学易金卷：高一数学下学期期中测试卷02（测试范围：必修第二册第六、七、八章）

期中测试卷02

（本卷满分150分，考试时间120分钟）

（人教A版2019）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1．已知平面向量，，若存在实数，使得，则实数的值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】∵，∴，则，解得或，

又，∴，∴，故选D。

2．下列说法中错误的是(  )。

A、两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行

B、平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变

C、平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴

D、斜二测坐标系取的角可能是

【答案】B

【解析】平行于轴的线段在直观图中变为原来的一半，故B错误，

由斜二测画法的基本要求可知A、C、D正确，故选B。

3．在下列命题中，正确命题的个数为(  )。

①两个复数不能比较大小；

②若是纯虚数，则实数；

③是虚数的一个充要条件是；

④若、是两个相等的实数，则是纯虚数；

⑤的一个充要条件是；

⑥的充要条件是。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】复数为实数时，可以比较大小，①错，

时，，②错，

为实数时，也有，③错，

时， ，④错，

⑤⑥正确，

故选B

4．设、是两个不同的平面，则的充要条件是(  )。

A、平面内任意一条直线与平面垂直

B、平面、都垂直于同一条直线

C、平面、都垂直于同一平面

D、平面内存在一条直线与平面垂直

【答案】D

【解析】若，则平面内存在直线与平面不垂直，选项A不正确；

若平面、都垂直于同一条直线，则平面与平行，选项B不正确；

若平面、都垂直于同一平面，则平面、可以平行，也可以相交，选项C不正确；

若平面内存在一条直线与平面垂直，则根据面面垂直的判定定理，可知，

若，则由面面垂直的性质定理知，

平面内垂直于两个平面的交线的直线一定垂直于平面，故选项D正确；

故选D。

5．如图，在长方体中，用截面截下一个棱锥，则棱锥的体积与剩余部分的体积之比为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】设，，，则长方体的体积，

又，且三棱锥的高为，

∴，则剩余部分的几何体体积，

则，故选A。

6．四面体中，，，，则四面体外接球的表面积为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】将四面体置于一个长方体中，

∴四面体的外接球即为长方体的外接球，

设长方体的长、宽、高分别为、、，则根据图形可有，

则外接球的直径，∴，

则球的表面积为，故选C。

7．下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图。其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为，且相邻的圆都相切，、、、是其中四个圆的圆心，则(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】如图所示，建立以、为一组基底的基向量，

其中且、的夹角为60°，

∴，，

∴，故选B。

8．在长方体中，，，、分别为上底面的边、的中点，过、的平面与底面交于、两点，、分别在下底面的边、上，，平面与棱交于点，则直线与侧面所成角的正切值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】延长和交于点，连接，

