专题16 数列1多选题(解析版)

专题16 数列

1．已知等比数列中，满足，则（    ）

A．数列是等比数列 B．数列是递增数列

C．数列是等差数列 D．数列中，仍成等比数列

【答案】AC

【解析】等比数列中，，所以，．

于是 ，，，故数列是等比数列，

数列是递减数列，数列是等差数列．

因为 ，所以不成等比数列．

故选：AC．

【点睛】

本题主要考查等比数列的通项公式和前项和公式的应用，以及通过通项公式判断数列类型，属于基础题．

2．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．的最大值为 D．的最大值为

【答案】AD

【解析】①, 与题设矛盾.

②符合题意.

③与题设矛盾.

④ 与题设矛盾.

得，则的最大值为.

B，C，错误.

故选：AD.

【点睛】考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：.

3．等差数列是递增数列，满足，前项和为，下列选择项正确的是（  ）

A． B．

C．当时最小 D．时的最小值为

【答案】ABD

【解析】由题意，设等差数列的公差为，

因为，可得，解得，

又由等差数列是递增数列，可知，则，故正确；

因为，

由可知，当或时最小，故错误，

令，解得或，即时的最小值为，故正确.

故选：

【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前项和公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的通项公式和前项和公式，结合数列的函数性进行判断是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

4．已知数列的前n项和为，且满足，则下列说法正确的是（    ）

A．数列的前n项和为 B．数列的通项公式为

C．数列为递增数列 D．数列为递增数列

【答案】AD

【解析】

因此数列为以为首项，为公差的等差数列，也是递增数列，即D正确；

所以，即A正确；

当时

所以，即B，C不正确；

故选：AD

【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.

5．由公差为d的等差数列则对重新组成的数列描述正确的是（    ）

A．一定是等差数列 B．公差为2d的等差数列

C．可能是等比数列 D．可能既非等差数列又非等比数列

【答案】ABC

【解析】由题意得

令，则，

因此数列一定是公差为2d的等差数列，即A,B正确，D错误；

当时，此时数列可以是等比数列，即C正确；

故选：ABC

【点睛】本题考查等差数列与等比数列定义，考查基本分析判断能力，属基础题.

6．数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列：，以下运算和结论正确的是（    ）

A．

B．数列是等比数列

C．数列的前项和为

D．若存在正整数，使，则

【答案】ACD

【解析】以为分母的数共有个，故，故正确；

为等差数列，错误；

数列的前项和为，正确；

根据（3）知：即；，此时，正确；

故选：

【点睛】本题考查了数列的通项公式，前项和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.

7．已知等比数列的各项均为正数，公比为，且，记的前项积为，则下列选项中正确的选项是（     ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【解析】由于等比数列的各项均为正数，公比为，且，所以，由题意得，所以.因为，所以，，.

故选ABC.

【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查分析问题与解决问题的能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

8．将个数排成行列的一个数阵，如下图：

该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）.已知，，记这个数的和为.下列结论正确的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【解析】由题意，该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列，且，，

可得，，所以，

解得或（舍去），所以选项A是正确的；

又由，所以选项B不正确；

又由，所以选项C是正确的；

又由这个数的和为，

则

，所以选项D是正确的，

故选：ACD.

【点睛】本题主要考查了数表、数阵数列的求解，以及等比数列及其前n项和公式的应用，其中解答中合理利用等比数列的通项公式和前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

9．已知各项均为正项的等比数列,，,其前和为,下列说明正确的是（    ）

A．数列为等差数列

B．若,则

C．

D．记,则数列有最大值.

【答案】ABD

【解析】由题可知，，；

对A，，，，A对；

对B，，又，则；B对；

对C，，

，，

明显，C错误；

对D，，由于数列，，故数列为单调递减数列，总存在从某一项开始使得，故有最大值，故D正确；

故选：ABD

【点睛】本题考查等比数列的基本性质，前项和公式的应用，正向等比递减数列的判断，属于中档题

10．已知等比数列中，满足，则（    ）

A．数列是等差等列 B．数列是递减数列

C．数列是等差数列 D．数列是递减数列

【答案】BC

【解析】

A. ，，是公比为的等比数列，不是等差数列，故不正确；

B．由A可知，数列是首项为1，公比为的等比数列，所以是递减数列，故正确；

C. ， ，所以是等差数列，故正确；

D.由C可知是公差为1的等差数列，所以是递增数列，故D不正确.

故选：BC

【点睛】本题考查判断数列是否是等差和等比数列，以及判断函数的单调性，意在考查理解两个基本数列，会用最基本的方法判断，属于基础题型.

11．已知为等差数列，其前项和为，且，则以下结论正确的是（    ）.

A． B．最小 C． D．

【答案】ACD

【解析】即，正确；当时，没有最小值，错误；

，正确；

，正确.

故选：

【点睛】本题考查了数列的通项公式，前项和，意在考查学生对数列公式方法的灵活运用.

12．在公比q为整数的等比数列中，是数列的前n项和，若，，则下列说法正确的是（    ）.

A． B．数列是等比数列 

C． D．数列是公差为2的等差数列

【答案】ABC

【解析】因为数列为等比数列，又，所以，又，

所以或，又公比q为整数，则，

即，，

对于选项A，由上可得，即选项A正确；

对于选项B，，，则数列是等比数列，即选项B正确；

对于选项C，，即选项C正确；

对于选项D，，即数列是公差为1的等差数列，即选项D错误，

即说法正确的是ABC，

故答案为：ABC.

【点睛】本题考查了等比数列通项公式及前项和的运算，重点考查了等差数列、等比数列的判定，属中档题.

13．在数列中，若，（，，为常数），则称为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（   ）

A．若是等差数列，则是等方差数列

B．是等方差数列

C．若是等方差数列，则（，为常数）也是等方差数列

D．若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列

【答案】BCD

【解析】对于A选项，取，则不是常数，则不是等方差数列，A选项中的结论错误；

对于B选项，为常数，则是等方差数列，B选项中的结论正确；

对于C选项，若是等方差数列，则存在常数，使得，则数列为等差数列，所以，则数列（，为常数）也是等方差数列，C选项中的结论正确；

对于D选项，若数列为等差数列，设其公差为，则存在，使得，

则，

由于数列也为等方差数列，所以，存在实数，使得，

则对任意的恒成立，则，得，

此时，数列为常数列，D选项正确.故选：BCD.

【点睛】本题考查数列中的新定义，解题时要充分利用题中的定义进行判断，也可以结合特殊数列来判断命题不成立，考查逻辑推理能力，属于中等题.

14．已知数列{an}是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，满足a1+5a3＝S8，下列选项正确的有（   ）

A． B． C．最小 D．

【答案】AB

【解析】因为{an}是等差数列，设公差为，由，

可得，即，即选项A正确，

又，即选项B正确，

 当时，则或最小，当时，则或最大，即选项C错误，

又，，所以，即选项D错误，

故选AB.

【点睛】本题考查了等差数列的性质及前项和公式，属中档题.

15．已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（   ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【解析】时，，数列不一定是等比数列，

时，，数列不一定是等比数列，

由等比数列的定义知和都是等比数列．

故选AD．

【点睛】本题考查等比数列的定义，掌握等比数列的定义是解题基础．特别注意只要数列中有一项为0，则数列不可能是等比数列．