河北省石家庄市正定县2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（Word版含答案）

这是一份河北省石家庄市正定县2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（Word版含答案），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共16小题，共48分）
在共有15人参加的“我爱祖国”演讲比赛中，参赛选手要想知道自己是否能进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的( )
A. 平均数B. 众数
C. 中位数D. 最高分与最低分数的差
方程x2-2x=0的根是( )
A. x1=x2=0B. x1=x2=2
C. x1=0，x2=2D. x1=0，x2=-2
在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=2BC，则sinA的值是( )
A. 12B. 2C. 55D. 52
用配方法解方程x2-6x-8=0时，配方结果正确的是( )
A. (x-3)2=17B. (x-3)2=14C. (x-6)2=44D. (x-3)2=1
如图，AB是河堤横断面的迎水坡，堤高AC=3，水平距离BC=1，则斜坡AB的坡度为( )
A. 3 B. 55
C. 30° D. 60°
如图，身高为1.6m的吴格霆想测量学校旗杆的高度，当她站在C处时，她头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC=2.0m，BC=8.0m，则旗杆的高度是( )
A. 6.4mB. 7.0mC. 8.0mD. 9.0m
如图，画线段AB的垂直平分线交AB于点O，在这条垂直平分线上截取OC=OA，以A为圆心，AC为半径画弧于AB与点P，则线段AP与AB的比是( )
A. 3：2 B. 1：3
C. 2：3 D. 2：2
已知m是一元二次方程x2+3x-7=0的一个根，那么m2+3m-3=( )
A. 4B. 10C. -4D. -10
如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走6km也到达l.下列说法错误的是( )
A. 从点P向北偏西45°走3km到达l
B. 公路l的走向是南偏西45°
C. 公路l的走向是北偏东45°
D. 从点P向北走3km后，再向西走3km到达l
直线y=x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1=0实数解的个数是( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 1个或2个
如图，不等长的两对角线AC、BD相交于O点，且将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若OA：OC=OB：OD=1：2，则此四个三角形的关系，下列叙述何者正确( )
A. 甲丙相似，乙丁相似
B. 甲丙相似，乙丁不相似
C. 甲丙不相似，乙丁相似
D. 甲丙不相似，乙丁不相似
要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排55场比赛，则参加比赛的球队的个数是( )
A. 8个B. 9个C. 10个D. 11个
某市某楼盘准备以6000元/m2的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以4860元/m2的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是( )
A. 11%B. 10%C. 9%D. 8%
如图，在钝角△ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从点A出发到点B止．动点E从点C出发到点A止．点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是( )
A. 3s或4.8sB. 3sC. 4.5sD. 4.5s或4.8s
如图所示，在□ABCD中，AC，BD相交于点O，E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论：①AFFD=12；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF∽△ACD.其中一定正确的是( )
A. ①②③④B. ①④C. ②③④D. ①②③
定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a,b}表示a，b中的较大值，如：max{2,4}=4.因此，max{-2,-4}=-2；按照这个规定，若max{x,-x}=x2-3x-22，则x的值是( )
A. -1B. -1或5+332C. 5+332D. 1或5-332
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
已知6是4和a的比例中项，则a=______．
如图，AB//GH//CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH的长为______．
如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B'处，则sin∠B'EC的值为______．
在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，如图1，四边形DEFG为△ABC的内接正方形，则正方形DEFG的边长为______.如图2，若三角形ABC内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，则正方形的边长为______．
