宁夏固原市西吉县实验中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（Word版含答案）

这是一份宁夏固原市西吉县实验中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（Word版含答案），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共8小题，共24分）
下列几个图形是国际通用的交通标志，其中不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
抛物线y=3(x-2)2+5的顶点坐标是( )
A. (-2,5)B. (-2,-5)C. (2,5)D. (2,-5)
方程x(x-1)=0的根是( )
A. x=0B. x=1
C. x1=0，x2=1D. x1=0，x2=-1
如果关于x的一元二次方程x2-8x+2k=0有两个不相等的实数根，那么实数k的取值范围是( )
A. k≤8B. k<8C. k≥8D. k>8
若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)是函数y=5x图象上的两点，当x1>x2>0时，下列结论正确的是( )
A. 0如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2.若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是( )
A. (32-2x)(20-x)=570B. 32x+2×20x=32×20-570
C. (32-x)(20-x)=32×20-570D. 32x+2×20x-2x2=570
如图，△ABO的顶点坐标分别为A(1,4)、B(2,1)、O(0,0)，如果将△ABO绕点O按逆时针方向旋转90°，得到△A'B'O'，那么点A'、B'的对应点的坐标是( )
A. A'(-4,2)，B'(-1,1) B. A'(-4,1)，B'(-1,2)
C. A'(-4,1)，B'(-1,1) D. A'(-4,2)，B'(-1,2)
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y=ax与正比例函数y=(b+c)x在同一坐标系中的大致图象可能是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
如果2是方程x2-3x+c=0的一个根，那么c的值是______．
如图，已知A点是反比例函数y=kx(k≠0)的图象上一点，AB⊥y轴于B，且△ABO的面积为3，则k的值为______．
二次函数y=x2-4x+k的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是______．
△ABC是等边三角形，点O是三条中线的交点，△ABC以点O为旋转中心，则至少旋转______度后能与原来图形重合．
反比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象经过点(2,5)，那么这个函数图象所在的每个象限内y的值随x值的增大而______.(填“增大”或“减小”)
点(2,-2)关于原点对称的点的坐标是______ ．
如图，直线y=-43x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕A顺时针旋转90°后得到△AO'B'，则点B'的坐标是__．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，此时点D在AB边上，则旋转角的大小为______．
三、计算题（本大题共1小题，共6分）
解方程：x2-2x-1=0．
四、解答题（本大题共9小题，共66分）
今年，政府为减轻农民负担，决定在5年内免去农业税，某乡今年人均上缴农业税25元，若两年后人均上缴农业税为16元，设这两年农业税降低的百分率相同，
①求农业税降低的百分率；
②若小红家有4人，则明年小红家将减少多少农业税？
在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,-1)，B(3,-3)，C(0,-4)
(1)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；
(2)画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2．
如图，在Rt△ABC中∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1cm，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转得到Rt△ADE，∠AED=90°，使点E落在AB边上，连接DB，求DB的长度．
据统计每年由于汽车超速行驶而造成的交通事故是造成人员伤亡的主要原因之一，行驶中的汽车，在刹车后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为刹车距离，为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不超过140km/h)，对这种汽车的刹车距离进行了测试，测得的数据如下表：
(1)在如图所示的平面直角坐标系中以刹车时的速度为横坐标，以刹车距离为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用光滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象．
(2)观察图象估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数解析式．
(3)一辆该型号的汽车在福银高速上发生了交通事故，现场测得刹车距离为32.5m，请推测该汽车的刹车时的速度是多少？请问在事故发生时，汽车是否超速行驶？(假定该路段最高限速110km/h)
