山东省济南市市中区2021-2022学年八年级上学期期中数学试卷（Word版含答案）

2021-2022学年山东省济南市市中区八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.有一项是符合题目要求的.）

1．（4分）下列实数，，，，，，（每相邻两个4之间一个中，无理数有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．（4分）下列条件中不能判断是直角三角形的是　　

A． B． 

C． D．

3．（4分）下列各点属于第一象限的是　　

A． B． C． D．

4．（4分）下列语句中正确的是　　

A．16的平方根是4 B．的平方根是4 

C．16的算术平方根是 D．4是16的平方根

5．（4分）一次函数的图象沿轴向下平移4个单位，那么所得图象的函数解析式是　　

A． B． C． D．

6．（4分）如图，数轴上的点，，，，分别对应的数是1，2，3，4，5，那么表示的点应在　　

A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上

7．（4分）如图，长方体的长为，宽为，高为，点到点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是　　．

A．4 B．5 C． D．

8．（4分）如图，根据尺规作图的痕迹判断数轴上点所表示的数是　　

A． B． C．3.6 D．3.7

9．（4分）两个一次函数，，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的　　

A． B． 

C． D．

10．（4分）平面直角坐标系中，点，，经过点的直线轴，点是直线上的一个动点，当线段的长度最短时，点的坐标为　　

A． B． C． D．

11．（4分）若关于、的方程组的解为，则方程组的解是　　

A． B． C． D．

12．（4分）如图，直线与直线相交于点．直线与轴交于点．一动点从点出发，先沿平行于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，仍沿平行于轴的方向运动，照此规律运动，动点依次经过点，，，，，，，，，则当动点到达处时，运动的总路径的长为　　

A． B． C． D．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13．（4分）计算的结果等于 　　．

14．（4分）已知在平面直角坐标系中，点在第二象限，且到轴的距离为2，到轴的距离为3，则点的坐标为 　　．

15．（4分）如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为，高为，今有一支的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为 　　．

16．（4分）若，都是实数，且，则的平方根为 　　．

17．（4分）某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格，图中、分别表示去年、今年水费（元与用水量之间的关系，小雨家去年用水量为，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多 　　元．

18．（4分）如图，正方形中，，点在边上，且，将沿对折至，延长交边于点，连接，，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的序号是 　　．

三、解答题：（本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，）

19．（8分）计算：

（1）；

（2）．

20．（8分）计算：

（1）解方程：；

（2）解方程组：．

21．（6分）由于大风，山坡上的一棵树甲被从点处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另一棵树乙的根部处，已知米，米，两棵树的水平距离为12米，求这棵树原来的高度．

22．（6分）若，，求的值．

23．（8分）某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过12吨（含12吨）时，按每吨1元收费；每月超过12吨时，超过部分每吨按市场调节价收费，小黄家1月份用水24吨，交水费42元．

（1）求每吨水的市场调节价是多少元；

（2）设每月用水量为吨，应交水费为元，写出与之间的关系式；

（3）小张家3月份用水28吨，他家应交水费多少元？

24．（8分）在如图所示的网格（每个小正方形的边长为中，的顶点的坐标为，顶点的坐标为．

（1）在网格图中画出两条坐标轴，并标出坐标原点；

（2）作△关于轴对称的图形△；

（3）求的面积．

25．（10分）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点，，，，其两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或．

（1）已知，，试求、两点间的距离；

（2）已知一个三角形各顶点坐标为、、，请判定此三角形的形状，并说明理由．

（3）已知，在轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在请直接写出点的坐标；若不存在请说明理由．

26．（12分）定义：如图1，点、把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点．

（1）已知点、是线段的勾股分割点，，，若，，则　　；

（2）如图，在等腰直角中，，，，、为直线上两点，满足．

①如图2，点、在线段上，求证：点、是线段的勾股分割点；

小林同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对小林说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把绕点逆时针旋转试一试．请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程；

②如图3，若点在线段上，点在线段的延长线上，，，求的长．

27．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与直线交于点，与轴分别交于点和点．点为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交轴于点．

（1）填空：　　；　　；　　；

（2）求的面积；

（3）当点落在轴上时，求点的坐标；

（4）若为直角三角形，求点的坐标．

参考答案与解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.有一项是符合题目要求的.）

1．（4分）下列实数，，，，，，（每相邻两个4之间一个中，无理数有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：是分数，属于有理数；

