说明“函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线．若，则在内无零点”为假命题的一个函数是_________．

14．函数的零点个数为_______.

15．已知函数.若方程无实根，则实数k的取值范围是___________.

16．我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离.但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当我们的厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为，厚度为的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为，厚度变为.在理想情况下，对折次数有下列关系：（注：），根据以上信息，一张长为，厚度为的纸最多能对折___次.

三、解答题

17．已知函数且点在函数的图象上．

（1）求函数的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数的图象；

（2）求不等式的解集；

（3）若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．

18．已知一次函数满足，．

（1）求这个函数的解析式；

（2）若函数，求函数的零点．

19．已知函数

（1）求该函数的定义域；

（2）若该函数的零点为x=3，求a的值.

20．某地西红柿从2月1号起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本(单位：元/100)与上市时间(距2月1日的天数，单位：天)的数据如下表：

（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系：；

（2）利用（1）中选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．

21．某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过元，则自行车可以全部租出；若超出元，则每超过元，租不出的自行车就增加辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金（元）只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分）．

（1）求函数的解析式；

（2）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？

22．某旅游风景区发行的纪念章即将投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：

（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①；②；③；

（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格；

（3）利用你选取的函数，若存在，使得不等式成立，求实数k的取值范围.

第五章函数的应用单元测试题

参考答案

1．B

【解析】

【分析】

在平面直角坐标系中作出三个函数在区间内的图象，根据图象得到大小关系.

【详解】

在平面直角坐标系中，作出，，在时的图象如下图所示：

由图象可知，当时，

故选

【点睛】

本题考查函数图象的应用，关键是能够准确得到在给定区间内函数的图象.

2．B

【解析】

【分析】

根据零点存在定理判断．

【详解】

由函数值表知，因此在上至少有一个零点．

故选：B．

【点睛】

本题考查零点存在定理，在区间上连续的函数，若，则在上至少存在一个零点．

3．C

【解析】

【分析】

函数值域为，是值域的子集，求出的范围，函数的零点个数，即求解的个数.

【详解】

函数f（x）＝ln（x2+mx）的值域为R，

则或，

由，①

恒成立，方程①有两个实数根，

所以的零点个数为2个.

故选:C.

【点睛】

本题考查对数型复合函数的值域、零点问题，意在考查逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.

4．A

【解析】

【分析】

根据选项逐个验证，得出答案.

【详解】

由于，是非奇非偶函数，是偶函数但没有零点，只有是偶函数又有零点.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查函数的性质，函数的奇偶性一般利用定义进行判定，属于基础题.

5．B

【解析】

【分析】

二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解，观察图象可得结果.

【详解】

二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解.

而选项B图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点.

另外，选项A，C，D零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点.

根据二分法的理论依据选项B不能用二分法求图中函数零点，

故选：B.

【点睛】

本题考查二分法求函数零点，关键是理解零点两侧函数值的正负问题，是基础题.

6．D

【解析】

【分析】

根据零点存在定理进行判断即可

【详解】

由零点存在定理，，

，故，函数零点位于

故选：D

【点睛】

本题考查函数零点存在定理的使用，属于基础题

7．C

【解析】

【分析】

根据图中的特殊点（2,1），（4,2）即可得解.

【详解】

根据图中的特殊点（2,1），（4,2）,通过选项可知只有C：满足题意.故选C.

【点睛】

本题考查了由函数图象写解析式，可以进行选项验证，属于基础题.

8．A

【解析】

【分析】

根据函数的解析式，作出函数的图象，方程有三个不同的实数根即为函数的图象与的图象有三个不同的交点，结合函数的图象即可求得实数的取值范围.

【详解】

，

图象如图：

方程有三个不同的实数根即为函数的图象与的图象有三个不同的交点，由图象可知：的取值范围为.

故选：A

【点睛】

本题主要考查了分段函数的应用，考查了分段函数的图象，函数与方程的关系，考查了数形结合与转化化归的思想.

9．B

【解析】

【分析】

根据题目条件，作出函数的图象即可.