三、解答题（本大题共6小题，共60分）
解方程：(1)x2+3x-2=0；
(2)9(x-2)2=4(x+1)2；
(3)2(x-3)2=x2-9；
计算：(4)6tan230°-3sin60°-2cs45°．
老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图(图1)和不完整的扇形图(图2)，其中条形图被墨迹遮盖了一部分．
(1)求条形图中被遮盖的数，并写出册数的平均数、中位数、众数；
(2)全校共有1200名学生，求读书超过5册的学生的人数．
(3)随后又补查了另外几人，得知最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没改变，则最多补查了______人．
如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长为1个单位长度，题中所给各点均在格点上．
(1)以图中的点O为位似中心，将△ABC作位似变换，且放大到原来的2倍，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1．
(2)连接CO，AO.完成下面填空：
①S△A1B1C1S△ABC=______，tan∠ACO=______，sin∠BCO=______．
②现有一个三边长分别为1，22，x的三角形与△OAC相似，则x=______．
如图某船由西向东航行，在点A处测得小岛O在北偏东60°方向，船航行了10海里后到达点B.这时测得小岛O在北偏东45°方向，船继续航行到点C时，测得小岛O恰好在船的正北方，求此时船到小岛的距离．(结果保留根号)
水果店购进一种优质水果，进价为10元/kg，售价不低于10元/kg，且不超过16元/kg，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y(kg)与该天的售价x(元/kg)满足如表所示的一次函数关系：
(1)某天这种水果的售价为14元/kg，求当天该水果的销售量．
(2)如果某天销售这种水果获利100元，那么该天水果的售价为多少元？
如图1和图2，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=34.点K在AC边上，点M，N分别在AB，BC上，且AM=CN=2.点P从点M出发沿折线MB-BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ=∠B．
(1)当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；
(2)若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；
(3)设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3≤x≤9时，分别求点P到直线AC的距离(用含x的式子表示)；
(4)在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域(含边界)，扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK=94，请直接写出点K被扫描到的总时长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由于总共有15个人，第8位选手的成绩是中位数，要判断是否进入前8名，故应知道自己的成绩和中位数．
故选：C．
根据题意可得：由中位数的概念，即最中间一个或两个数据的平均数；可知15人成绩的中位数是第8名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
2.【答案】C
【解析】解：x2-2x=0
x(x-2)=0，
解得：x1=0，x2=2．
故选：C．
直接利用因式分解法将方程变形进而求出答案．
此题主要考查了因式分解法解方程，正确分解因式是解题关键．
3.【答案】C
【解析】解：根据题意，AB=AC2+BC2=5BC，sinA=∠A的对边斜边=BCAB=55．
故选：C．
根据正弦的定义sinA=∠A的对边斜边解答．
本题主要考查角的正弦的定义，需要熟练掌握．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．方程利用完全平方公式变形即可得到结果．
【解答】
解：x2-6x-8=0，
x2-6x+9=8+9
(x-3)2=17，
故选：A．
5.【答案】A
【解析】解：由题意可得：∠ACB=90°，则斜坡AB的坡度为：ACBC=31=3．
故选：A．
直接利用坡度的定义得出，斜坡AB的坡度为：ACBC，进而得出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡度的定义是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：设旗杆高度为h，
由题意得：1.6h=22+8，
解得：h=8．
故选：C．
因为人和旗杆均垂直于地面，所以构成相似三角形，利用相似比解题即可．
本题考查了考查相似三角形的性质和投影知识，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
7.【答案】D
【解析】解：连接AC，
设AO=x，则BO=x，CO=x，
故AC=AP=2x，
∴线段AP与AB的比是：2x：2x=2：2．
故选：D．
利用已知表示出AC的长，即可得出AP以及AB的长，即可得出答案．