解不等式组：5x+6>2(x-3)1-5x2≥3x+13-1．
如图，一次函数的图象与反比例函数y=kx(k≠0,x>0)在第一象限的图象交于A(1,n)和B(4,1)两点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求△OAB的面积S．
如图，已知矩形ABCD中，点E，F分别是AD，AB上的点，EF⊥EC，且AE=CD．
(1)求证：AF=DE；
(2)若DE=25AD，求AE：AF的值．
如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴．抛物线y=-12x2+bx+c经过B，C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC，BD，CD．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABDC的面积．
如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为(-4,0)和(2,0)，BC=23.设直线AC与直线x=4交于点E．
(1)求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点E；
(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为N，M是该抛物线上位于C、N之间的一动点，求△CMN面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、是中心对称图形．故错误；
B、是中心对称图形．故错误；
C、是中心对称图形．故错误；
D、不是中心对称图形．故正确．
故选：D．
根据中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】C
【解析】解：抛物线y=3(x-2)2+5的顶点坐标为(2,5)，
故选：C．
根据二次函数的性质y=a(x+h)2+k的顶点坐标是(-h,k)即可求解．
本题考查了二次函数的性质，正确记忆y=a(x+h)2+k的顶点坐标是(-h,k)(a≠0)是关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵x(x-1)=0，
∴x1=0，x2=1，
故选：C．
由题意推出x=0，或(x-1)=0，解方程即可求出x的值．
本题主要考查解一元二次方程，关键在于根据题意推出x=0，或(x-1)=0即可．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意得Δ=(-8)2-4×2k>0，
解得k<8．
故选：B．
利用根的判别式的意义得到Δ=(-8)2-4×2k>0，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
5.【答案】A
【解析】解：把点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)代入y=5x得y1=5x1，y2=5x2，
则y1-y2=5x1-5x2=5(x2-x1)x1x2，
∵x1>x2>0，
∴x1x2>0，x2-x1<0，
∴y1-y2=5(x2-x1)x1x2<0，
即y1故选：A．
根据反比例函数图象上点的坐标特征得y1=5x1，y2=5x2，然后利用求差法比较y1与y2的大小．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象是双曲线，图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m2，即可列出方程．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，即可列出方程．
【解答】
解：设道路的宽为xm，根据题意得：(32-2x)(20-x)=570，
故选A．
7.【答案】B
【解析】解：∵图形旋转后大小不变，
∴OA=OA'=12+42=17，
∴A、D显然错误；
同理OB=OB'=22+12=5．
∴C错误．
故选B．
根据图形旋转的性质对四个答案用排除法进行解答即可．
本题考查的是图形旋转的性质，即图形旋转后其大小和形状不会发生变化．
8.【答案】B
【解析】解：由二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上可知a>0；
∵x=-b2a>0，
∴b<0；
∵图象与y轴交于负半轴，
∴c<0，
即b+c<0，
∴反比例函数y=ax图象在一、三象限，正比例函数y=(b+c)x图象在二、四象限；
故选：B．
可先根据二次函数的图象与性质判断a、b、c的符号，再判断正比例函数、反比例函数的图象大致位置．
本题考查正比例函数、反比例函数、二次函数图象与性质．
9.【答案】2
【解析】解：∵x=2是方程的根，由一元二次方程的根的定义代入可得，
22-3×2+c=0，
∴c=2．
故答案是：2．
把x=2代入方程即可求解．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
10.【答案】6
【解析】解：根据题意可知：S△ABO=12|k|=3，
由于反比例函数的图象位于第一象限，k>0，
则k=6．
故答案为：6．
过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=12|k|．
本题主要考查了反比例函数y=kx(k≠0)中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为12|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
11.【答案】k<4
【解析】解：根据题意得△=(-4)2-4×1×k>0，
解得k<4．
故答案为：k<4．
