初中数学2.7 弧长及扇形的面积课后作业题
展开2.7弧长与扇形的面积冲刺练习
一、选择题
- 如图，半圆 的直径 ，点 ，， 均在半圆上，若 ， , 连接 ， , 则图中阴影部分的面积为
A． B． C． D．
- 如图， 是 的直径，弦 ，垂足为点 ，连接 ，．如果 ，，那么图中阴影部分的面积是
A． B． C． D．
- 如图，在矩形 中，，，以点 为圆心， 长为半径画弧交边 于点 ，连接 ，则 的长为
A． B． C． D．
- 如图， 为半圆内一点， 为圆心，直径 长为 ，，，将 绕圆心 逆时针旋转至 ，点 在 上，则边 扫过区域（图中阴影部分）的面积为
A． B． C． D．
- 如图，由六段相等的圆弧组成的三叶花，每段圆弧都是四分之一圆周，，则这朵三叶花的面积为
A． B． C． D．
- 如图，半圆 的直径 ，， 是半圆 上的点，弦 的长为 ，则 与 的长度之和为
A． B． C． D．
- 如图，直角 中，，，，以 为圆心， 长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分的面积是
A． B． C． D．
- 如图，在矩形 中，已知 ，，矩形的对角线长为 ，矩形在直线 上绕其右下角的顶点 向右旋转 至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转 至图②位置，以此类推，这样连续旋转 次后，顶点 在整个旋转过程中所经过的路程之和是
A． B． C． D．
- 如图，半径为 的 中， 为直径，弦 且过半径 的中点，点 为 上一动点， 于点 ．当点 从点 出发顺时针运动到点 时，点 所经过的路径长为
A． B． C． D．
- 如图，正方形 的边长为 ， 为对角线的交点，点 ， 分别为 ， 的中点．以 为圆心， 为半径作圆弧 ，再分别以 ， 为圆心， 为半径作圆弧 ，，则图中阴影部分的面积为
A． B． C． D．
二、填空题
- 如图，点 是半圆圆心， 是半圆的直径，点 ， 在半圆上，且 ，，，过点 作 于点 ，则阴影部分的面积是 ．
- 如图所示，在扇形 中，，，以点 为圆心在其同侧画扇形 ，，，且 ，则阴影部分的面积是 ．
- 如图，已知等边 的边长为 ，在 ， 边上各取一点 ，，使 ，连接 ， 相交于点 ，当点 从点 运动到点 时，点 经过点的路径长为 ．
- 如图，边长为 的正方形 的顶点 ， 在一个半径为 的圆上，顶点 ， 在圆内，将正方形 沿圆的内壁作无滑动的滚动．当滚动一周回到原位置时，点 运动的路径长为 ．
- 圆心角为 ，半径为 的扇形的面积为 ；半径为 ，弧长为 的扇形的面积为 ；弧长为 ，面积为 的扇形的半径为 ，圆心角为 ；圆心角为 ，弧长为 的扇形的半径为 ，面积为 ．
- 如图，在 中，，，将 绕点 顺时针旋转 ，此时点 恰好在 上，其中点 经过的路径为弧 ，则图中阴影部分的面积是 ．
- 如图，在扇形 中，， 平分 交 于点 ，点 为半径 上一动点．若 ，则阴影部分周长的最小值为 ．
- 如图，在矩形 中，，，现有一根长为 的棒 紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒 的中点 在运动过程中所经过的路径长度为 ．
三、解答题
- 求图中阴影部分的面积（单位：厘米）：
(1)
(2)
- 如图，在 中，，，，以点 为圆心， 长为半径的圆交 于点 ，求 的长．
- 图中每个正方形的边长均为 厘米，求图中阴影部分的面积．
- 在如图所示的方格纸（每个小方格都是边长为 个单位的正方形）中建立平面直角坐标系， 的三个顶点都在格点上，点 的坐标为 ，请解答下列问题：
(1) 画出 关于 轴对称的 ，并写出点 的坐标；
(2) 画出 绕原点 逆时针旋转 后得到的 ；
(3) 求出（）中 点旋转到 点所经过的路径长（结果保留根号和 ）
