苏科版九年级下册5.3 用待定系数法确定二次函数的表达式随堂练习题

5.3待定系数法基础练习

一、选择题

1. 二次函数 的图象的顶点坐标是   

 A． B． C． D．

2. 用配方法将二次函数 化为 的形式为

 A．  B．

 C．  D．

3. 用配方法将 化成 的形式，则 的值为

 A．  B．  C．  D．

4. 二次函数 （，， 为常数且 ）中的 与 的部分对应值如下表：

给出了结论：

①二次函数 有最小值，最小值为 ；

②当 时，；

③二次函数 的图象与 轴有两个交点，且它们分别在 轴两侧．

则其中正确结论的个数是   

 A． B． C． D．

5. 将二次函数 化为 的形式，结果为

 A． B．

 C． D．

6. 对二次函数 进行配方，其结果及顶点坐标是

 A． ，

 B． ，

 C． ，

 D． ，

7. 若二次函数 的图象的对称轴是经过点 且平行于 轴的直线，则关于 的方程 的解为   

 A．， B．， C．， D．，

8. 已知二次函数 ，当 取任意实数时，都有 ，则 的取值范围是

 A． B． C． D．

9. 下列关于二次函数 的图象与 轴交点的判断，正确的是   

 A．没有交点

 B．只有一个交点，且它位于 轴右侧

 C．有两个交点，且它们均位于 轴左侧

 D．有两个交点，且它们均位于 轴右侧

10. 将抛物线 绕其顶点旋转 ，则旋转后抛物线的解析式为   

 A． B． C． D．

二、填空题

11. 抛物线    的对称轴为直线     ．

12. 请写出一个开口向上，并且与 轴交于点 的抛物线的解析式    ．

13. 若二次函数 的图象经过原点，则 的值是    ．

14. 请写出一个开口向上，并且与 轴交于点 的抛物线的表达式    ．

15. 二次函数 中，当 时，函数值最大，     ．

16. 若抛物线 过原点，则该抛物线与 轴的另一个交点坐标为    ．

17. 抛物线 开口向下，且经过原点，则     ．

18. 若把二次函数 化为 的形式，其中 ， 为常数，则     ．

三、解答题

19. 已知二次函数图象的顶点坐标为 ，且经过原点 ，求该函数的解析式．

20. 已知二次函数   的图象经过点 ．

求：

(1)  该函数解析式及对称轴；

(2)  试判断点 是否在此函数的图象上．

21. 某二次函数用表格表示如下：

(1)  根据表格说明该函数图象的对称轴、顶点坐标和开口方向；

(2)  说明 为何值时， 随 的增大而增大；

(3)  你能用表达式表示这个函数关系吗？

22. 说出下列函数的图象是由怎样的 型抛物线经过怎样的平移后得到的．

(1)   ．

(2)   ．

(3)   ．

(4)   ．

23. 已知关于 的方程 ．

(1)  求证：无论 取任何实数时，方程恒有实数根；

(2)  若关于 的二次函数 的图象与 轴两交点间的距离为 时，求二次函数的表达式．

24. 如图，在直角梯形 中，，，，， 是 上一动点（不与 、 重合），， 交 于点 ．

(1)  与 是否相似？请说明理由；

(2)  设 ，，求 与 之间的函数关系式，并指出自变量 的取值范围；

(3)  请你探索在点 运动的过程中，四边形 能否构成矩形？如果能，求出 的长；如果不能，请说明理由；

25. 已知抛物线 ：．

(1)  补全表中 ， 两点的坐标，并在所给的平面直角坐标系中画出抛物线 ；

(2)  将抛物线 上每一点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标变为原来的 ，可证明得到的曲线仍是抛物线，（记为 ），且抛物线 的顶点是抛物线 的顶点的对应点，求抛物线 对应的函数表达式．

26. 如图，抛物线 交 轴于点 和点 ，交 轴于点 ．

(1)  求抛物线的函数表达式；

(2)  若点 在抛物线上，且 ，求点 的坐标；

(3)  如图 b，设点 是线段 上的一动点，作 轴，交抛物线于点 ，求线段 长度的最大值．

27. 已知抛物线 ：．

(1)  补全表中 ， 两点的坐标，并在所给的平面直角坐标系中画出抛物线 ；

(2)  将抛物线 上每一点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标变为原来的 ，可证明得到的曲线仍是抛物线（记为 ），且抛物线 的顶点是抛物线 的顶点的对应点，求抛物线 对应的函数表达式．