根据二次函数的定义和判别式的意义得到△=(-4)2-4×1×k>0，然后求出不等式的解集即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，Δ=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：Δ=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
12.【答案】120
【解析】解：连接OA、OB、OC，旋转中心为点O，
根据等边三角形的性质可知，
OA=OB=OC，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，
所以，至少现在120度后能与原来图形重合．
连接OA、OB、OC，可证OA=OB=OC，A、B、C三点可看作对应点，且∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，可知旋转角至少是120°．
利用旋转的性质分析特殊图形的性质，有利于证明全等三角形，相似三角形．
13.【答案】减小
【解析】解：反比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象经过点(2,5)，
所以k=2×5=10>0，
所以这个函数图象在一三象限，在每个象限内y的值随x值的增大而减小．
故答案为：减小．
利用待定系数法求出k=10，再根据k值的正负确定函数值的增减性．
本题考查了运用待定系数法求反比例函数的表达式和反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
14.【答案】(-2,2)
【解析】解：点(2,-2)关于原点对称的点的坐标为(-2,2)．
故答案为(-2,2)．
根据点P(a,b)关于原点对称的点P'的坐标为(-a,-b)即可得到点(2,-2)关于原点对称的点的坐标．
本题考查了关于原点对称的点的坐标特点：点P(a,b)关于原点对称的点P'的坐标为(-a,-b)．
15.【答案】(7,3)
【解析】解：直线y=-43x+4与x轴、y轴分别交于A(3,0)、B(0,4)两点，由图易知点B'的纵坐标为O'A=OA=3，横坐标为OA+O'B'=OA+OB=7.则点B'的坐标是(7,3)．
故答案为：(7,3)．
根据旋转的性质--旋转不改变图形的形状和大小解答．
解题时需注意旋转前后线段的长度不变．
16.【答案】2a
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，
∴∠B=90°-α，
由旋转的性质可得：CB=CD，
∴∠CDB=∠B=90°-α，
∴∠BCD=180°-∠B-∠CDB=2α．
即旋转角的大小为2α．
故答案为：2α．
由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，可求得：∠B=90°-α，由旋转的性质可得：CB=CD，根据等边对等角的性质可得∠CDB=∠B=90°-α，然后由三角形内角和定理，求得答案．
此题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
17.【答案】解：∵a=1，b=-2，c=-1
∴b2-4ac=4-4×1×(-1)=8>0
∴x=-b±b2-4ac2a=2±82×1=1±2
∴x1=1+2，x2=1-2．
【解析】本题考查了解一元二次方程的方法．
先整理成一元二次方程的一般形式再利用求根公式求解．
18.【答案】解：①设农业税降低的百分率为x，
依题意，得：25(1-x)2=16，
解得：x1=0.2=20%，x2=1.8(舍去)．
答：农业税降低的百分率为20%．
②25×20%×4=20(元)．
答：明年小红家将减少20元农业税．
【解析】①设农业税降低的百分率为x，根据今年及两年后人均上缴农业税钱数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于1的值即可得出结论；
②根据减少的钱数=今年人均上缴农业税钱数×降低的百分率×人数，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19.【答案】解：(1)△A1B1C1如图所示；
(2)△A2B2C2如图所示．
【解析】(1)根据网格结构找出点A、B、C关于原点对称的点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
(2)根据网格结构找出点A1、B1、C1关于y轴对称的点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可．
本题考查了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
20.【答案】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1cm，
∴AC=12AB，则AB=2AC=2cm．
又由旋转的性质知，AE=AC=12AB，DE⊥AB，AB=AD，
∴BE=AE=1cm，
∴DE是AB的中垂线，
∴AD=DB，
∴△ADB是等边三角形，
∴DB=AB=2cm．
【解析】由直角三角形的性质可得AB=2AC=2cm.由旋转的性质可得AE=AC=12AB，DE⊥AB，AB=AD，可证DE是AB的中垂线，可得AD=DB，可证△ADB是等边三角形，即可求解．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
21.【答案】解：(1)描点连线(画出图象)．

(2)根据图象可估计为抛物线．
∴设y=ax2+bx+c，
把表内前三对数代入函数可得，
c=025a+5b+c=0.1100a+10b+c=0.3，
解之得a=0.002，b=0.01，c=0，
∴y=0.002x2+0.01x．
经检验，其他各数均满足函数(或均在函数图象上)；
(3)当y=32.5时，46.5=0.002x2+0.01x．
整理可得x2+5x-23250=0.(7分)
解之得x1=125，x2=-130(不合题意，舍去)，
所以可以推测刹车时的速度为125千米/时．
∵125>110，
∴汽车发生事故时超速行驶．