，，，是整数，属于有理数；

（每相邻两个4之间一个是循环小数，属于有理数；

故在实数，，，，，，（每相邻两个4之间一个中，无理数有，，共2个．

故选：．

2．（4分）下列条件中不能判断是直角三角形的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：、，能判断是直角三角形，不符合题意；

、，又，，能判断是直角三角形，不符合题意；

、，，不能判断是直角三角形，符合题意；

、，，能判断是直角三角形，不符合题意；

故选：．

3．（4分）下列各点属于第一象限的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：．在第四象限，故此选项不符合题意；

．在第一象限，故此选项符合题意；

．在第三象限，故此选项不符合题意；

．在第二象限，故此选项不符合题意；

故选：．

4．（4分）下列语句中正确的是　　

A．16的平方根是4 B．的平方根是4 

C．16的算术平方根是 D．4是16的平方根

【解答】解：．根据平方根的定义，16的平方根是，那么不正确．

．根据平方根的定义，没有平方根，那么不正确．

．根据算术平方根的定义，16的算术平方根是4，那么不正确．

．根据平方根的定义，16的平方根是，故4是16的平方根，那么正确．

故选：．

5．（4分）一次函数的图象沿轴向下平移4个单位，那么所得图象的函数解析式是　　

A． B． C． D．

【解答】解：原直线的，；向下平移4个单位长度得到了新直线，

那么新直线的，．

新直线的解析式为．

故选：．

6．（4分）如图，数轴上的点，，，，分别对应的数是1，2，3，4，5，那么表示的点应在　　

A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上

【解答】解：，，

，

，

数轴上的点，分别对应的数是2，3，

表示的点应在线段上，

故选：．

7．（4分）如图，长方体的长为，宽为，高为，点到点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是　　．

A．4 B．5 C． D．

【解答】解：将长方体展开，连接，

根据两点之间线段最短，，，

由勾股定理得：，

则需要爬行的最短距离是；

故选：．

8．（4分）如图，根据尺规作图的痕迹判断数轴上点所表示的数是　　

A． B． C．3.6 D．3.7

【解答】解：在中，．

点所表示得数为：．

故选：．

9．（4分）两个一次函数，，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：、如果过第一、二、四象限的图象是，由的图象可知，，；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故错误；

、如果过第一、二、四象限的图象是，由的图象可知，，；由的图象可知，，，两结论不矛盾，故正确；

、如果过第一、二、四象限的图象是，由的图象可知，，；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故错误；

、如果过第二、三、四象限的图象是，由的图象可知，，；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故错误．

故选：．

10．（4分）平面直角坐标系中，点，，经过点的直线轴，点是直线上的一个动点，当线段的长度最短时，点的坐标为　　

A． B． C． D．

【解答】解：如右图所示，

轴，点是直线上的一个动点，点，

设点，

当时，的长度最短，点，

，

点的坐标为．

故选：．

11．（4分）若关于、的方程组的解为，则方程组的解是　　

A． B． C． D．

【解答】解：的解为，

中等式的两边同时除以3得，再将和看成整体，即解为，

原方程组的解为．

故选：．

12．（4分）如图，直线与直线相交于点．直线与轴交于点．一动点从点出发，先沿平行于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，仍沿平行于轴的方向运动，照此规律运动，动点依次经过点，，，，，，，，，则当动点到达处时，运动的总路径的长为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由直线可知，，

根据平行于轴的直线上两点纵坐标相等，平行于轴的直线上两点横坐标相等，及直线、的解析式可知，，，

，，

，，，，，

，，

由此可得，

所以，当动点到达处时，运动的总路径的长，

设①，

则②，

②①，得：，

运动的总路径的长．

故选：．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13．（4分）计算的结果等于 　2　．

【解答】解：．

．

故答案为：2．

14．（4分）已知在平面直角坐标系中，点在第二象限，且到轴的距离为2，到轴的距离为3，则点的坐标为 　　．

【解答】解：点在第二象限，且到轴的距离为2，到轴的距离为3，

点的横坐标是，

纵坐标是2，

点的坐标为．

故答案为：．

15．（4分）如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为，高为，今有一支的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为 　　．

【解答】解：，，

，

露出杯口外的长度为．

故答案为：．

16．（4分）若，都是实数，且，则的平方根为 　　．

【解答】解：由题意得：，

解得：，

则，

，

25的平方根为，

故答案为：．

17．（4分）某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格，图中、分别表示去年、今年水费（元与用水量之间的关系，小雨家去年用水量为，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多 　180　元．

