第11讲 平面向量（解析版）练习题

第11讲  平面向量

【题型精讲】

题型一：平面向量的线性运算

1．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））四边形中，，，，则（    ）

A．－4 B．－2 C．2 D．4

【答案】D

【详解】

由，，，可知，四边形为直角梯形，

∴，

所以．

故选：D．

2．（2021·山西吕梁·高三月考（理））如图，中，点是的中点，点满足，与交于点，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由题设，，又，，

∴，而共线，

∴，可得.

故选：C

3．（2021·贵州遵义·高三月考（文））如图，在中，为上一点，且，设，则用和表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

由题得.

故选：A

4．（2021·安徽·芜湖一中高三月考（理））如图所示，等腰梯形中，，点为线段上靠近的三等分点，点为线段的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

，

，

，

，

故选：A.

题型二：平面向量的数量积

1．（2021·安徽·六安一中高三月考（文））设向量，，若，则（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】C

【详解】

，

则，

所以.

故选：C

2．（2021·江西赣州·高三期中（文））已知，若点是所在平面内的一点，且，则的最大值等于（    ）

A．8 B．10 C．12 D．13

【答案】C

【详解】

∵，∴可以A为原点，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系；

不妨设，则，故点P坐标为

则，∴

令，则，

则当时，，当时，，

则函数在递增，在上递减，则，即的最大值为12．

故选：C．

3．（2021·甘肃·静宁县第一中学二模（理））已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

由，    求得，结合向量的夹角公式，即可求解.

【详解】

由题意，向量，可得，

又由，可得，可得，

设向量与的夹角为，其中

可得 ，所以.

故选：D.

4．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（理））中，，，，，且，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

因为，所以，

因为，

所以，

,

所以，

因为，，，

所以，解得，

故选：D

题型三：平面向量的综合应用

1．（2021·浙江宁波·高三月考）已知平面向量，，满足，，．若，则的取值范围是______

【答案】

【详解】

解：记，，，则，，．

由题意，，可得（显然）

又由，得，消去n得，

化简得，即．

结合，可解得或．

因此，．

故答案为：

2．（2021·江西赣州·高三期中（理））已知，若恒成立，则k的取值为_____________.

【答案】0

【详解】

解：因为，

所以，

因为，

所以，即，解得

故答案为：

3．（2021·上海·格致中学高三期中）已知向量，满足，，则的最大值为______.

【答案】

【详解】

设向量的夹角为，

，

，

则，

令，

则，

据此可得：，

即的最大值是

故答案为：.

4．（2021·浙江·学军中学高三期中）如图，已知是半径为2，圆心角为的一段圆弧上一点，，则的最小值为___________.

【答案】

【详解】

解：已知是半径为2，圆心角为的一段圆弧上一点，，

以圆心为原点，垂直平分线所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，

则：，，，由题设：，；

则

其中；

所以，当时，

则的最小值为；

故答案为：．

5．（2021·陕西·西安中学高三月考（文））如图，中，，，，为重心，为线段上一点，则的最大值为___________.

【答案】20

【详解】

延长交于，

因为为△ABC重心，所以为的中点，

所以,

设，因为P为线段BG上一点，所以，

因为为△ABC重心，所以，

因为,

，

所以

其对称轴为，

所以当时，取得最大值20，

故答案为：20

【课后精练】

一、单选题

1．（2021·陕西·泾阳县教育局教学研究室高三期中（文））已知向量是单位向量，向量，的夹角为60°，且，则（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】A

【详解】

因为向量是单位向量，向量，的夹角为60°，且，

所以，解得

故选：A

2．（2021·全国·高三月考（理））已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

由向量垂直转化为向量的数量积为0，利用向量的数量积运算化简即可得出结果.

【详解】

由题意，可得，

即，由，设与的夹角为，则，

可得，故.

故选：B.

3．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（文））已知是夹角为的两个单位向量，，，若，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

，，即，

，

解得：.

故选：D.

4．（2021·安徽·高三月考（文））下列命题中正确的是（    ）.

A．因为两个非零向量、方向相反，则它们是相反向量

B．已知，且，则

C．已知向量，，若，则

D．两个非零向量、，若，则与反向

【答案】D

【详解】

A选项，相反向量要求向量方向相反，模长相等，向量、方向相反，模长未知，故A错误；

B选项，，，无法得到，B错误；

C选项，若，则，即，，C错误；

D选项，，，若，即，即，故与反向，D选项正确；

故选：D.

