第14讲 数列大题的考法研究（解析版）

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第14讲 数列大题的考法研究【题型精讲】题型一：等差数列、等比数列的判定与证明1．（2021·山东省青岛第十七中学高三期中）已知数列中，，前项和为，且满足.证明：数列是等差数列，并求的通项公式；【答案】证明见解析，证明：因为，所以，所以，，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，，所以，当时，，当时，等式也成立，所以；2．（2021·吉林吉林·高三月考（理））已知数列满足：，.设，证明：数列是等差数列；【详解】证明：由，可得，所以，由于，可得，又，所以为首项为，公差为的等差数列.3．（2021·全国·高三专题练习（文））已知数列的前项和满足.证明：对任意的正整数，集合中的三个元素可以排成一个递增的等差数列；【详解】由题意，数列的前项和满足，当时，，两式相减，可得，即，即，令，可得，解得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，，，又由，所以，，构成一个递增的等差数列.证明（判断）数列是等差（比）数列的4种基本方法题型二：分组转化法求和1．（2021·江苏·高二单元测试）已知数列满足，．（1）求，；（2）设，求证：数列是等比数列，并求其通项公式；（3）已知，求证：．【答案】（1），（2）证明见解析，（3）证明见解析（1）因为数列满足，，所以，．即，（2）．∵，∴数列的各项均不为0，∴，即数列是首项为，公比为的等比数列，∴．（3）由（2）知．∴．2．（2021·江苏·海安高级中学高三月考）已知数列的前n项和为，且（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前20项和．【答案】（1）；（2）．【详解】解：（1）当时，当n为奇数，且时，，显然满足；当n为偶数时，所以（2）．3．（2021·山东枣庄·高二期末）已知数列满足，（1）求，，，并求；（2）求的前100项和．【答案】（1），，，；（2）2600.【详解】解：（1），，．当时，由题意，得，．于是，即．所以，是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，即为奇数时，．当为偶数时，．所以，；（2）法1：法2：由（1），当时，，．令，则．．4．（2021·山西临汾·二模（理））山西面食历史悠久，源远流长，称为“世界面食之根”．临汾牛肉丸子面、饸饹面是我们临汾人喜爱吃的面食．调查资料表明，某学校在每周一有1000名学生选择面食，餐厅的面食窗口在每周一提供牛肉丸子面和饸饹面两种面食．凡是在本周一选择牛肉丸子面的学生，下周一会有改选饸饹面；而选择饸饹面的学生，下周一会有改选牛肉丸子面．用分别表示在第个周一选择牛肉丸子面和饸饹面的人数，且．（1）证明：数列是常数列；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】解：（1）证明：，，，由题意，可得，解得，，，即数列是常数列.（2）由（1）可得，，， ．分组转化法求和的常见类型(1)若,且,为等差或等比数列,可采用分组求和法求的前项和(2)通项公式为的数列,其中数列是等比数列或等差数列,可采用分组转化法求和。题型三：裂项相消法求和1．（2021·广东·清远市博爱学校高三月考）已知数列满足（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，是数列的前项和，求.【答案】（1）（2）（1）由题意知，( )，所以，故，对也成立.综上所述，数列的通项公式为：；（2）由(1)得，，所以，即数列的前n项和2．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高二月考（理））已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）（1）因为，当时，可得；当时，可得，两式相减得，即，所以数列的通项公式为（2）当时，，当时，，则.3．（2021·上海市第三女子中学高三期中）已知数列的前项和为，且；（1）求的通项公式；（2）设，是数列的前项和，求；（3）设，是数列的前项和，若对任意均有恒成立，求的最小值；【答案】（1）（2）（3）（1）由题意，数列的前项和为，且，当时，可得，解得，当时，，两式相减可得，可得，即，所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以.（2）解：由，可得，所以数列的前项和： .（3）解：由，可得，所以数列的前项和：，因为对任意均有，所以，所以实数的最小值为.裂项相消法求和的几种常见类型(1)(2)(3)(4)若是公差为的等差数列则题型四：错位相减法求和1．