- 已知 在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1) 将 绕点 按逆时针方向旋转 得 ，请画出 ，并写出点 的坐标．
(2) 在（）的条件下，求：线段 扫过的面积（结果保留 ）．
- 一座时钟从八点到十点（即 ），时针尖端移动的距离是 厘米，问时针扫过的面积是多少平方厘米？
- 如图，在扇形 中，，， 是 的中点， 于点 ，交 于点 ，以 为半径的 交 于点 ．求图中涂色部分的面积．
- 如图，已知 是 的弦，半径 ， 和 的长度是关于 的一元二次方程 的两个实数根．
(1) 求弦 的长度；
(2) 计算 ；
(3) 上一动点 从 点出发，沿逆时针方向运动一周，当 时，求 点所经过的弧长（不考虑点 与点 重合的情形）．
- 如图 ，四边形 是正方形，点 是边 上一点，点 在射线 上，，，过点 作射线 的垂线，垂足为 ，连接 ．
(1) 试判断 与 的数量关系，并说明理由．
(2) 求证：．
(3) 连接 ，过 ，， 三点作圆，如图 ，若 ，，求 的长．
- 在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．
(1) 是边长为 的等边三角形， 是边 上的一点，且 ，如图 ．求 的长；
(2) 是边长为 的等边三角形， 是边 上的一个动点，小亮以 为边作等边三角形 ，求点 所经过的路径长；
(3) 是边长为 的等边三角形， 是高 上的一个动点，小亮以 为边作等边三角形 ，求点 所经过的路径长；
(4) 正方形 的边长为 ， 是边 上的一个动点，在点 从点 到点 的运动过程中，其中点 ， 都在直线 上，如图 ．当点 到达点 时，点 所经过的路径长为 ，点 所经过的路径长为 ．
答案
一、选择题（共10题）
1. 【答案】B
【解析】 ，．
，，
，
，
．
故选B．
【知识点】扇形面积的计算
2. 【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
3. 【答案】C
【解析】 四边形 是矩形，
，，
，
，
，
，
，
的长 ．
【知识点】弧长的计算
4. 【答案】A
【解析】 ， 是 绕圆心 逆时针旋转得到的，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
【知识点】扇形面积的计算
5. 【答案】B
【解析】如图所示：弧 是 上满足条件的一段弧，连接 ，，
由题意知：，，
，
．
，
，
，
．
【知识点】扇形面积的计算
6. 【答案】B
【解析】如图，连接 ，，则 ，
，
为等边三角形，
，
，
则 与 的长度之和为 ．
【知识点】等边三角形的判定、弧长的计算
7. 【答案】A
【解析】如图，连接 ．
中，，，，
，，．
，
是等边三角形，
，
，
．
【知识点】扇形面积的计算、勾股定理
8. 【答案】D
【知识点】弧长的计算
9. 【答案】C
【解析】连接 ，，如图所示：
，
为 的中点，即 ，
的半径为 ，弦 且过半径 的中点，
，
在 中，根据勾股定理得：，
，
又 ，
在 中，根据勾股定理得：，
，
始终是直角三角形，点 的运动轨迹为以 为直径的半圆，当 位于点 时，，此时 与 重合；当 位于 时，，此时 与 重合，
当点 从点 出发顺时针运动到点 时，点 所经过的路径长 ，
在 中，，
，
所对圆心角的度数为 ，
直径 ，
的长为 ，
则当点 从点 出发顺时针运动到点 时，点 所经过的路径长为 ．
【知识点】弧长的计算
10. 【答案】B
【解析】由题意可得，
阴影部分的面积是：．
【知识点】扇形面积的计算
二、填空题（共8题）
11. 【答案】
【知识点】扇形面积的计算
12. 【答案】
【解析】如图，作 于 ．
，
，
，，
．
在 中，
，，，
，
，
，
．
【知识点】扇形面积的计算
13. 【答案】
【知识点】弧长的计算
14. 【答案】
【解析】如图，分别连接 ，，，，；
，
是等边三角形，
；