【解答】解：设当时，对应的函数解析式为，

，

解得，

即当时，对应的函数解析式为，

当时，，

由图象可知，去年的水价是（元，故小雨家去年用水量为，需要缴费：（元，

（元，

即小雨家去年用水量为，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多180元，

故答案为：180．

18．（4分）如图，正方形中，，点在边上，且，将沿对折至，延长交边于点，连接，，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的序号是 　①②③　．

【解答】解：①正确．

理由：，，，

；

②正确．

理由：，设，则．

在直角中，根据勾股定理，得，

解得．

；

③正确．

理由：，，

，

是等腰三角形，．

又；

，，

，

；

④错误．

理由：，

④错误；

⑤错误．

，，

又，

，

，

故答案为：①②③．

三、解答题：（本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，）

19．（8分）计算：

（1）；

（2）．

【解答】解：（1）

；

（2）

．

20．（8分）计算：

（1）解方程：；

（2）解方程组：．

【解答】解：（1），、

方程两边同时除以2，得，

开平方运算，得，

解得或；

（2），

②，得③，

①③，得，

解得，

将代入②得，，

原方程组的解．

21．（6分）由于大风，山坡上的一棵树甲被从点处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另一棵树乙的根部处，已知米，米，两棵树的水平距离为12米，求这棵树原来的高度．

【解答】解：如图所示：延长，过点作延长线于点，

由题意可得：，，

故，

即，

则，

故．

答：这棵树原来的高度是19米．

22．（6分）若，，求的值．

【解答】解：，，

，，

原式．

23．（8分）某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过12吨（含12吨）时，按每吨1元收费；每月超过12吨时，超过部分每吨按市场调节价收费，小黄家1月份用水24吨，交水费42元．

（1）求每吨水的市场调节价是多少元；

（2）设每月用水量为吨，应交水费为元，写出与之间的关系式；

（3）小张家3月份用水28吨，他家应交水费多少元？

【解答】解：（1）设每吨水的市场调节价为元，根据题意得：

，

解得：，

答：每吨水的市场调节价为2.5元；

（2）当时，

，

与之间的关系式是；

（3），

把代入得：

，

答：他家应交水费52元．

24．（8分）在如图所示的网格（每个小正方形的边长为中，的顶点的坐标为，顶点的坐标为．

（1）在网格图中画出两条坐标轴，并标出坐标原点；

（2）作△关于轴对称的图形△；

（3）求的面积．

【解答】解：（1）如图，平面直角坐标系如图所示：

（2）如图，△即为所求；

（3）．

25．（10分）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点，，，，其两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或．

（1）已知，，试求、两点间的距离；

（2）已知一个三角形各顶点坐标为、、，请判定此三角形的形状，并说明理由．

（3）已知，在轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在请直接写出点的坐标；若不存在请说明理由．

【解答】解：（1），，

；

（2）直角三角形，理由如下：

、、，

，

，

，

，

是直角三角形；

（3）存在，

，

，

当时，或，，

当时，过点作轴于，

设，则，

，

，

，

，

综上，或，或或，．

26．（12分）定义：如图1，点、把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点．

（1）已知点、是线段的勾股分割点，，，若，，则　　；

（2）如图，在等腰直角中，，，，、为直线上两点，满足．

①如图2，点、在线段上，求证：点、是线段的勾股分割点；

小林同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对小林说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把绕点逆时针旋转试一试．请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程；

②如图3，若点在线段上，点在线段的延长线上，，，求的长．

【解答】解：（1）以、、为边的三角形是一个直角三角形，，，

，

，

，

故答案为：；

（2）①，，

，

将绕点逆时针旋转得到，连接，，

，，，

，

，，

，

，，

，

，

，

，

点，是线段的勾股分割点；

②将绕点逆时针旋转得到，连接，

，，，，

，

，

，

，

，

，

，，

，

，

，

，

，

．

27．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与直线交于点，与轴分别交于点和点．点为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交轴于点．

（1）填空：　　；　　；　　；

（2）求的面积；

（3）当点落在轴上时，求点的坐标；

（4）若为直角三角形，求点的坐标．

【解答】解：（1）把代入，

，

，

直线解析式：，

把点代入，

，

，

把代入得，

，

，

故答案为：；4；8；

（2）直线，

点，

点，点和点，

，的边上的高为4，

；

（3）如图，过点作轴于点，

，，

，

，

点的坐标为；

（4）为直角三角形，分两种情况讨论：

当时，

如图，由对折可得，，

，

过点作于，

，

，

，

；

当时，

由对折得，，，

，

由、两点坐标可得：，

设，则，

，

，

，

，

，，

综上，或，．