此题主要考查了比例线段，垂直平分线的性质以及勾股定理等知识，根据已知用未知数表示出各线段长是解题关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵m是一元二次方程x2+3x-7=0的一个根，
∴m2+3m-7=0，
即m2+3m=7，
∴m2+3m-3=7-3=4．
故选：A．
利用一元二次方程的解的定义得到m2+3m=7，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
9.【答案】A
【解析】解：如图，
由题意可得△PAB是腰长6km的等腰直角三角形，
则AB=62km，
则PC=32km，
则从点P向北偏西45°走32km到达l，选项A错误；
则公路l的走向是南偏西45°或北偏东45°，选项B，C正确；
则从点P向北走3km后，再向西走3km到达l，选项D正确．
故选：A．
先作出图形，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质即可求解．
本题考查的是勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
10.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．
利用一次函数的性质得到a≤0，再判断△=22-4a>0，从而得到方程根的情况．
【解答】
解：∵直线y=x+a不经过第二象限，
∴a≤0，
当a=0时，关于x的方程ax2+2x+1=0是一次方程，解为x=-12，
当a<0时，关于x的方程ax2+2x+1=0是二次方程，
∵△=22-4a>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选D．
11.【答案】B
【解析】解：在△OAB和△OCD中，OA：OC=OB：OD，又∠AOB=∠COD
∴△OAB∽△OCD
即甲丙相似；
无法证明△OAD相似△OCB，乙丁不相似．
故选：B．
根据已知及相似三角形判定定理，对四个三角形的关系进行分析，从而得到最后答案．
此题考查了学生对相似三角形的判定方法的理解及运用．
12.【答案】D
【解析】解：设参加比赛的球队有x个，
根据题意可得12x(x-1)=55，
解得x1=11，x2=-10(舍去)，
即参加比赛的球队有11个，
故选：D．
设参加比赛的球队有x个，则可表示出所比赛的场数，由条件可列出方程，可求得球队的个数．
本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键．
13.【答案】B
【解析】解：设平均每次下调的百分率为x，由题意，得
6000(1-x)2=4860，
解得：x1=0.1，x2=1.9(舍去)．
答：平均每次下调的百分率为10%．
故选：B．
设平均每次下调的百分率为x，则两次降价后的价格为6000(1-x)2，根据降低率问题的数量关系建立方程求出其解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，降低率问题的数量关系的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据降低率问题的数量关系建立方程是关键．
14.【答案】A
【解析】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，
则AD=t，CE=2t，AE=AC-CE=12-2t．
①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC．
∴AD：AB=AE：AC，
∴t：6=(12-2t)：12，
∴t=3；
②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB．
∴AD：AC=AE：AB，
∴t：12=(12-2t)：6，
∴t=4.8．
所以当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．
故选：A．
如果以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，由于A与A对应，那么分两种情况：①D与B对应；②D与C对应．根据相似三角形的性质分别作答．
本题考查了方程的应用，相似三角形的对应边成比例的性质．本题分析出以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，有两种情况是解决问题的关键．
15.【答案】D
【解析】解：∵在▱ABCD中，AO=12AC，
∵点E是OA的中点，
∴AE=13CE，
∵AD//BC，
∴△AFE∽△CBE，
∴AFBC=AECE=13，
∵AD=BC，
∴AF=13AD，
∴AFFD=12；故①正确；
∵S△AEF=4，S△AEFS△BCE=(AFBC)2=19，
∴S△BCE=36；故②正确；
∵EFBE=AECE=13，
∴S△AEFS△ABE=13，
∴S△ABE=12，故③正确；
∵BF不平行于CD，
∴△AEF与△ADC只有一个角相等，
∴△AEF与△ACD不一定相似，故④错误，
故选：D．
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
16.【答案】B
【解析】解：若x>-x，即x>0，则x=x2-3x-22，解得x=5+332(负值舍去)；
若x<-x，即x<0，则-x=x2-3x-22，解得x=-1(正值舍去)；
故选：B．
根据新定义分x>0和x<0列出方程，再分别求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17.【答案】9
【解析】解：根据题意可得：
4：6=6：a，
解得a=9，
故答案为：9．
