天津市津南区东部学区2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（Word版含答案）

天津市津南区东部学区2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1. 将方程化成一元二次方程的一般式，则一次项系数是

A.  B.  C.  D.

2. 一元二次方程的根的情况是

A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根

3. 用配方法解方程，配方后的方程是

A.  B.  C.  D.

4. 若方程的两个实数根分别为，则等于

A.  B.  C.  D.

5. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

6. 对于抛物线的顶点坐标是

A.  B.  C.  D.

7. 关于二次函数的下列结论，不正确的是

A. 图象的开口向上 B. 当时，随的增大而增大
C. 图象经过点 D. 图象的对称轴是直线

8. 如图，是的外接圆，，则的度数为

A.    B.
C.     D.

9. 下列说法正确的是

A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 三个点确定一个圆
C. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 圆内接四边形的对角互补

10. 某中学九年级以班级为单位组织篮球比赛，每两班之间都要比赛一场，共比赛了场，设参赛班级的个数为，则的值为

A.  B.  C.  D.

11. 某种植基地年蔬菜产量为吨，预计年蔬菜产量达到吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为，则可列方程为

A.  B.
C.  D.

12. 已知二次函数为常数，，其中，自变量与函数值之间满足下面对应关系：

则的值是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

13. 方程的根为______．
14. 若是方程的一个根，则的值为                 ．
15. 如图，是的直径，弦于点，，，则______．
    
     

16. 把抛物线先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，则平移后抛物线的解析式是______．
17. 如图，抛物线的对称轴是直线，若点在该抛物线上，则的值为______ ．
     

18. 已知二次函数其中是自变量，当时，随的增大而增大，且时，的最大值为，则的值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共666分）

19. 解下列方程．
    配方法．公式法．
    
    
     
20. 用因式分解法解方程．
    ．  ．
    
    
     
21. 二次函数的自变量与对应的函数的值部分如表所示：

解答下列问题：
表格中的值等于______；
求这个二次函数的解析式；
在直角坐标系中，画出这个函数的图象．

22. 如图，四边形是的内接四边形，，，．
    求的度数；
    求的度数．
    
     

23. 已知点，点，点在上，的平分线交于点．
    如图，若为的直径，求的大小；
    如图，若，，求的半径．

24. 如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边．如图，地毯中央的矩形图案长、宽，整个地毯的面积是，求花边的宽．
    
    设花边的宽为，用含的代数式表示：矩形地毯的长为______；矩形地毯的宽为______；矩形地毯的面积为______；
    列出方程，并求出问题的解．
    
    
    
    
    
    
     
25. 某商品的进价为每件元，售价为每件元，每周可卖出件．如果每件商品的售价每降价元，每周可多卖件每件售价不能低于元设每件商品的售价下降元，每周的销售利润为元．
    求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
    每件商品的售价定为多少元时，每周可获得最大利润？最大的周利润是多少元？
    每件商品的售价定为多少元时，每周的利润恰好是元？
    
    
    
    
    
    
     
26. 已知抛物线，与轴交于两点，点在点的左侧，与轴交于点．
    Ⅰ求点，和点的坐标；
    Ⅱ已知是线段上的一个动点．
    若轴，交抛物线于点，当取最大值时，求点的坐标；
    求的最小值．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：，
，
所以一次项系数是，
故选：．
先转化成一元二次方程的一般形式，再找出一次项系数即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式，注意：找多项式的各项系数时带着前面的符号．
 

2.【答案】
 

【解析】解：，
所以方程没有实数根．
故选：．
先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

3.【答案】
 

【解析】解：，
，
，即，
故选：．
将常数项移到右边，再两边都加上一次项系数一半的平方，然后写成完全平方式即可．
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：根据根与系数的关系得，．
故选：．
直接利用根与系数的关系求解．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，则，．
 

5.【答案】
 

【解析】解：根据题意得，
解得，
故选：．
根据判别式的意义得到，然后解关于的不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

6.【答案】
 

【解析】解：抛物线的顶点坐标是．
故选：．
已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
本题考查二次函数的性质，记住顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线．
 

7.【答案】
 

【解析】解：，
图象开口向上，对称轴为直线，顶点为，
当时，随的增大而增大，
把代入得，，
图象经过点，
故选项A、、D正确，选项B不正确；
故选：．
根据二次函数的性质和图象上点的坐标特征可以判断各个选项是否正确．
本题考查了二次函数的图象和性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：是的外接圆，，
．
故选：．
由是的外接圆，，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得的度数．
此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
 

9.【答案】
 

【解析】解：、平分弦不是直径的直径垂直于弦，故错误，不符合题意；
B、不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，故错误，不符合题意；
C、在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等，故错误，不符合题意；
D、圆内接四边形的对角互补，正确，符合题意；
故选：．
利用垂径定理，圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系、圆内接四边形的性质及确定圆的条件分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，圆内接四边形的性质，垂径定理及确定圆的条件，难度不大．
 

10.【答案】
 

【解析】解：依题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
故选：．
利用比赛的总场次数参赛班级数参赛班级数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为，
根据年蔬菜产量为吨，则年蔬菜产量为吨，年蔬菜产量为吨，预计年蔬菜产量达到吨，
即：或．
故选：．
利用增长后的量增长前的量增长率，设平均每次增长的百分率为，根据“从吨增加到吨”，即可得出方程．
此题考查了一元二次方程的应用增长率问题解题的关键在于理清题目的含义，找到年和年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．
 