28. 已知抛物线 ．

(1)  用配方法将 化成 的形式；

(2)  将此抛物线向右平移 个单位，再向上平移 个单位，求平移后所得抛物线所对应的函数表达式．

答案

一、选择题（共10题）

1.  【答案】D

【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定

2.  【答案】B

【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定

3.  【答案】A

【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定

4.  【答案】B

【解析】①由表格数据可知，二次函数的对称轴为直线 ，所以当 时，二次函数有最小值，最小值为 ，故①错误；

② 由表格知，当 时，，所以当 时，，故②正确；

③二次函数的图象与 轴有两个交点，分别为 ，，它们分别在 轴两侧，故③正确．

【知识点】二次函数的图象与性质、二次函数的三种形式及解析式的确定

5.  【答案】D

【解析】．

【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定

6.  【答案】C

【解析】

所以顶点坐标是 ．

【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定

7.  【答案】D

【解析】函数 ，，

 ．

解方程 ，得 ，．

【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定

8.  【答案】B

【解析】提示：．

【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定

9.  【答案】D

【解析】一元二次方程 的判别式为 ．

  二次函数 的图象与 轴有两个交点，

设方程的两个根为 和 ，

则 ，，

  二次函数 的图象与 轴的两个交点均位于 轴右侧．

【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定

10.  【答案】B

【解析】提示：旋转后的抛物线如图所示．

故可得抛物线的解析式为 ．

【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定、二次函数的图象与性质

二、填空题（共8题）

11.  【答案】

【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定

12.  【答案】（答案不唯一）

【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定

13.  【答案】

【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定

14.  【答案】

【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定

15.  【答案】

【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定

16.  【答案】

【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定

17.  【答案】

【解析】经过原点 ，．

开口向下，，．

【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定、二次函数的图象与性质

18.  【答案】

【解析】，

 ，．

 ．

【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定

三、解答题（共10题）

19.  【答案】设二次函数的解析式为 ．

  函数图象经过原点 ，

 ，

 ．

  该函数解析式 （或 ）．

【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定

20.  【答案】

(1)  由题意，把 代入解析式得 ，

解得 ，

则函数解析式是 ．

对称轴是 轴．

(2)  把 代入 ，

解得 ，

因而点 不在此函数的图象上．

【知识点】二次函数的图象与性质、二次函数的三种形式及解析式的确定

21.  【答案】

(1)  该函数图象的对称轴是直线 ，顶点坐标为 ，开口向下．

(2)  当 时， 随 的增大而增大．

(3)   ．

【知识点】二次函数的增减性、二次函数图象与系数的关系、二次函数的三种形式及解析式的确定、二次函数的对称轴、二次函数的三种形式之间转化、二次函数的顶点

22.  【答案】

(1)  由 的图象向左平移 个单位得到．

(2)  由 的图象先向右平移 个单位，再向上平移 个单位得到．

(3)  由 的图象先向左平移 个单位，再向下平移 个单位得到．

(4)  由 的图象先向左平移 个单位，再向上平移 个单位得到．

【知识点】二次函数的图象变换、二次函数的三种形式及解析式的确定

23.  【答案】

(1)  ，

 ，

  无论 取任何实数时，方程恒有实数根．

(2)  设 ， 为抛物线 与 轴交点的横坐标．

令 ，则 ．

由求根公式得，，，

  抛物线 不论 为任何不为 的实数时恒过定点 ．

  或 ，

  或 ．

当 时，，

  抛物线解析式为 ．

当 时，．

答：抛物线解析式为 或 ．

【知识点】一元二次方程根的判别式、二次函数的三种形式及解析式的确定

24.  【答案】

(1)  ．

 ，，

 ，

 ，

 ．

(2)  ，

 ，

 ，

(3)  能构成矩形．

当 时，

 ，，

  四边形 为平行四边形．

 ，

  平行四边形 为矩形．

 ，

  或 ．

  或

【知识点】相似三角形的性质、两角分别相等、性质与判定综合（D）、二次函数的三种形式及解析式的确定、矩形

25.  【答案】

(1)  ，．

(2)  由题意得变换后的抛物线 的相关点的坐标如下表所示：

设抛物线 对应的函数表达式为 ．（）

  抛物线 与 轴交点的坐标为 ，

 ．

解得 ．

 ．

  抛物线 对应的函数表达式为 ．

【知识点】二次函数的图象与性质、二次函数的三种形式及解析式的确定

26.  【答案】

(1)  把 ， 代入 ，

得

 解得

故该抛物线的解析式为：．

(2)  由（1）知，该抛物线的解析式为 ，则易得 ．

 ，

 ．．

整理，得 或 ，

解得 或 ．

则符合条件的点 的坐标为： 或 或 ．

(3)  设直线 的解析式为 ，将 ， 代入，

得

 解得

 即直线 的解析式为 ．

设 点坐标为 ，则 点坐标为 ，

 ，

  当 时， 有最大值 ．

【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定、点的坐标与坐标系、三角形的面积、二次函数的图象与性质

27.  【答案】

(1)  ，．

图象如图．

(2)  由题意得变换后的抛物线 的相关点的坐标如下表所示：

设抛物线 对应的函数表达式为 ．．

  抛物线 与 轴交点的坐标为 ，

 ．

解得 ．

 ．

  抛物线 对应的函数表达式为 ．

【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定、二次函数的图象与性质

28.  【答案】

(1) 

(2)  抛物线 的顶点坐标为 ，

  平移后的抛物线的顶点坐标为

  平移后所得抛物线的表达式为 ．

【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定、二次函数的图象变换