同理可证：，
；
，
，
由旋转变换的性质可知 ；
四边形 为正方形，且边长为 ，
，，
当点 第一次落在圆上时，点 运动的路线长为：．
以 或 为圆心滚动时，每次 点运动 ，
以 做圆心滚动两次，以 和 做圆心滚动三次，
．
【知识点】弧长的计算
15. 【答案】 ； ； ； ； ；
【知识点】扇形面积的计算
16. 【答案】
【解析】过点 作 于点 ，
由题意可得：，，
故 是等边三角形，
，
，
，
，则 ，
图中阴影部分的面积是：
【知识点】扇形面积的计算
17. 【答案】
【知识点】弧长的计算、找动点，使距离之和最小
18. 【答案】
【解析】连接 ，如图所示：
是 的中点，
，
如图所示，点 的运动轨迹是 段弧长 段线段的长度，即 ．
【知识点】弧长的计算
三、解答题（共10题）
19. 【答案】
(1) 平方厘米
(2) 平方厘米
【知识点】扇形面积的计算
20. 【答案】连接 ，
，，
，
，
的长 ．
【知识点】弧长的计算
21. 【答案】 平方厘米．
【知识点】扇形面积的计算
22. 【答案】
(1) 如图， 为所作，点 的坐标；
(2) 如图， 为所作；
(3) ，
所以 点旋转到 点所经过的路径长 ．
【知识点】坐标平面内图形的旋转变换、坐标平面内图形轴对称变换、弧长的计算
23. 【答案】
(1) 如图所示，，即所求图形，
点是由点 逆时针旋转 所得，则 坐标为 ．
(2) 连接 ，，，．
是由 旋转 所得，
易证 ，
根据勾股定理得，，，
则
故线段 扫过的面积为 ．
【知识点】坐标平面内图形的旋转变换、扇形面积的计算
24. 【答案】设时针长度为 厘米，
，（厘米），
（平方厘米）．
答：时针扫过的面积是 平方厘米．
【知识点】扇形面积的实际应用、弧长的计算
25. 【答案】如图，连接 ，，
，
，
为 的中点，，
，，
，
为等边三角形，
，
在 中，由勾股定理，得 ，
【知识点】扇形面积的计算
26. 【答案】
(1) 由已知根据根与系数的关系：
，
．
(2) 过点 作 于 .
，
，
，
在 中，
，
．
(3) 如图，延长 交 于点 ，连接 ，
点 是直径 的中点，
，，
，
作点 关于直径 的对称点 ，连接 ，．
易得 ，，
的长度为 ，
作点 关于半径 的对称点 ，连接 ，，
易得 ，，
的长度为 ．
【知识点】一元二次方程根与系数的关系、弧长的计算、等边三角形的性质
27. 【答案】
(1) ，，
，，
，
在 和 中，
，
．
(2) 由（）得 ，，
，
，
，
，
四边形 是正方形，
，
．
(3) 由（）知 ，
．
．
如图 ，过点 作 于 ，
则 ．
，，
．
，即 ，
．
为等腰直角三角形，
．
取 中点 ，连接 ，
则 ，，
的弧长为：．
【知识点】两角分别相等、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、弧长的计算
28. 【答案】
(1) 如图，
和 是等边三角形，
，，
，
，
，
．
(2) 如图 ，连接 ，
由（），
，，
，
，
，
又点 在点 处时，，
点 在 处时，点 与点 重合．
点 运动的路径长 ．
(3) 如图 ，取 的中点 ，
，
，
，
，
，
和 是等边三角形，
，，
，
，
，
，，
，
又点 在 处时，，
点 在 处时，点 与点 重合．
点 所经过的路径的长 ．
(4) ；
【解析】
(4) 如图，连接 ，相交于点 ，取 的中点 ，，
，
点 的运动轨迹为以点 为圆心， 长为半径的圆上；
，
，
即 ，
，
，
点 在以点 为圆心， 长为半径的圆上；
当点 在 处时，点 ，，点 和点 重合；
当点 在点 处时，点 和点 重合；
点 在以点 为圆心， 长为半径的圆上；
点 所经过的路径长 ；
点 所经过的路径长 ．
【知识点】弧长的计算、内错角、边角边
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