5．（2021·江西赣州·高三期中（理））在中，，，在上且，则（    ）

A．2 B．4 C．8 D．12

【答案】C

【详解】

因为，

所以，

所以．

故选：C．

6．（2021·广西南宁·高三月考（文））已知函数在上的最小值为，点为函数的图象在轴右侧的第一个最高点，点为函数的图象在轴右侧的第二个对称中心，为坐标原点，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

解：

由得，

，

则，

，

即，

令，得 ，

故点A坐标为，

令，得，

故点B坐标为，

则，

，

，

故选：A.

7．（2021·广西南宁·高三月考（文））已知向量共面，且均为单位向量，，则的取值范围是（    ）

A．  B．

C． D．

【答案】A

【详解】

如图，，当与同向时，此时最大，为；当与反向时，此时最小，为.

故选：A

8．（2021·甘肃·静宁县第一中学二模（理））在中，，，，为中点，为的内心，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

如图所示，因为,所以.

所以内切圆的半径为，所以点，

所以，

所以，

所以.

所以.

故选：A

二、多选题

9．（2021·湖南郴州·高三月考）如图，在直角坐标系中，，，点在轴上且，则下列说法正确的有（    ）

A．

B．

C．与共线的单位向量的坐标可以是､

D．与的夹角的余弦值为

【答案】BD

【详解】

对A，，A错误；

对B，，B正确；

对C，依题可知，，所以与共线的单位向量的坐标是和，C错误；

对D，设与的夹角为，，，，所以，所以，D正确．

故选：BD．

10．（2021·广东深圳·高三月考）已知平面向量，若是直角三角形，则的可能取值是（    ）

A．-2 B．2 C．5 D．7

【答案】BD

【详解】

，，，

若，则，

∴，解得；

若，则，

∴，此时方程无解；

若，则

∴，解得．

结合选项可知BD正确，

故选：BD

11．（2021·湖南·高三月考）定义：，两个向量的叉乘的模.（    ）

A．若平行四边形的面积为4，则

B．在正中，若，则

C．若，，则的最小值为

D．若，，且为单位向量，则的值可能为

【答案】ACD

【详解】

若平行四边形的面积为4，则，所以A正确；

设正的边的中点为，则，则，

故，所以B不正确；

由，，得，，则，

可得，当且仅当时，等号成立，

故的最小值为，所以C正确；

若，，且为单位向量，

则当，，，时，可以等于，

此时.所以D正确.

故选：ACD

12．（2021·广东·金山中学高三期中）已知向量，，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则的值为

B．的最小值为1

C．若，则的值为2

D．若与的夹角为钝角，则的取值范围是

【答案】BC

【详解】

A选项：若，则，解得：，故A错；

B选项：，所以，当时，取得最小值为1，故B正确；

C选项：，

若，即，解得：，故C正确；

D选项：若与的夹角为钝角，则且，，所以，且，解得：且，故D错误.

故选：BC

三、填空题

13．（2021·陕西·泾阳县教育局教学研究室高三期中（文））已知向量，，若，则实数___________.

【答案】

【详解】

因为，，所以

因为，所以，解得

故答案为：

14．（2021·天津市咸水沽第一中学高三月考）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为______．

【答案】

【详解】

由题设，，又，

∴，且，为非零向量，

∴，又，

∴.

故答案为：

15．（2021·江苏省天一中学高三月考）等腰直角中，点是斜边边上一点，若=+，则的面积为______

【答案】

【详解】

如图，由于=+，所以，

则，所以在等腰直角中，， ，所以，

即腰长为5，故的面积.

故答案为：.

四、双空题

16．（2021·天津南开·高三期中）边长为的菱形满足，则___________；一直线与菱形的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线于点，若，，，则___________.

【答案】0

【详解】

在菱形中，因，即菱形的两条对角线长相等，则菱形是矩形，即，

所以0；

依题意，在菱形中，，则，

因，，则，，

又，而不共线，于是得，解得，则，

因，则，即，

而不共线，从而得，，

所以.

故答案为：0；