初中数学2.1 一元二次方程教学设计
展开一元二次方程
一、教材分析
本章的主要内容包括：一元二次方程及其有关概念，一元二次方程的解法（因式分解法、开平方法、配方法、公式法），运用一元二次方程分析和解决实际问题以及一元二次方程根与系数的关系（选学）。其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容。
方程是科学研究中重要的数学思想方法，也是后续内容学习的基础和工具，本章对一元一次方程知识进行了延续和深化，同时为后续课程中二次函数的学习作好了准备。数学建模（列方程）思想的教学在本章得到进一步渗透和巩固。
二、学情分析
从学生的知识结构看，八年级下册的学生，在讲本章课之前，已经系统的学习了一元一次方程及相关概念，学习了整式、分式和二次根式，具备了继续探究一元二次方程的基础。
从学生的学习能力看，这个阶段的学生自主探究和合作交流的能力很强，并且他们比较、分析、抽象和概括的能力也有一定的提高，但逻辑推理能力和语言表达能力还比较薄弱，需在教学过程中，循循善诱，步步引导，让学生能自己总结概括。
三、目标分析
（一）教学目标
1、知识技能：①理解一元二次方程的概念。②掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数、一次项系数及常数项。③明确一元二次方程的一般形式并掌握解二次方程的基本策略。④培养运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力。
2、教学思考：①通过一元二次方程的引入，培养学生建模思想，归纳、分析问题及解决问题的能力。②通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性。③由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数、列方程向学生渗透方程的思想，从而进一步提高学生分析问题、解决问题的能力。
3、问题解决：在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。
4、情感态度：①培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识与能力。②激发学生学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学意识。
（二）教学重点：1、一元二次方程的概念及一般形式。2、一元二次方程的解法（因式分解法、开平方法、配方法、公式法）。3、一元二次方程的根与系数的关系以及一元二次方程分析和解决实际问题。
（三）教学难点：1、一元二次方程的概念及一般形式。2、一元二次方程的解法（因式分解法、开平方法、配方法、公式法）3、一元二次方程的根与系数的关系以及灵活应用，并掌握由实际问题向数学问题的转化过程。
四、教学方法和手段
为了体现以学生发展为本，遵循学生的认知规律，并根据课堂学习的内容特
点，本节课主要采用以下教学方法：
1、引导启发：巧妙地创设问题情境，以问题的形式启发学生发现、解决问题，在学生思维受阻时给予适当引导。
2、类比法教学：学生已经学习了一元一次方程及相关概念，通过类比两种整式方程之间的联系与区别，建立数学模型，并归纳出一元二次方程的概念。
3、兴趣教学：为了让学生“乐”学，教师通过学生所熟悉的现实情境巧妙设计学习资源，提高学习的效率。
在合理选择教法的同时，注重对学生学法的指导。本节课主要指导学生以下
两种学法：
1、自主探究：“书上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”本节课的一元二次方程概念可由学生自主推理得出，让学生亲历知识的发生、发展、形成的全过程，从而变被动接受为主动探究。
2、合作学习：教学中鼓励学生积极合作，充分交流，帮助学生在学习活动中获得最大的成功，促使学生学习方式的改变。
五、历史材料的选择与应用
1、简单介绍《九章算术》，《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问(题目)、答(答案)、术(解题的步骤，但没有证明)，有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。成书于东汉时期，是几代数学家共同探索数学的成果，在中国乃至世界数学史上有重要地位。全书共九章，第八章为“方程”。
2、在《九章算术》“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门十回步，折而西行一千七百七十五步见木。问邑方几何？”（具体解法详见下面）
（1）大意是：如图，DEFG是一座正方形小城，北门H位于DG的中点，南门K位于EF的中点，出北门20步到A处有一树木，出南门14步到C，再向西行1775步到B处，正好看到A处的树木（即点D在直线AB上），求小城的边长。
（2）请同学列方程求解。（）
（3）了解《九章算术》，利用图形求解的方法。
（4）《九章算术》其图解法的方法蕴含有配方法的初步思想。
【解析】
设小城的边长为x步，根据题意，
Rt△AHD∽Rt△ACB，
∴，
即，
去分母并整理，
得，
解得x1=250，x2=-284（不合题意，舍去），
∴小城的边长为250步．
六、教学过程
创设情景，引入新知 | |
问题1 | ，该方程属于我们学过的某一类方程吗？ |
师生活动 | 学生整理已经学过的方程类型，复习方程的概念以及元与次的概念，观察新方程，分析此方程的元与次，尝试为新方程命名。 |
设计意图 | 使学生认识到一元二次方程是刻画某些实际问题的模型，体会学习的必要性，在学生已有的知识体系中构建地构建一元二次方程这一新知识。 |
问题2 | ，诸如此类的方程在其他实际问题中是否还存在呢？你能再想出一个例子吗？ |
师生活动 | 学生思考二次项产生的原因，从熟悉的实际背景中，很有可能从矩形的面积出发，设计情境。 |