        ∵平面，平面平面，

        ∴，且，

∵，∴，

∴，∴，又，∴，

∵∽，∴，且，∴，

∵∽，∴，且，

∴，又，∴，

又直线与侧面所成角为，则，故选A。

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9．设为虚数单位，则下列命题错误的是(  )。

A、，复数是纯虚数

B、在复平面内对应的点位于第三象限

C、若复数，则存在复数，使得

D、，方程无解

【答案】ABD

【解析】A选项，只有当时，复数是纯虚数，错，

B选项，，对应的点位于第一象限，错，

C选项，若复数，则存在复数，使得，对，

D选项，，方程成立，错，

故选ABD。

10．如图所示，在正方体中，、分别是、的中点，则图中阴影部分在正方体的六个面上的正投影(投射线垂直于投射面所得的平行投影)可能为下图中的(  )。

A、                                B、

C、                                D、

【答案】AC

【解析】A选项为在上的投影，C选项为在上的投影。

11．设、、是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题是真命题的有(  )。

A、

B、

C、不与垂直

D、

【答案】BD

【解析】A选项，平面向量的数量积不满足结合律，故A假，

B选项，由向量的减法运算可知、、恰为一个三角形的三条边长，

由“两边之差小于第三边”，故B真，

C选项，∵，

∴与垂直，故C假，

D选项，，成立，故D真，

故选BD。

12．如图，在直角梯形中，，，且为的中点，、分别是、的中点，将三角形沿折起，则下列说法正确的是(  )。

A、不论折至何位置(不在平面内)，都有平面

B、不论折至何位置(不在平面内)，都有

C、不论折至何位置(不在平面内)，都有

D、在折起过程中，一定存在某个位置，使

【答案】ABD

【解析】由已知，在未折叠的原梯形中，，，

∴四边形为平行四边形，∴，

折叠后如图所示，

A选项，过点作，交于点，连接，

∵、分别是、的中点，

∴点为的中点，故，又，，

∴平面平面，故平面，对，

B选项，由已知，，，∴，，又，

∴平面，又平面，∴，对，

C选项，假设，则与确定平面，从而平面，

平面，与和是异面直线矛盾，错，

D选项，当时，，∵，，，

∴平面，平面，∴，对，

故选ABD。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．计算       。

【答案】

【解析】原式。

14．已知在正四面体中，是棱的中点，是点在底面内的射影，则异面直线与所成角的余弦值为       。

【答案】

【解析】设正四面体的棱长为，则，高，

设点在底面内的射影是，则，

∴即为所求异面直线与所成角，

则。

15．已知非零向量、满足，，且与的夹角为，则的取值范围是         。

【答案】

【解析】令，则，与的夹角为，

∴，

又，∴，∴的取值范围是。

16．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为       。

【答案】

【解析】作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：

该小虫爬行的最短路程为，

由余弦定理可得，

∴，设底面圆的半径为，则有，

解得，∴这个圆锥的高为，

这个圆锥的体积为。

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分10分）

已知、，对于任意，均有成立，试求实数的取值范围。

【解析】∵，∴，                                           2分

∴对恒成立，                                        4分

当，即时，不等式恒成立，                                        6分

当时，，                             9分

综上，。                                                           10分

18．（本小题满分12分）

已知三个点，，。

(1)求证：；

(2)若四边形为矩形，求点的坐标以及矩形两对角线所夹锐角的余弦值。

【解析】(1)证明：∵，，，∴，，                2分

∵，∴，即；               4分

(2)解：∵，四边形为矩形，∴，                         5分

设点坐标为，则，                             6分

∴，解得，∴点坐标为，                           7分

从而，，

且，，，                         9分

设与的夹角为，则，                 11分

∴矩形的两条对角线所夹锐角的余弦值为。                       12分

19．（12分）如图，底面为菱形的直棱柱中，、分别为棱、的中点。

(1)在图中作一个平面，使得，且平面；(不必给出证明过程，只要求作出与直棱柱的截面。)

(2)若，，求点到所作截面的距离。

【解析】(1)如图，取、的中点、，连接、、，

则平面即为所求平面；                                              6分

(2)设点到平面的距离为，由等体积法得：，

又，                 8分

∵，又，

∴，                             10分

又由得：，∴。            12分

20．（本小题满分12分）

如图，在以、、、、、为顶点的五面体中，平面平面，，，四边形为平行四边形，且。

(1)求证：；

(2)若，，，求此五面体的体积。

【解析】(1)过作交于，连接，

由平面平面，平面平面，

得平面，∴，                                          2分

∵，，，∴≌，∴，

由已知得为等腰直角三角形，∴，                  4分

又，，平面，

∴平面，；                                             6分

(2)取中点，连接、，由(1)可知，，又，

∴四边形为平行四边形，棱柱为斜棱柱且为此斜棱柱的直截面，

在四棱锥中，由(1)知，，

又平面平面，∴平面，

∴

。                     12分

21．（本小题满分12分）

如图所示的空间几何体中，平面平面，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上。

(1)求证：平面；

(2)求多面体的体积。

【解析】(1)证明：由题意知，、都是边长为的等边三角形，

取中点，连接、，

则，，∵平面平面，∴平面，   2分

作平面，则，根据题意点落在上，∴，

易求得，∴四边形是平行四边形，，         4分

∵平面，平面，∴平面；                5分

   (2)解：∵平面平面，，∴平面，

又∵，∴平面，                                      7分

∴三棱锥体积，           9分

又三棱锥体积，                   11分

∴多面体体积为。                            12分

22．（本小题满分12分）

如图所示，已知四棱锥，平面，底面是直角梯形，其中，，，为边上的中点。

(1)证明：平面；

(2)证明：平面平面；

(3)求三棱锥的体积。

【解析】(1)如图，取的中点，连接、，∵为中点，∴，且，

∵，，∴且，

∴四边形是平行四边形，                                              2分

∴，又平面，平面，∴平面；          4分

(2)在直角梯形中，，∴，

∴，即，                                         6分

又平面，∴，又，∴平面，

∵平面，∴平面平面；                                 8分

(3)∵为边上的中点，平面，

∴，                   10分

∵，，∴。                  12分