专题13 立体几何初步【多选题】（解析版）

专题13 立体几何初步

1．以下命题中假命题的序号是（    ）

A．若棱柱被一平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱

B．有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体叫棱台

C．用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫圆台

D．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

【答案】BCD

【解析】根据棱柱、棱台和圆台的定义及性质,即可判断.

对于A,若棱柱被与底面不平行的平面所截,则分成的两部分不一定是棱柱,可能出现棱锥,所以A正确;

对于B, 有两个面平行,其余各面都是梯形,并且侧棱的延长线交于同一点的的几何体叫棱台,所以B错误;

对于C,当截面与底面不平行时,截得的底面和截面之间的几何体不是圆台,所以C错误;

对于D,根据棱柱定义可知,有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱,所以D错误.

故选:BCD

2．正方体的棱长为2，已知平面，则关于截此正方体所得截面的判断正确的是（    ）[来源:Z|xx|k.Com]

A．截面形状可能为正三角形 B．截面形状可能为正方形

C．截面形状可能为正六访形 D．截面面积最大值为

【答案】ACD

【解析】借助正方体，画出截面图形，再对选项进行一一判断．

如图，显然A,C成立，下面说明D成立，

如图设截面为多边形，

设，则，

则

所以多边形的面积为两个等腰梯形的面积和，

所以

因为，

，

所以

当时，，故D成立。

故选：ACD．

3．已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（    ）

A．若则

B．若则

C．若，，则

D．若，则

【答案】ACD

【解析】由线面垂直的判定定理、面面平行的判定定理、线面平行的性质定理，以长方体为载体逐一分析即可得出结论．

若，则且使得，，又，则，，由线面垂直的判定定理得，故A对；

若，，如图，设，平面为平面，，设平面为平面，，则，故B错；

垂直于同一条直线的两个平面平行，故C对；

若，则，又，则，故D对；

故选：ACD．

4．已知两条直线，及三个平面，，，则的充分条件是（    ）．

A．， B．，，[来源:学科网ZXXK]

C．， D．，，

【答案】ABC

【解析】根据面面垂直的判定定理，即可得作出判断.

由面面垂直定理可以判断正确，

对于选项，，，，也可以得到，故错.

故选：.

5．如图，梯形中，，，，，将沿对角线折起.设折起后点的位置为，并且平面平面.给出下面四个命题正确的：()

A． B．三棱锥的体积为

C．平面 D．平面平面

【答案】CD

【解析】依次判断每个选项的正误得到答案.

如图所示：为中点，连接

，，得到

又故为等腰直角三角形

平面平面， ，所以平面，所以C正确

为中点，则平面 所以

如果，则可得到平面，故 与已知矛盾.故A错误

[来源:学#科#网]

三棱锥的体积为 .故B错误

在直角三角形中，

在三角形中， 满足

又 所以平面，所以平面平面，故D正确

[来源:学科网]

综上所述：答案为CD

6．已知四棱锥，底面为矩形，侧面平面，，.若点为的中点，则下列说法正确的为（    ）

A．平面

B．面

C．四棱锥外接球的表面积为

D．四棱锥的体积为6

【答案】BC

【解析】作图，在四棱锥中，根据题意逐一证明或排除.

作图在四棱锥中：

由题：侧面平面，交线为，底面为矩形，，则

平面，过点B只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；

连接交于，连接，中，∥，面，

面，所以面，所以选项B正确；

四棱锥的体积是四棱锥的体积的一半，取中点，连接，

，则平面，，四棱锥的体积

所以选项D错误.

矩形中，易得，

中求得：在中

即： ，所以O为四棱锥外接球的球心，半径为，

所以其体积为，所以选项C正确

故选：BC

7．一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形为正方形，、分别为、的中点，在此几何体中，给出的下面结论中正确的有（  ）

A．直线与直线异面 B．直线与直线异面

C．直线∥平面 D．直线∥平面

【答案】ACD

【解析】可将展开图还原成几何体，再由位置关系进一步确定线线与线面关系即可

由题可知，该几何体为正四棱锥

对，可假设与共面，由图可知，点不在平面中，故矛盾，正确；

对，因为中点，故，又四边形为正方形，所以，故

，四点共面，错；

对，由的证明可知，，又平面，故直线∥平面，正确；

对，同理由的证明可知，，又平面，故直线∥平面，正确

故选：ACD

8．如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，点是圆周上异于，的任一点，则下列结论中正确的是（   ）

A．

B．

C．平面

D．平面平面

E. 平面平面

【答案】BE

【解析】首先根据圆中直径所对的圆周角为直角，得到，再由条件垂直于以为直径的圆所在的平面，所以可得，根据线面垂直的判定定理，得到，从而得到，再由面面垂直的判定定理，得到平面平面，从而得到正确选项.

因为垂直于以为直径的圆所在的平面，所以可得，

又因为直径所对的圆周角为直角，所以有，从而可以证得，

从而得到，所以B项正确；

因为，所以有平面平面，所以E项正确；

故选BE.

9．如图，在正方体中，点在线段上运动，则 （    ）

A．直线平面

B．三棱锥的体积为定值[来源:Z。xx。k.Com]

C．异面直线与所成角的取值范围是

D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为

【答案】ABD

【解析】利用线面垂直的性质判定可判定选项A,对三棱锥转化顶点可判定选项B,找到异面成角的最小值的情况即可判断选项C,转化直线与平面所成角的正弦值的最大值为直线与直线所成角的余弦值最大,进而判断选项D

对于选项A,连接,由正方体可得,且平面,则,所以平面,故；同理,连接,易证得,则平面,故A正确；

对于选项B,,因为点在线段上运动,所以,面积为定值,且到平面的距离即为到平面的距离,也为定值,故体积为定值,故B正确；

对于选项C,当点与线段的端点重合时,与所成角取得最小值为,故C错误；

对于选项D,因为直线平面,所以若直线与平面所成角的正弦值最大,则直线与直线所成角的余弦值最大,则运动到中点处,即所成角为,设棱长为1,在中,,故D正确

故选：ABD

10．若将正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论中正确的是（    ）

A．异面直线与所成的角为 B．

C．是等边三角形 D．二面角的平面角正切值是

【答案】ABCD

【解析】作出正方形翻折后的立体几图形，再对选项进行逐个分析.

如图所示，设正方形的边长为2，

对，设三角形运动到，连接交于，连，因为，所以为正三角形，所以 异面直线与所成的角为，故正确；

对，因为，所以平面，平面，所以，故正确；

对，由选项的证明，同理可得，所以可推理得是等边三角形，故正确；

对，取的中点，连接，，

，为的中点，，

平面平面，平面平面，平面，

平面，平面，，

，，平面，

平面，，所以为二面角的平面角，

所以，故正确；

故选：.