【新教材精创】提升篇（2）-下学期高一数学复课开学摸底考试卷（人教A版 必修第二册）

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绝密★启用前2019-2020学年度第二学期期中考试试卷（提升卷）考试时间：120分钟；考试总分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题)一、单选题（每题5分，总分60分.）1．已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（    ）A．    B．    C．    D．【答案】B【解析】依题意得，所以.2．已知平面向量,则向量(    )A．平行于第一､三象限的角平分线 B．平行于y轴C．平行于第二､四象限的角平分线 D．平行于x轴【答案】B【解析】由题：平面向量,则向量，所以平行于y轴.故选：B3．若复数（i为虚数单位），则为（    ）A． B．120° C．240° D．210°【答案】C【解析】由，得复数z对应的点在第三象限，且，所以.故选：C.4．在△ABC中，角对边分别为．若，，则（  ）A．         B．        C．         D．【答案】C【解析】根据正弦定理，，故选C．5．已知， 是不共线的非零向量，则下列各式中与不共线的是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】选项A中，，则与共线.不符合题意，排除选项A.选项B中，，则与共线. 不符合题意，排除选项B.选项C中，，则与共线. 不符合题意，排除选项C.选项D中，假设与共线，则，为实数，则，∴∴，这样的不存在，因此假设不成立，所以与不共线.符合题意.故选：D6．已知平面向量， 夹角为，且， ，则与的夹角是（   ）A．    B．    C．    D．【答案】A【解析】由题意可知： ，则： ，且： ，设所求向量的夹角为 ，有： ，则与的夹角是 .本题选择A选项.7．欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于(　　)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】由题意得，e2i＝cos 2＋isin 2，∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)．∵2∈，∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，∴e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故选B.8．设为虚数单位，，则实数A．2 B．1C．0 D．−1【答案】C【解析】由，得，所以，故选C．9．在中，,其面积，则夹角的取值范围为（     ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设| 与的夹角为

.故选B． 10．在中,内角对的边分别为.若,则的取值范围为（   ）A．                 B．                 C．                  D．【答案】D【解析】由正弦定理得,又由题意知,则,即.故选D.11．在中，是的重心，且，其中，，分别是角，，的对边，则（      ）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】A【解析】在中，是的重心，根据三角形重心性质有，由题：，所以，由余弦定理得，在中，故选：A12．已知点是边长为2的正方形所在平面内一点，若，则的最大值是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，，得，即点在以点为圆心，1为半径的圆周上运动，所以的最大值为，故选:C. 第II卷（非选择题)二、填空题（每题5分，总分20分.）13．已知三点，，共线，则x为________.【答案】【解析】设，所以所以，所以，，所以.14．不共线向量，满足，且，则与的夹角为________.【答案】【解析】由垂直可知=0,即,,,又因为 ,所以.填（或）.15．_______________.【答案】【解析】=故答案为： .16．在中，角，，的对边分别为，，，已知，若的面积为，则当的值最小时的周长为____________．【答案】【解析】由及正弦定理可得，所以由余弦定理的推论可得，因为，所以．因为的面积为，所以，即，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为，此时，，所以△ABC是等边三角形，故的值最小时△ABC的周长为． 三、解答题（17题10分，18-22题各12分，总分70分.）17．已知向量与的夹角为60°，||=1，||=2（1）求（2﹣）•；（2）求：|2+|．【答案】（1）1；（2）．【解析】（1）（2）=．18．已知复数（其中是虚数单位，）.（1）若复数是纯虚数，求的值；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），若复数是纯虚数，则，所以.（2）由（1）得，，，因为是开口向上的抛物线，有最小值；所以.19．如图，在中，，点E，F分别是，的中点．设，．（1）用表，．（2）如果，，，有什么关系？用向量方法证明你的结论．【答案】（1），；（2），证明见解析【解析】（1）；．（2），证明如下：设，则，．．∴，∴．20．在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为，（其中为原点）.已知点对应的复数，求和分别对应的复数.【答案】，.【解析】根据题意画出草图，如图所示.由复数运算的几何意义知，.21．在中，、、分别是角、、的对边，且.（1）若，求；（2），，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据余弦定理及，得，，即，.，，，即，；（2），，，，则，，即，，的面积.22．在海岸A处，发现北偏东方向，距离A为 n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西方向，距离A为2 n mile的C处有一艘缉私艇奉命以n mile / h的速度追截走私船，此时，走私船正以10 n mile / h的速度从B处向北偏东方向逃窜，问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间．(本题解题过程中请不要使用计算器，以保证数据的相对准确和计算的方便)【答案】缉私艇沿北偏东60°方向行驶才能最快追上走私船，这需小时【解析】设缉私艇追上走私船需t小时，  则BD=10 t n mile  CD=t n mile  ∵∠BAC=45°+75°=120°  ∴在△ABC中，由余弦定理得即　由正弦定理得　∴　∠ABC=45°，∴BC为东西走向∴∠CBD=120°　在△BCD中，由正弦定理得∴　∠BCD=30°，∴　∠BDC=30°∴即　∴　　（小时）答：缉私艇沿北偏东60°方向行驶才能最快追上走私船，这需小时.