12.【答案】
 

【解析】解：由表格可得，
二次函数的对称轴是直线，
，和对应的函数值相等，
，
当时，，时，，
，
，
故选：．
根据表格中的数据和二次函数的性质，可以得到对称轴，从而可以得到和的关系，和对应的函数值相等，从而可以求得所求式子的值．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

13.【答案】，
 

【解析】解：，
，
或，
，；

故答案为：，．
根据解一元二次方程的方法因式分解法解方程即可．
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
 

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了求代数式的值和一元二次方程的解，能求出是解此题的关键．
把代入方程，求出，再将要求的式子变形后代入，即可求出答案．
【解答】
解：是方程的一个根，
代入得：，
，
，
故答案为：．  

15.【答案】
 

【解析】解：弦于点，，

在中，，，
，
．
故答案为：．
先根据垂径定理可得出的长度，再在中，利用勾股定理可得出的长度，然后利用即可得出的长度．
本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出的长度是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：将抛物线先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，平移后抛物线的解析式为：，
即．
故答案为：．
根据平移的规律：左加右减，上加下减，求出抛物线的解析式即可．
此题主要考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解决问题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：点关于直线的对称点为，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
．
故答案为．
先求出点关于直线的对称点为，而点在该抛物线上，则利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标为，然后根据二次函数图象上点的坐标特征求解．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了抛物线的对称性．
 

18.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟知二次函数的性质并作出正确的判断．
先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上，然后由时，的最大值为，可得时，，即可求出．
【解答】
解：二次函数其中是自变量，
对称轴是直线，
当时，随的增大而增大，
，
时，的最大值为，
时，，
，
，或不合题意舍去．
故答案为：．  

19.【答案】解：，
，
配方，得，
，
开方，得，
解得：，；

，
这里，，，
，
方程有两个不相等的实数根，，
解得：，．
 

【解析】移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
先求出的值，再代入公式求出即可．
本题考查了解一元二次方程，能灵活运用各个方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
 

20.【答案】解：，
，
则，
或，
解得，；
，
，
，即，
或，
解得，．
 

【解析】移项后，利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得；
左边写成完全平方式，移项后，再利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

21.【答案】
 

【解析】解：根据图表可知：
二次函数的图象过点，，
对称轴为直线，
与关于直线对称，
；
故答案为；
对称轴是直线，
顶点为，
设，
将代入得，
，
解得，
这个二次函数的解析式为．
在直角坐标系中，画出这个函数的图象如图：
．
根据抛物线的对称性即可求得的值；
直接利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
描点、连线画出图象即可．
本题考查的是二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，能熟练求解函数对称轴是解题的关键．
 

22.【答案】解：，，
，
，
；
由圆周角定理得：，
，
四边形是的内接四边形，
．
 

【解析】根据三角形内角和定理求出，根据圆周角定理求出的度数；
根据圆周角定理求出，进而求出，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、三角形内角和定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
 

23.【答案】解：为的直径，
，
平分，
，
；
如图，连接并延长交于，连接，
则，
，平分，
，
，
，
，
的半径为．
 

【解析】根据圆周角定理得到，根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到结论；
如图，连接并延长交于，连接，得到，根据角平分线的定义得到，根据直角三角形的性质得到结论．
本题考查了圆周角定理，角平分线的定义，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】   
 

【解析】解：设花边的宽为，则矩形地毯的长为，宽为，
矩形地毯的面积为．
故答案为：；；．
依题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：花边的宽为．
设花边的宽为，则矩形地毯的长为，宽为，利用矩形的面积计算公式，即可找出矩形地毯的面积为；
由的结论结合整个地毯的面积是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出花边的宽为．
本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：根据各边之间的关系，用含的代数式表示出矩形地毯的长、宽和面积；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
 

25.【答案】解：由题意得：
，
每件售价不能低于元，
，
与的函数关系式为；
，
，
当时，有最大值，最大值为，
售价为元，
答：当售价为元时，每周可获得最大利润，最大利润元；
由题意得：，
解之得：不符合题意，舍去，，
售价元．
答：售价为元时，每周利润为元．
 

【解析】根据每周的销售利润每件商品的利润销售量，列出函数关系式即可；
根据的函数关系式，由函数的性质求函数最值；
令得出关于的一元二次方程，解方程求出的值即可．
本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出函数关系式和方程．
 

26.【答案】解：Ⅰ对于抛物线，令，得到，可得，
令，得到，解得或，
，．

Ⅱ如图中，在射线上截取，使得．

，，
，，直线的解析式为，
，
，
，，
，
直线的解析式为，
设，延长交于，，，
，
，
，
，
，
，
，
当时，的值最大，此时

如图中，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作于，过点作于．

由旋转的性质可知，
，，，
，，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，，共线，
，，
，
，
，
当，，共线时，的值最小，
的最小值．
 

【解析】Ⅰ利用待定系数法解决问题即可．
Ⅱ如图中，在射线上截取，使得证明，把问题转化为求的最大值即可．
如图中，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作于，过点作于由题意，再根据，求出即可解决问题．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，垂线段最短，待定系数法等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．