学易金卷：高一数学下学期期中测试卷03（测试范围：必修第二册第六、七、八章）

期中测试卷03

（本卷满分150分，考试时间120分钟）

（人教A版2019）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1．设复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于(  )。

A、第一象限

B、第二象限

C、第三象限

D、第四象限

【答案】A

【解析】由得，∴，

∴在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限，故选A。

2．设是虚数单位，若复数，则的共轭复数为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】复数，根据共轭复数的概念得到的共轭复数为：，故选A。

3．在中，，点满足，若，则的值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】取的中点为，连接，则，

∴，

设，则，解得，

∴是等边三角形，∴，故选C。

4．如图所示，在多面体中，已知四边形是边长为的正方形，且、均为正三角形，，，则该多面体的体积为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】将几何体割成一个三棱柱和两个相同的三棱锥，在梯形中易知，

∴，

则该几何体体积为，故选A。

5．已知正四棱柱中，，，为的中点，则直线与平面的距离为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】连接交于，连结，由题意得，

∴平面，直线到平面的距离等于点到平面的距离，

也等于点到平面的距离，作于，，

，则为中点，为所求，故选A。

6．已知正三角形的边长为，是边的中点，将三角形沿翻折，使，若三角锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】正如图，将三角形沿翻折后，注意以为底面，

形成三角锥，则平面，

∵，，∴，

三角锥的外接球球心一定在经过底面的外心且垂直于底面的垂线上，

设球心为，外心为，中点为，外接球半径为，由底面可知，

做剖面，则，过做，垂足为，

则为中点，，

在中，，则，故选A。

7．半径为的圆上有三点、、满足，点是圆内一点，则的取值范围为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】如图，与交于点，由得：

四边形是菱形，且，则，，

由图知，，而，

∴，

同理，，而，

∴，

∴，

∵点是圆内一点，则，∴，故选A。

8．如图为一个正方体与一个半球构成的组合体，半球的底面圆与正方体的上底面的四边相切，球心与正方形的中心重合，将此组合体重新置于一个球中(球未画出)，使正方体的下底面的顶点均落在球的表面上，半球与球内切，设切点为，若四棱锥的表面积为，则球的表面积为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】设球、半球的半径分别为、，

则由正方体与半球的位置关系易知正方体的棱长为，

设正方体的下底面的中心为，连接，则四棱锥的高，

易知该四棱锥为正四棱锥，则其斜高为，

由题意得，得，

根据几何体的对称性知球的球心在线段上，连接、，

在中，，，，

则，解得，

∴球的表面积，故选B。

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9．若复数满足，则关于复数的说法正确的是(  )。

A、复数的实部为

B、复数的虚部为

C、复数的模长为

D、复数对应的复平面上的点在第一象限

【答案】ABC

【解析】设()，则，

化简得，根据对应相等得：，

解得，，∴，，复数对应的复平面上的点在实轴上，

故选ABC。

10．两平行平面截半径为的球，若截面面积分别为和，则这两个平面间的距离是(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】AD

【解析】如图(1)所示，若两个平行平面在球心同侧，

则，

如图(2)所示，若两个平行截面在球心两侧，

则，故选AD。

11．已知、、为三条不同的直线，且平面，平面，，则下列命题中错误的是(  )。

A、若与是异面直线，则至少与、中的一条相交

B、若不垂直于，则与一定不垂直

C、若，则必有

D、若、，则必有

【答案】BD

【解析】A选项，若与是异面直线，则至少与、中的一条相交，对，

B选项，时，若，则，此时不论，是否垂直，均有，错，

C选项，当时，则，由线面平行的性质定理可得，对，

D选项，若，则，时，与平面不一定垂直，

此时平面与平面也不一定垂直，错，

故选BD。

12．已知、是两个单位向量，时，的最小值为，则下列结论正确的是(  )。

A、、的夹角是

B、、的夹角是

C、

D、

【答案】ABD

【解析】由题可知，，

∵ 、是两个单位向量，且的最小值为，

∴的最小值为，则，解得，

∴与的夹角为或，

∴或，∴或，

故选ABD。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．设为虚数单位，已知复数满足，则复数的虚部为         。