设计意图 | 让学生从“接受式”的学习方式中走出来，走向对一元二次方程产生的根源的探究，在编制情境的过程中，学生将加深对一元二次方程概念的理解。 |
拓展情境，概括概念 | |
问题1 | 如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm。在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周凸起的部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积是3600㎝2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ |
问题2 | 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，你说组织者应邀请多少个队参赛？ 教师引导学生思考并回答以下几个问题： 全场比赛共有 场。 若设应邀请x个队参赛，则每个队要与其他 个队各赛一场，全场比赛共有 场。 由此，我们可以列出方程 ，化简得 。 |
问题3 | 这些方程是几元几次方程？ |
师生活动 | 学生将实际问题中的语言转化成数学的符号语言，体会运算关系，寻找等量关系，学习数学建模，将列得的方程化简整理，判断出方程的次数。 |
设计意图 | 在建模的过程中不仅加强学生的数学思维能力，而且对二次型产生的根源将更加清晰，加深对一元二次方程的理解。让学生回答方程的元与次，一是让他们体会统一成一般形式的必要性，为概念的形成做铺垫，分解教学的难点；二是让他们明确教学的主线，从被动学习走向主动学习。 |
问题4 | 这些方程是什么方程？ |
师生活动 | 观察本课得出的一些方程，思考它们的共性，同学们尝试给出一元二次方程的定义，并且概括出一元二次方程的一般形式。 （1）一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的方程叫做一元二次方程。 （2）一元二次方程的一般形式是。其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 |
设计意图 | 让学生自己给出定义，对过去所学一元一次方程的定义进行比对，概括一般形式，让学生从另一角度理解一元二次方程，提升学生对数学符号语言的应用能力 |
辨析应用，加深理解 | |
问题5 | 请说出一个一元二次方程，和一个不是一元二次方程的方程。 |
师生活动 | 可以由学生举手回答，也可以随机选择学生回答，调动学生广泛地参与。追问学生所举的反例为什么不是一元二次方程？是什么方程？ |
设计意图 | 学生自己举例，应用概念，从正反两个方向强化了对概念的理解，在追问的过程中，帮助学生将已有的方程梳理成比较清晰的知识体系。开发学生认识的资源，激发学生从不同角度、不同形式去深入理解同一概念，让不同的学生在此过程中获得不同的收获，实现分层教学分层指导的效果． |
问题6 | 下列方程哪些是一元二次方程? （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 答案（2）、（5）、（6） |
师生活动 | 用概念指导辨析，方程（3）与（4）同学们可能会产生争议，（3）帮助学生明确一元二次方程是整式方程，（4）体会化为一般形式的必要性，对a≠0条件加深认识． |
设计意图 | 补足学生所举正反例的缺漏，追问：有二次项的一元方程就是一元二次方程吗？帮助学生进一步巩固概念，深化对一元、二次的认识。 |
问题7 | 例1、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数： （1）；（2） 例2、关于x的方程，在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？ |
师生活动 | 例1 （1）将方程去括号得：，移项，合并同类项得：，其中二次项是，二次项系数是3；一次项是，一次项系数是8，常数项是-10。教师应及时分析可能出现的问题（比如系数的符号问题）。 （2）类似。 例2 时此方程为一元二次方程；时此方程为一元一次方程。 |
设计意图 | 在形式比较复杂的方程面前，通过辨析方程的元、次、项看清方程的本质，深化理解，淡化对一元二次方程概念的记忆。 |
巩固概念，学以致用 | |
师生活动 | 教师通过习题练习、课后作业的反映了解学生的掌握情况，并及时做出反馈。 |
设计意图 | 巩固性练习，同时检验一元二次方程概念的掌握情况． |
七、板书设计
2.1 一元二次方程 1、定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是两次的方程叫做一元二次方程。 2、一般形式是：，其中ax2，bx，c分别称为二次项，一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数。 | 通过实际问题，一一列出得出的一元二次方程； 一元一次方程的基本概念复习，类比所得方程与一元一次方程； 由上推导出一元二次方程的概念及一般形式。
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八、教学流程图
北师大版八年级下册1 不等关系教案： 这是一份北师大版八年级下册1 不等关系教案，共6页。
湘教版九年级上册2.1 一元二次方程获奖教案： 这是一份湘教版九年级上册2.1 一元二次方程获奖教案，共6页。
初中数学北师大版八年级下册第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组1 不等关系优质教案及反思： 这是一份初中数学北师大版八年级下册第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组1 不等关系优质教案及反思，共6页。