【详解】

依题意，作出函数的图象，如图所示，

由图象可知，的图象在，内与轴的交点有6个．

所以在，上的零点有6个．

故选B．

【点睛】

本题主要考查函数的零点，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.

10．B

【解析】

【分析】

把函数零点转化为两个函数图象交点的横坐标，根据指数函数与对数函数互为反函数，得到两个函数图象之间的关系求出，之间的关系，根据两者之和是定值，利用基本不等式得到要求的结果．

【详解】

函数的零点是函数与函数图象交点的横坐标，

函数的零点是函数与函数图象交点的横坐标，

由于指数函数与对数函数互为反函数，

其图象关于直线对称，

直线与直线垂直，

故直线与直线的交点即是，的中点，

，

，

当等号成立，

而，故，

故所求的取值范围是，．

故选：B．

【点睛】

本题考查函数零点、反函数的性质、基本不等式求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意验证等号成立的条件.

11．B

【解析】

【分析】

根据990不能被13整除，得到两个部门的人数之和为，然后结合门票价格和人数之间的关系，建立方程组，即可求解.

【详解】

由题意，990不能被13整除，所以两个部门的人数之和为，

（1）若，则，可得，……(1)

由共需支付门票为1290元，可知,………(2)

联立方程组，可得（舍去）；

（2）若，则，可得，……(3)

由共需支付门票为1290元，可知，可得，…(4)

联立方程组可得，

所以两个部门的人数之差为.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，结合门票价格和人数之间的关系，建立方程组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.

12．C

【解析】

【分析】

采用等价转换的思想，且利用数形结合的方法，结合对称性，可得结果.

【详解】

由方程都有四个不相等的实根

则函数与，图像

有四个交点，

由

即

如图，

所以

故

又

所以

故选：C

【点睛】

本题主要考查函数的对称性，以及考查等价转换，数形结合的数学技巧的应用，属中档题.

13．

【解析】

【分析】

由题意给出一个满足题意的函数解析式，然后绘制函数图像说明命题为假命题即可.

【详解】

考查函数，绘制函数图像如图所示，

该函数的图像在区间上是一条连续不断的曲线，,但是函数在内存在零点，故该函数使得原命题为假命题.

【点睛】

本题主要考查函数零点存在定理应用的条件，注意所有的条件都满足时才能利用函数零点存在定理，否则可能会出现错误.

14．2

【解析】

【分析】

由题意结合函数零点的概念可转化条件得，在同一直角坐标系中作出函数与的图象，由函数图象的交点个数即可得函数的零点个数.

【详解】

令，则，

在同一直角坐标系中作出函数与的图象，如图：

由图象可知，函数与的图象有两个交点，

所以方程有两个不同实根，所以函数的零点个数为2.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查了函数零点个数的求解及函数与方程的综合应用，考查了数形结合思想与转化化归思想，属于中档题.

15．

【解析】

【分析】

先画出线和函数的大致图像，结合图像可看出直线与曲线相切时为的最小值，利用导数求出此时直线斜率即可得结果.

【详解】

画出直线和函数的大致图象如图，

设过点（0，−1）与曲线相切的直线为，其中为切点，将点（0，−1）代入得，即，故，此时切线的斜率为1，若方程无实根，只需直线和函数的图象没有交点，结合图象可知实数k的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

此题考查了利用数形结合求方程根的问题，熟练掌握数形结合的思想方法和函数的性质是解题的关键，属于中档题.

16．

【解析】

【分析】

根据题意解不等式得到答案.

【详解】

，

因为，所以的最大值为．

故答案为：.

【点睛】

本题考查了对数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力，属于基础题.

17．（1），图像见解析（2）（3）

【解析】

【分析】

（1）将点代入中,即可求解的值,进而求得函数的解析式,画出函数f（x）的图象.

（2）分为两种情况分别求解不等式,再取并集即可得不等式的解集.

（3）欲求满足方程有两个不相等的实数根的取值范围,可使函数与有两个不同的交点,画出二者的图象即可判断出实数的取值范围.

