北师大版 (2019)必修 第一册第四章 对数运算和对数函数3 对数函数3.2 对数函数y=log2 x的图像和性质学案及答案

对数函数y＝log2x的图象和性质

【学习目标】

通过对数函数y＝log2x的图象研究函数的性质，培养直观想象素养。

【学习重难点】

会画具体对数函数的图象。

【学习过程】

一、预习提问

思考：

(1)指数函数y＝2x与对数函数x＝log2y的图象有什么关系？

(2)指数函数y＝2x的图象与对数函数y＝log2x的图象有什么关系？

[提示](1)重合。

(2)关于直线y＝x对称。

二、合作探究

4．函数y＝log2x的图象和性质

完成下列问题。

1．函数y＝logax的图象如图所示，则a的值可以是(    )

A．           B．2

C．e   D．10

2．函数y＝log2(x－2)的定义域是________。

3．函数y＝log2(x2＋1)的值域是________。

4．对数函数f(x)的图象经过点，则f(3)＝________。

【答案】

1．A  [y＝logax的图象是下降的，故a可以是。故选A．]

2．(2，＋∞)  [由x－2>0，得x>2，所以其定义域是(2，＋∞)。]

3．[0，＋∞)  [由x2＋1≥1，得y≥0，所以，其值域是[0，＋∞)。]

4．－1  [设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，

因为对数函数f(x)的图象经过点，

所以f＝loga＝2．所以a2＝。

所以a＝＝＝。

所以f(x)＝logx。所以f(3)＝log3＝log＝－1．]

【例1】  下列函数中，哪些是对数函数？

(1)y＝loga(a>0，且a≠1)；

(2)y＝log2x＋2；

(3)y＝8log2(x＋1)；

(4)y＝logx6(x>0，且x≠1)；

(5)y＝log6x。

【答案】

(1)中真数不是自变量x，不是对数函数。

(2)中对数式后加2，所以不是对数函数。

(3)中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数。

(4)中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数。

(5)中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数。

1．若函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________。

【答案】1  [由a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1．

又底数a＋1>0，且a＋1≠1，所以a＝1．]

【例2】  求下列函数的反函数。

(1)y＝10x；      (2)y＝x；

(3)y＝logx；  (4)y＝log2x。

【答案】

(1)由y＝10x，得x＝lg y，∴其反函数为y＝lg x；

(2)由y＝x，得x＝logy，∴其反函数为y＝logx；

(3)由y＝logx，得x＝y，∴其反函数为y＝x；

(4)由y＝log2x，得x＝2y，∴其反函数为y＝2x。

2．(1)已知函数y＝g(x)的图象与函数y＝log3x的图象关于直线y＝x对称，则g(2)的值为(    )

A．9                 B．

C．   D．log32

(2)若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(，a)，则f(x)＝(    )

A．log2x   B．logx

C．2－x   D．x2

【答案】(1)A  (2)B  [(1)y＝g(x)与y＝log3x互为反函数，

故g(x)＝3x，

故g(2)＝32＝9．

(2)由题意知(a，)在y＝ax上，可得aa＝＝a，即a＝。

因为y＝x的反函数为y＝logx，

所以f(x)＝logx。]

[探究问题]

1．求函数y＝log2|x|的定义域，并画出它的图象。

2．画出函数y＝|log2x|的图象，并写出它的单调区间。

【例3】  根据函数f(x)＝log2x的图象和性质求解以下问题：

(1)若f(x－1)>f(1)，求x的取值范围；

(2)求y＝log2(2x－1)在 x∈上的最值。

1．提示：函数的定义域为{x|x≠0，x∈R}。

函数解析式可化为

y＝其图象如图所示。

(其特征是关于y轴对称)。

2．提示：y＝|log2x|＝其图象如图所示，

增区间为[1，＋∞)，减区间为(0，1)。

例3 [思路探究]  可依据y＝log2x的图象，借助函数的单调性解不等式，求最值。

[解]  作出函数y＝log2x的图象如图。

(1)由图象知y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数。

因为f(x－1)>f(1)，

所以x－1>1，

解得x>2，所以x的取值范围是(2，＋∞)。

(2)∵≤x≤，∴≤2x－1≤4，

∴log2≤log2(2x－1)≤log24，

所以－1≤log2(2x－1)≤2，

故函数y＝log2(2x－1)在x∈上的最小值为－1，最大值为2．

【母体探究】

1．(变结论)将例题中的条件不变，试比较log2与log2的大小。

2．(变结论)将例题中的条件不变，解不等式log2(2－x)>0.

【答案】

1． [解]  函数f(x)＝log2x在(0，＋∞)上为增函数，

又∵>，∴log2>log2。

2．[解]  log2(2－x)>0，即log2(2－x)>log21，

∵函数y＝log2x为增函数，

∴2－x>1，∴x<1．

∴x的取值范围是(－∞，1)。

【规律方法】

函数f（x）＝log2x是最基本的对数函数，它在（0，＋∞）上是单调递增的，利用单调性可以解不等式，求函数值域，比较对数值的大小。

【课堂小结】

1．解与对数有关的问题，首先要保证在定义域范围内解题，即真数大于零，底数大于零且不等于1，函数定义域的结果一定要写成集合或区间的形式。

2．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们定义域与值域相反，图象关于直线y＝x对称。

3．应注意数形结合思想在解题中的应用。

1．思考辨析

(1)函数y＝2log2x是对数函数。(    )

(2)函数y＝3x的反函数是y＝x。(    )

(3) 对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数。(    )

2．函数f(x)＝lg(2－3x)的定义域是________。

3．函数y＝logx的反函数是________。

4．求函数y＝log2(3＋2x－x2)的定义域和值域。

【答案】1． (1)×  (2)×  (3)√

2．  [由2－3x>0，得x<，所以，f(x)的定义域是。]

3．y＝x  [由y＝logx，得x＝y，所以，其反函数为y＝x。]

4．[解]  由3＋2x－x2>0，得x2－2x－3<0，∴－1<x<3，∴其定义域为(－1，3)

u＝3＋2x－x2＝4－(x－1)2≤4，又y＝log2u是增函数。

∴y≤log24＝2，∴其值域为(－∞，2]。