（2021·四川资阳·高三月考（文））已知数列的前项和为，且，（，）（1）求的通项公式；（2）记，求数列的前项和．【答案】（1）（2）（1）解：由题，时，，，则，即有，又，则，于是，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以；（2）由（1），则，所以，则，两式相减，得，所以．2．（2021·河南南阳·高二期中）若数列的前项和为，且；数列满足，.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1），（2）（1）由，得，.又，，两式相减，得，.，.∴数列是首项为1，公比为2的等比数列..由，得，又，数列是首项为1，公差为1的等差数列..；（2），.两式相减，得.3．（2021·安徽·六安一中高三月考（文））已知数列的前项和为，且，．（1）证明数列为等差数列，并求的通项公式；（2）已知，求数列的前项和，并证明．【答案】（1）证明见解析；（2）；证明见解析（1）当时，由，得或（舍去），由，得，①，当时，，②，由①－②，得，整理得，因为，所以．所以是首项为1，公差为1的等差数列，故数列的通项公式为．（2），，①，②，由①②可得，，，，.【课后精练】1．（2021·全国·高二课时练习）已知函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．（1）求数列的通项公式；（2）若函数，令，求数列的前2020项和．【答案】（1） ；（2） ．【详解】（1）∵点均在函数的图象上，∴．当时，；当时，，适合上式，∴．（2）∵，∴．又由（1）知，∴．∴，①又，②①+②，，∴．2．（2021·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，函数对一切实数总有，数列满足分别求数列、的通项公式.【答案】；【详解】当 当时满足上式，故 ；∵=1∴ ∵ ①∴ ②∴①②，得3．（2021·陕西·铜川市第一中学高二期中（理））在公差不为0的等差数列中，，，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，求的前项和．【答案】（1）（2）（1）设等差数列的公差是d，则，解得．所以．（2）由（1）知．所以4．（2021·安徽·六安一中高三月考（文））已知是等比数列，，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）（2）（1），，，， ，.（2），.5．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高二月考（文））已知数列的前项和．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）（2）（1）当时，；当时，，同样适合上式，所以数列的通项公式为．（2）由（1）得 ，，6．（2021·浙江·模拟预测）已知数列的前项和为，，数列满足，．（1）求数列、的通项公式；（2）若数列满足，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析（1）解：由，得，所以又由，得，满足，所以，而，所以，所以；（2）证明：因为，所以.7．（2021·湖南·临澧县第一中学高三月考）已知数列满足.（1）证明：数列为等比数列，并求；（2）求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析，；（2）.【详解】（1）由已知得：，又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以，即；（2）由（1）知，，则 两式相减得： 所以.8．（2021·贵州师大附中高二月考（理））已知数列满足，且.（1）若数列满足，求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）由知数列是公差为1的等差数列故，所以，所以所以所以所以又满足上式，所以；（2）由（1）可得所以①；②；①②得，所以所以9．（2021·全国·高二专题练习）已知数列，满足，，.（1）证明为等比数列，并求的通项公式；（2）求.【答案】（1）证明见解析，；（2）.【详解】（1）由可得，于是，即，而，所以是首项为2，公比为2的等比数列.所以.（2）由（1）知，所以.因为，所以，因此.10．（2021·全国·高二课时练习）已知数列的前n项和为.（1）求数列的通项公式；（2） 求数列的前n项和.【答案】（1），（2）【详解】解：（1）当时，，即，当时，， 时，满足上式，所以（2）由得，而，所以当时，，当时，，当时，，当时，，所以定义法(常数)()是等差数列；(是非零常数)是等比数列等差（比）中项法()是等差数列；（，）是等比数列。通项公式法（是常数）是等差数列；（其中为非零常数，）是等比数列.前项和公式法（为常数）是等差数列；（为非零常数）是等比数列.