根据题意，6是4和a的比例中项，也就是4：6=6：a，然后再进一步解答即可．
本题考查了比例线段，解题的关键是理解两个数的比例中项，然后列出比例式进一步解答．
18.【答案】65
【解析】解：∵AB//GH，
∴GHAB=CHBC，即GH2=CHBC①，
∵GH//CD，
∴GHCD=BHBC，即GH3=BHBC②，
①+②，得GH2+GH3=CHBC+BHBC=BCBC=1，
∴GH2+GH3=1，
解得GH=65．
故答案为65．
根据平行线分线段成比例定理，由AB//GH，得出GHAB=CHBC，由GH//CD，得出GHCD=BHBC，将两个式子相加，即可求出GH的长．
本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质进行计算．本题难度适中．
19.【答案】2425
【解析】解：如图所示，过B'作BC的垂线，交BC于F，交AD于G，则∠AGB'=∠B'FE=90°，
由折叠可得，∠AB'E=∠B=90°，
∴∠GAB'=∠FB'E，
∴△AGB'∽△B'FE，
∴EFB'G=EB'B'A，
由折叠可得AB'=AB=4，
∵BC=6，点E为BC的中点，
∴B'E=BE=3，
设B'F=x，则B'G=4-x，
∴EF4-x=34，即EF=34(4-x)=3-34x，
∵Rt△EFB'中，EF2+B'F2=B'E2，
∴(3-34x)2+x2=32，
解得x=7225，
∴Rt△B'EF中，sin∠B'EC=B'FB'E=72253=2425．
故答案为：2425．
先过B'作BC的垂线，交BC于F，交AD于G，则∠AGB'=∠B'FE=90°，设B'F=x，则B'G=4-x，根据△AGB'∽△B'FE，即可得到EF=3-34x，在Rt△EFB'中，EF2+B'F2=B'E2，列方程即可得到x=7225，进而得到sin∠B'EC的值．
本题主要考查了折叠问题，相似三角形的判定与性质，解直角三角形以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是：设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
20.【答案】6037 6025+12n
【解析】解：(1)在图1中，作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N．
在Rt△ABC中，
∵AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∴12AB⋅CN=12BC⋅AC，
CN=125，
∵GF//AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴CM：CN=GF：AB，
设正方形边长为x，
则125-x125=x5，
∴x=6037；
(2)①在图2中，作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N．
∵GF//AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴CM：CN=GF：AB，
设每个正方形边长为x，则125-x125=2x5，
∴x=6049．
②类比①，在图3中，
∵△CGF∽△CAB，
∴CM：CN=GF：AB，
设每个正方形边长为x，则125-x125=3x5
∴x=6061．
③在图4中，过点C作CN⊥AB，垂足为N，交GF于点M，
∵△CGF∽△CAB，
∴CM：CN=GF：AB，
设每个正方形边长为x，则125-x125=nx5，
∴x=6025+12n．
故答案为：6037，6025+12n．
(1)根据题意画出图形，作CN⊥AB，再根据GF//AB，可知△CGF∽△CAB，由相似三角形的性质即可求出正方形的边长；
(2)①作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N，同(1)可知，△CGF∽△CAB，根据对应边的比等于相似比可求出正方形的边长；
②方法与①类似；③作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N，同(1)可知，△CGF∽△CAB，根据对应边的比等于相似比可求出正方形的边长；
本题主要考查了正方形，矩形的性质和相似三角形的性质．会利用三角形相似中的相似比来得到相关的线段之间的等量关系是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵a=1，b=3，c=-2，
∴Δ=32-4×1×(-2)=17>0，
则x=-b±b2-4ac2a=-3±172，
即x1=-3+172，x2=-3-172；
(2)∵9(x-2)2=4(x+1)2，
∴3(x-2)=2(x+1)或3(x-2)=-2(x+1)，
解得x1=8，x2=45；
(3)∵2(x-3)2=x2-9，
∴2(x-3)2-(x+3)(x-3)=0，
∴(x-3)(x-9)=0，
则x-3=0或x-9=0，
解得x1=3，x2=9；
(4)原式=6×(33)2-3×32-2×22
=6×13-32-2
=2-32-2
=12-2．
【解析】(1)利用公式法求解即可；
(2)利用直接开平方法求解即可；
(3)利用因式分解法求解即可；
(4)将特殊锐角的三角函数值代入，再计算乘方和后面的乘法，继而进一步计算即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力及实数的运算能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
22.【答案】3
【解析】解：(1)∵被调查的总人数为6÷25%=24(人)，
∴5册的人数为24-(5+6+4)=9(人)，
平均数为(4×5+5×9+6×6+4×7)÷24=438(册)，
