学易金卷：高一数学下学期期中测试卷01（测试范围：必修第二册第六、七、八章）

期中测试卷01

（本卷满分150分，考试时间120分钟）

（人教A版2019）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1．复数在复平面内对应的点位于(  )。

A、第一象限

B、第二象限

C、第三象限

D、第四象限

【答案】B

【解析】，在复平面对应的点的坐标为，位于第二象限，故选B。

2．若复数(为虚数单位)，则(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】，∴，故选A。

3．已知向量，，且与平行，则(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】∵、，且与平行，

∴，解得，故选A。

4．已知、、是三条不同的直线，、是两个不同的平面，则下面说法中正确的是(  )。

A、若，，且，，则

B、若，，且，则

C、若且，则

D、若，，且，，则

【答案】D

【解析】A选项错，∵、两条直线的位置关系不确定，

∴只有、相交时才能得到，

B选项错，如图所示，把看作，看作，

平面看作，平面看作，此时，

C选项错，若且，则或在内，

D选项对，∵，，∴，若，，则，

故选D。

5．如图所示，已知一圆台上底面半径为，下底面半径为，母线长为，其中在上底面上，在下底面上，从的中点处拉一条绳子，绕圆台的侧面转一周达到点，则这条绳子的长度最短为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】画图，则设，圆心角为，则，

，解得，，

则，，，故选C。

6．已知中，，，，为所在平面内一点，且满足，则的值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】∵，∴，∴，

∴，故选B。

7．平行四边形中，，且，沿将四边形折起成平面平面，则三棱锥外接球的表面积为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】将平面平面，

又∵平面平面，平面，

，∴平面，

∵四边形为平行四边形，∴，

同理平面，∴、均为，

设中点为，连、，

则，为三棱锥外接球半径，

则，，

则，故三棱锥外接球的表面积为，故选C。

8．如图所示，三棱锥中，、、、、，是的中点，，则三棱锥的体积为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】由、、可知，

∴为直角三角形，∴，

由、、可知，

∴为直角三角形，∴，

又，平面，平面，

∴平面，由是的中点得，

，

∵，∴为直角三角形，，

∴，

又，，∴，即为直角三角形，，

∴，

∴，故选D。

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9．下列说法中错误的是(  )。

A、若、、，则

B、若且，则

C、若、非零向量且，则

D、若，则有且只有一个实数，使得

【答案】ABD

【解析】A选项，当、中至少有一个时，与可能不平行，错，

B选项，由且，可得或，错，

C选项，，则两边平方化简可得，∴，对，

D选项，根据向量共线基本定理可知当为零向量时不成立，错，

故选ABD。

10．下列四个命题中是真命题的是(  )。

A、若复数满足，则

B、若复数满足，则

C、若复数满足，则

D、若复数、满足，则

【答案】BC

【解析】A选项，，，，则A是假命题，

具体做：设()，则，则或，

当、时为纯虚数，当、时为纯实数，

B选项，一个数的平方小于，则这个数一定是虚数，而且还是纯虚数，则B是假命题，

具体做：设()，则，则且，

则时可取，则时不可取，

则，，，为纯虚数，

C选项，，则，又恒成立，∴，∴，则C是真命题，

具体做：设()，则，

则且，则，

D选项，、，，，则D是假命题，

具体做：设()，()，

则，

则，解有很多种可能，当且时符合条件，

此时、，、，不一定成立，

故选BC。

11．已知四面体是球的内接四面体，且是球的一条直径，，，则下面结论正确的是(  )。

A、球的表面积为

B、上存在一点，使得

C、若为的中点，则

D、四面体体积的最大值为

【答案】ACD

【解析】∵是球的一条直径，∴，，∴，

球的半径为，球的表面积为，A正确，

∵与平面相交，上找不到一点，使得，B错误，

连接、，∵，为的中点，∴，C正确，

易知点到平面的距离的最大值为球的半径，

∴四面体体积的最大值为：，D正确，

故选ACD。

12．如图所示，正方体的棱长为，、分别是棱、的中点，过直线、的平面分别与棱、交于、，设，，则下列命题中正确的是(  )。

A、平面平面

B、当且仅当时，四边形的面积最小

C、四边形周长是单调函数

D、四棱锥的体积为常函数

【答案】ABD

【解析】A选项，∵，，，∴，∴平面，

又∵平面，∴平面平面，A对，

B选项，∵四边形为菱形，∴，

又，要使四边形的面积最小，只需最小，

则当且仅当时，四边形的面积最小，B对，

C选项，∵，，

∴在上不是单调函数，C错，

D选项，，

，点到平面的距离为，，

又，点到平面的距离为，，

∴为常函数，D对，

故选ABD。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．设是虚数单位，若复数()是纯虚数，则        。