【详解】

解：（1）由的图象经过点,

可得,即,解得,

则,

函数的图象如下图：

（2）即为或,

即或,

则解集为；

（3）有两个不相等的实数根,

即有的图象和直线有两个交点,

由图象可得,即,

可得的取值范围是．

【点睛】

本题主要考查函数的概念与图象、对数与对数函数、函数与方程以及一次函数和二次函数.

18．（1）（2）零点是2和1．

【解析】

【分析】

（1）设，代入数据得到解得答案.

（2）函数，当时解得答案.

【详解】

解：（1）设

由条件得：，解得，

故；

（2）由（1）知，即，

令，解得或，

所以函数的零点是2和1．

【点睛】

本题考查了一次函数，函数的零点，意在考查学生的计算能力.

19．（1）

（2）

【解析】

【分析】

（1）要使函数有意义，则需，求解即可；

（2）由该函数的零点为x=3，可得，求解即可得解.

【详解】

解：（1）要使函数有意义，则需，即，

即该函数的定义域为；

（2）由该函数的零点为x=3，

即，

即，

故.

【点睛】

本题考查了函数定义域的求法，重点考查了函数的零点，属基础题.

20．（1）； （2）上市天时，成本最低为 (元)．．

【解析】

【分析】

（1）根据表中数据，可判定西红柿种植成本与上市时间的变化关系的函数不是单调函数，结合给定函数的单调性，选取二次函数，代入表格中数据，即可求解；

（2）由（1）函数，结合二次函数的性质，即可求解．

【详解】

（1）根据表中数据，可判定西红柿种植成本与上市时间的变化关系的函数不是单调函数，这与函数的单调性都不符，

所以在的前提下，可选取二次函数进行描述．

把表格中的点代入二次函数，

可得 ，解得．

所以西红柿种植成本与上市时间的函数关系是．

（2）由（1）函数，

可得函数的图象开口向上，且对称轴为，

所以当天时，西红柿种植成本最低，

最低成本为(元)．

即西红柿种植上市天时，成本最低为 (元)．

【点睛】

本题主要考查了函数的实际应用，其中解答中认真审题，根据给定函数的单调性合理选择函数的解析式，结合二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与计算能力，属于中档试题．

21．（1）；

（2）当每辆自行车的日租金定为元时，才能使一日的净收入最多．

【解析】

【分析】

（1）写出当取值范围内，自行车的总收入，并减去管理费可得出的解析式，注意实际问题中自变量取值范围；

（2）利用一次函数、二次函数的单调性求出分段函数在每段定义域上的最大值，两者进行比较得出函数的最大值.

【详解】

（1）当时，，令，解得，

是整数，，；

当时，，

令，有，结合为整数得，.

；

（2）对于，显然当时，；

对于，

当时，.

，当每辆自行车的日租金定为元时，才能使一日的净收入最多．

【方法突破】

（1）实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解；

（2）构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏；

（3）分段函数的最值是各段的最大（最小）值的最大（最小）者.

【点睛】

本题考查分段函数模型的应用，解题的关键就是建立函数模型，得出函数关系式，并熟悉分段函数求最值的基本步骤，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

22．（1）选择，理由见解析，（2）上市天数10天，最低价格70元，（3）

【解析】

【分析】

(1)根据函数的单调性选取即可.

(2) 把点代入中求解参数,再根据二次函数的最值求解即可.

(3)参变分离后再求解最值即可.

【详解】

（1）随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中和显然都是单调函数，不满足题意，

∴选择.

（2）把点代入中，

得，

解得，

∴当时，y有最小值.

故当纪念章上市10天时，该纪念章的市场价最低，最低市场价为70元 ，

（3）由题意，令，

若存在使得不等式成立，则须，

又，当且仅当时，等号成立，

所以.

【点睛】

本题主要考查了二次函数模型解决实际问题的题型,需要根据题意求解对应的二次函数式再分析最值与求参数.属于中等题型.