【解析】(1)依题意描点连线即可．
(2)设抛物线为y=a2+bx+c，解出a，b，c即可．
(3)当y=32.5时，代入函数关系式解出x的合乎题意的值．
本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
22.【答案】解：5x+6>2(x-3)①1-5x2≥3x+13-1②，
∵解不等式①得：x>-4，
解不等式②得：x≤13，
∴不等式组的解集是-4【解析】先求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．
23.【答案】解：(1)∵反比例函数y=kx的图象经过点(4,1)，
∴1=k4．
∴k=4．
∴反比例函数的解析式为y=4k．
(2)反比例函数的解析式为y=4k，A(1,n)在反比例函数的图象上，
∴n=41=4．
∴A(1,4)．
设直线AB的解析式为y=mx+n，
∴m+n=44m+n=1，
解得：m=-1n=5．
∴直线AB的解析式为y=-x+5．
设直线AB交x轴于点C，交y轴于点D，
过点B作BE⊥OC于点E，过点A作AF⊥OD于点F，如图，

则AF=1，BE=1．
令x=0，则y=5，
∴D(0,5)．
∴OD=5．
令y=0，则-x+5=0，
∴x=5．
∴C(5,0)．
∴OC=5．
∴S△OAB=S△OCD-S△OAD-S△OBC
=12OC⋅OD-12OD⋅AF-12OC⋅BE
=12×5×5-12×1×5-12×5×1
=152，
∴△OAB的面积S=152．
【解析】(1)利用待定系数法将B(4,1)代入反比例函数y=kx的解析式即可求得k值；
(2)设直线AB交x轴于点C，交y轴于点D，利用待定系数法求得直线AB的解析式，进而求得点C，D的坐标，用△CDO的面积减去△OBC和△OAD的面积即可得出结论．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∵EF⊥CE，
∴∠FEC=90°，
∴∠AFE+∠AEF=∠AEF+∠DEC=90°，
∴∠AFE=∠DEC，
在△AEF与△DCE中，
∠AFE=∠DEC∠A=∠DAE=DC，
∴△AEF≌△DCE(AAS)，
∴AF=DE；
(2)解：∵DE=25AD，
∴AE=32DE，
∵AF=DE，
∴AE=32AF，
∴AE：AF=32．
【解析】(1)证明△AEF≌△DCE(AAS)，即可得出结论；
(2)由已知得出AE=32DE，再由AF=DE，得AE=32AF，即可得出答案．
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的性质，证明△AEF≌△DCE是解题的关键．
25.【答案】解：
(1)∵正方形OABC的边长为4，
∴OC=BC=AB=OA=4，
∴C(0,4)，B(4,4)，
∵抛物线y=-12x2+bx+c经过B，C两点，
∴c=4-8+4b+c=4，解得b=2c=4，
∴抛物线解析式为y=-12x2+2x+4；
(2)∵y=-12x2+2x+4=-12(x-2)2+6，
∴D(2,6)，
∴D到BC的距离为6-4=2，
∴S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=12×4×4+12×4×2=12．
【解析】(1)由正方形的性质可求得B、C的坐标，代入抛物线解析式可求得b、c的值，则可求得抛物线的解析式；
(2)把抛物线解析式化为顶点式可求得D点坐标，再由S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD可求得四边形ABDC的面积．
本题为二次函数的综合应用，涉及正方形的性质、待定系数法、二次函数的性质、三角形的面积等知识．在(1)中确定出B、C的坐标是解题的关键，在(2)中把四边形转化成两个三角形是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大．
26.【答案】解：(1)设抛物线的函数关系式为：y=a(x-4)2+m，
∵抛物线过C与原点O，
∴16a+m=04a+m=23，
解得：a=-36m=833，
∴所求抛物线的函数关系式为：y=-36(x-4)2+833，
设直线AC的函数关系式为y=kx+b，
-4k+b=02k+b=23，
解得：k=33b=433．
∴直线AC的函数关系式为：y=33x+433，
∴点E的坐标为(4,833).
∴此抛物线过E点．
(2)过M作MQ//y轴，交x轴于Q，交直线CN于P；
易知：N(8,0)，C(2,23)；
可得直线CN的解析式为y=-33x+833；
设点Q的坐标为(m,0)，则P(m,-33m+833)，M(m,-36m2+433m)；
∴MP=-36m2+433m-(-33m+833)=-36m2+533m-833；
∴S=S△CMN=S△CPM+S△MNP=12MP⋅|xM-xC|+12MP⋅|xN-xM|=12MP⋅|xN-xC|=12×(-36m2+533m-833)×6=-32m2+53m-83；
即S=-32(m-5)2+932(2∵2<5<8，
∴当m=5时，Smax=932；
即△CMN的最大面积为932．
【解析】(1)用待定系数法求出抛物线的解析式，然后将E点坐标代入其中进行判断即可；
(2)过M作MQ//y轴，交x轴于Q，交直线CN于P，可求出直线CN的解析式，设出Q点的坐标，即可根据抛物线和直线的解析式求出MP的长；以MP为底，C、N的横坐标差的绝对值为高，即可得到△CMN的面积，由此可求出关于△CMN的面积与Q点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可得到△CMN的最大面积．
本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、函数图象交点坐标及图形面积的求法等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生数形结合的数学思想方法．
刹车时车速(km/h)
0
5
10
15
20
25
30
刹车距离(m)
0
0.1
0.3
0.6
1
1.5
2.1