被抽查的学生读书册数的中位数是第12、13个数据的平均数，而第12、13个数据均为5册，
∴被抽查的学生读书册数的中位数为5册，
众数是5册，
答：条形图中被遮盖的数是9，册数的平均数是438册，中位数是5册，众数是5册；
(2)1200×6+424=500(人)，
答：全校读书超过5册的人数约为500人；
(3)∵4册和5册的人数和为14，中位数没有改变，
∴总人数不能超过27，即最多补查了3人，
故答案为：3．
(1)由6册人数及其所占百分比求出总人数，再根据各册数的人数和等于总人数可得5册人数；
(2)用1200乘以对应人数所占比例即可得；
(3)由4册和5册的人数和为14，中位数没有改变知总人数不能超过27，据此可得答案．
本题考查了概率公式，也考查了统计图和中位数，能从统计图中读取相关信息是解题关键．
23.【答案】4 13 55 5
【解析】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；

(2)如图，

①∵△A1B1C1∽△ABC，且相似比为2，
∴S△A1B1C1S△ABC=22=4，
由图可得，tan∠ACO=13，
∵BC=12+22=5，
∴sin∠BCO=15=55，
故答案为：4，13，55；
②∵AO=2，CO=4，AC=10，
由题可知，12=224=x10，
∴x=5，
故答案为：5．
(1)根据位似中心的性质，可得出点A、B、C的对应点；
(2)利用相似三角形的性质和三角函数的定义可得答案；
(3)根据相似三角形的性质，知对应边成比例可求出x的值．
本题主要考查了作图-位似变换，相似三角形的判定与性质，三角函数的定义等知识，准确画出图形是解题的关键．
24.【答案】解：设OC=x海里，
依题意得BC=OC=x海里，AC=3x海里，
∴AC-BC=10，即(3-1)x=10，
∴x=103-1=5(3+1)，
答：船与小岛的距离是5(3+1)海里．
【解析】设OC=x海里，依题意得BC=OC=x海里，AC=3x海里，再根据AC-BC=10海里，即可得到关于x的一元一次方程，求出x的值即可．
本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，根据题意得出关于x的一元一次方程是解答此题的关键．
25.【答案】解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
将(11,28)，(12,26)代入y=kx+b，得：11k+b=2812k+b=26，
解得：k=-2b=50，
∴y与x之间的函数关系式为y=-2x+50．
当x=14时，y=-2×14+50=22，
答：当天该水果的销售量为22千克．
(2)根据题意得：(x-10)(-2x+50)=100，
整理得：x2-35x+300=0，
解得：x1=15，x2=20．
又∵10≤x≤16，
∴x=15．
答：该天水果的售价为15元/千克．
【解析】(1)根据表格中的数据，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出当x=14时y的值；
(2)根据总利润=(售价-成本)×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合10≤x≤16即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：(1)根据表格中的数据，利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
26.【答案】解：(1)如图1中，过点A作AH⊥BC于H．
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH=4，∠B=∠C，
∴tan∠B=tan∠C=AHBH=34，
∴AH=3，AB=AC=AH2+BH2=32+42=5．
∴当点P在BC上时，点P到A的最短距离为3．
(2)如图1中，∵∠APQ=∠B，
∴PQ//BC，
∴△APQ∽△ABC，
∵PQ将△ABC的面积分成上下4：5，
，
∴APAB=23，
∴AP=103，
∴PM=AP-AM=103-2=43．
(3)当0≤x≤3时，如图1-1中，过点P作PJ⊥CA交CA的延长线于J．
∵PQ//BC，
∴APAB=PQBC，∠AQP=∠C，
∴x+25=PQ8，
∴PQ=85(x+2)，
∵sin∠AQP=sin∠C=35，
∴PJ=PQ⋅sin∠AQP=2425(x+2)．
当3同法可得PJ=PC⋅sin∠C=35(11-x)．
(4)由题意点P的运动速度=936=14单位长度/秒．
当3∵∠APC=∠B+∠BAP=∠APQ+∠CPQ，∠APQ=∠B，
∴∠BAP=∠CPQ，
∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCQ，
∴ABCP=BPCQ，
∴511-x=x-3y，
∴y=-15(x-7)2+165，
∵-15<0，
∴x=7时，y有最大值，最大值=165，
∵AK=94，
∴CK=5-94=114<165
当y=114时，114=-15(x-7)2+165，
解得x=7±32，
∴点K被扫描到的总时长=(114+3)÷14=23秒．
【解析】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会构建二次函数解决CQ的最值问题，属于中考压轴题．
(1)如图1中，过点A作AH⊥BC于H.解直角三角形求出AH即可．
(2)利用相似三角形的性质求解即可．
(3)分两种情形：当0≤x≤3时，当3(4)求出CK的长度，以及CQ的最大值，利用路程与速度的关系求解即可．
售价x/(元⋅kg-1)
…
10.5
11
11.5
12
…
销售量y/kg
…
29
28
27
26
…