【答案】

【解析】由得，

故复数的虚部为。

14．如图所示，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，若平面，则       。

【答案】

【解析】连接交于点，连接，

∵平面，平面，

平面平面，

∴，∴。

15．在中，，，若与线段交于点，且，，则的最大值为         。

【答案】D

【解析】∵线段与线段交于点，设()，

则，即，

又∵、、三点共线，则，即，

∵，∴当为中点时最小，此时最大，

又，故此时，∴，即，即的最大值为，故选D。

16．如图所示，长方体的底面是正方形，其侧面展开图是边长为的正方形，、分别是侧棱、上的动点，，点在棱上，且，若平面，则       。

【答案】

【解析】如图，连接交于，连接，

∵平面，平面，

平面平面，∴，

在上截取，连接，

则，∴，

∴四边形为平行四边形，

则，又∵，，

∴，从而。

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分10分）

设方程的根分别为、，且，求实数的值。

【解析】若、为实数，则，

，解得，                  4分

若、为虚数，则且、共轭，

，解得，                9分

综上，或。                                                        10分

18．（本小题满分12分）

若、、是同一平面内的三个向量，其中。

(1)若，且，求的坐标；

(2)若且与垂直，求与的夹角。

【解析】(1)设，∵，，∴，，                       2分

又，∴，或，或，

∴或；                                                  6分

(2)∵与垂直，∴，即，         8分

又，，代入上式解得，∴，          10分

又，∴。                                                    12分

19．（本小题满分12分）

如图，矩形中，，。、分别在线段和上，，将矩形沿折起。记折起后的矩形为，且平面平面。

(1)求证：平面；

(2)若，求证：；

(3)求四面体体积的最大值。

【解析】(1)证明：∵四边形，都是矩形，

∴，，∴四边形是平行四边形，      2分

∴，∵平面，∴平面；                  4分

(2)证明：连接，设，∵平面平面，且，

∴平面，∴，

又，∴四边形为正方形，∴，                6分

∴平面，又平面，∴，                  8分

(3)解：设，则，其中，由(1)得平面，

∴四面体的体积为：

，          10分

当时，四面体的体积最大，其最大值为。                     12分

20．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥中，平面平面，，，，为线段上的点，且，。

(1)求证：平面；

(2)若，求点到平面的距离。

【解析】(1)证明：连接，由题意可知，，

∴，则，∴，   2分

∴，则，           3分

则，即，∵平面平面，

∴平面，                                                  4分

又∵平面，∴，又∵，，

∴平面；                                                  6分

(2)由(1)得，又∵，∴，，               8分

在中，，∴，则，       10分

设点到平面的距离为，由等体积法可得，

即，即，

故点到平面的距离为。                                             12分

21．（本小题满分12分）

如图1，在三棱锥中，平面，，为侧棱上一点，它的正(主)视图和侧(左)视图如图2所示。

(1)证明：平面；

(2)求三棱锥的体积；

(3)在的平分线上确定一点，使得平面，并求此时的长。

【解析】(1)证明：∵平面，∴，                                       1分

又，，∴平面，∴，          2分

由三视图得在中，，为中点，                   3分

∴，，∴平面；                       4分

(2)由三视图可得，由(1)知，平面，                  5分

又三棱锥的体积即为三棱锥的体积，

∴所求三棱锥的体积；                              7分

(3)取的中点，连接并延长至，使得，点即为所求，          8分

∵为中点，∴，∵平面，平面，           9分

∴平面，连接、，四边形的对角线互相平分，          10分

∴为平行四边形，∴，                                        11分

又平面，∴在中，。              12分

22．（本小题满分12分）

如图，正方形与直角梯形所在平面相互垂直，，，。

(1)求证：平面；

(2)求点到平面的距离。

【解析】(1)设，取中点，连接、，∵四边形是正方形，

∴是的中点，又是的中点，∴，，            2分

∵四边形是直角梯形，，，∴，

∴四边形是平行四边形，∴，                                 4分

又平面，平面，∴平面，即平面；   6分

(2) ∵，平面，平面，∴平面，

∵，平面平面，平面，

平面平面，∴平面，

∴，                                 8分

∵平面，平面，∴，，

∵，平面平面，平面，

平面平面，∴平面，

又平面，∴，

在中，，，，

在中，，，∴，        10分

设点到平面的距离为，

由得：，即，∴。           12分