【答案】

【解析】，

∵复数()是纯虚数，∴，且，∴。

14．古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现。如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，若圆柱的表面积是，现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为       。

【答案】

【解析】设球的半径为，则由题意可得球的表面积为，∴，

∴圆柱的底面半径为，高为，∴最多可以注入的水的体积为。

15．已知在边长为的正三角形中，、分别为边、上的动点，且，则的最大值为         。

【答案】

【解析】如图建系，则、、，

则，，设()，

则()，则，，

∴，，

∴，

当时取最大值。

16．连接正方体相邻各面的中心(中心是指正方形的两条对角线的交点)后所得到了一个几何体，设正方体的棱长为，则该几何体的表面积为       ，该几何体的体积为       。(本题第一空2分，第二空3分)

【答案】   

【解析】这正八面体每个面是全等的正三角形，

，，

∵，，，

∴。

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分10分）

已知复数、满足、，且，求与的值。

【解析】设复数、在复平面上对应的点为、，由于，        2分

故，                                                      4分

故以、为邻边的平行四边形是矩形，从而，                     7分

则，。                             10分

18．（本小题满分12分）

设向量、满足，且。

(1)求与夹角的大小；

(2)求与夹角的大小；

(3)求的值。

【解析】(1)设与的夹角为，，

又，∴，∴，即，

又，∴与的夹角为；                                          4分

(2)设与的夹角为，∵，

又，，∴，

又，∴与的夹角为；                                       8分

(3)，，

∴。                                                  12分

19．（本小题满分12分）

正四棱台两底面边长分别为和。

(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为，求棱台的侧面积；

(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高。

【解析】(1)如图，设、分别为上、下底面的中心，过作于，过作于，

连接，则为正四棱台的斜高，                                        2分

由题意知，，         4分

又，

∴斜高，                              6分

∴；                                       7分

(2)由题意知，，∴，                  9分

∴，又，。                   12分

20．（本小题满分12分）

在四棱锥中，平面，且底面为边长为的菱形，，。

(1)证明：平面平面；

(2)在图中作出点在平面内的正投影(说明作法及其理由)，并求四面体的体积。

【解析】(1)∵平面，平面，∴，                        1分

在菱形中，，且，∴平面，            2分

又∵平面，∴平面平面；                              4分

(2)取的中点，连接、，易得是等边三角形，

∴，又∵平面，∴，                           5分

又，∴平面，

在平面中，过作于，则，                        7分

又，∴平面，

则是点在平面内的正投影，                                         9分

经计算得，在中，，，              10分

，，                               11分

∴。                   12分

21．（本小题满分12分）

如图，多面体是由三棱柱截去一部分而成，是的中点。

(1)若，平面，，求点到平面的距离；

(2)若为的中点，在上，且，问为何值时，直线平面？

【解析】(1)∵多面体是由三棱柱截去一部分而成，

是的中点，平面，，                               1分

∴平面，则，                                         2分

又∵，∴，

又∵，∴，                                       3分

可得，即，                                      4分

又，∴平面，

∴点到平面的距离；                                        5分

(2)当时，直线平面，证明如下：

设，则，取的中点，连接，可得，       6分

∵是梯形的中位线，∴，                             8分

∴当时，四边形为平行四边形，即，             10分

∵平面，∴直线平面，此时。      12分

22．（本小题满分12分）

如图所示，是圆的直径，点是圆上异于、的点，垂直于圆所在的平面，且。

(1)若为线段的中点，求证：平面；

(2)求三棱锥体积的最大值；

(3)若，点在线段上，求的最小值。

【解析】(1)证明：在中，∵，为的中点，∴，                1分

又垂直于圆所在的平面，∴，∵，

∴平面；                                                  3分

(2)∵点是圆上，∴当时，到的距离最大，且最大值为半径，又，

∴的面积的最大值为，                                      5分

又∵三棱锥的高，

故三棱锥体积的最大值为；                                6分

(3)在中，，，∴，

同理，∴，                                      8分

在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图，

当、、共线时，取得最小值，                                 10分

又∵，，∴垂直平分，即为中点，

从而，亦即的最小值为。12分