高中数学人教版新课标A必修23.1 直线的倾斜角与斜率复习练习题

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[时间：35分钟 分值：80分]
eq \a\vs4\al\c1(基础热身)
1．在下列关于斜率与倾斜角的说法中正确的是( )
A．一条直线与x轴正方向所成的正角叫做这条直线的倾斜角
B．倾斜角是第一或第二象限的角
C．直线倾斜角的正切值就是这条直线的斜率
D．斜率为零的直线平行于x轴或重合于x轴
2．已知直线ax＋by＋c＝0(ab≠0)在两坐标轴上的截距相等，则a，b，c满足的条件是( )
A．a＝b B．|a|＝|b|
C．c＝0或a＝b D．c＝0且a＝b
3．过点P(－2，m)和Q(m,4)的直线斜率等于1，那么m的值等于( )
A．1或3 B．4
C．1 D．1或4
4．已知点A(－1,2)，B(2，－2)，C(0,3)，若点M(a，b)(a≠0)是线段AB上的一点，则直线CM的斜率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(5,2)))
B．[1，＋∞)
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(5,2)))∪[1，＋∞)
D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，1))
eq \a\vs4\al\c1(能力提升)
5．已知直线l的倾斜角α满足条件sinα＋csα＝eq \f(1,5)，则l的斜率为( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(3,4) C．－eq \f(4,3) D．－eq \f(3,4)
6．已知a>0、b<0、c>0，则直线ax＋by＋c＝0必不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
7．若直线经过点(1,1)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则这样的直线共有( )
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
8．直线l1，l2关于x轴对称，l1的斜率是－eq \r(7)，则l2的斜率是( )
A.eq \r(7) B．－eq \f(\r(7),7) C.eq \f(\r(7),7) D．－eq \r(7)
9．[2011·三明模拟] 将直线l1：x－y－3＝0，绕它上面一定点(3,0)沿逆时针方向旋转15°得直线l2，则l2的方程为________．
10．直线过点(2，－3)，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则这样的直线方程是________．
11．[2011·安徽卷] 在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点，下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；
②如果k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点；
③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；
④直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数；
⑤存在恰经过一个整点的直线．
12．(13分)已知直线l的方程是y＝－(a＋1)x＋2－a(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
(2)若l与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，求直线l的方程．
eq \a\vs4\al\c1(难点突破)
13．(12分)为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图K44－1所示)，其中在△AEF区域内有一文物保护区不能占用，经测量AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应如何设计才能使草坪面积达到最大？并求这一最大面积．
图K44－1
课时作业(四十四)
【基础热身】
1．D [解析] 注意与相应的概念相对照，一一判断．
2．C [解析] 由－eq \f(c,a)＝－eq \f(c,b)得C正确．
3．C [解析] 根据斜率公式eq \f(4－m,m＋2)＝1，解得m＝1.
4．C [解析] 因kAC＝eq \f(2－3,－1－0)＝1，kBC＝eq \f(3－－2,0－2)＝－eq \f(5,2)，且点A，B在y轴两侧．故选C.
【能力提升】
5．C [解析] α必为钝角，且sinα的绝对值大，故选C.
6．D [解析] 斜率大于0，且在x轴上的截距－eq \f(c,a)<0，在y轴上的截距－eq \f(c,b)>0，由图形分析即得．如图．
7．B [解析] 作图易得在第一、二、四象限各能围成一个．
8．A [解析] 画出图形，根据对称性分析两直线的倾斜角之间的关系，再判断其斜率之间的关系．如图，显然直线l2的斜率为eq \r(7).
9.eq \r(3)x－y－3eq \r(3)＝0 [解析] 已知直线的倾斜角是45°，旋转后直线的倾斜角增加了15°，由此即得所求直线的倾斜角，进而求出斜率和直线方程．直线l2的倾斜角为60°，斜率为eq \r(3)，故其方程为y－0＝eq \r(3)(x－3)，即eq \r(3)x－y－3eq \r(3)＝0.如图．
10．y＝－eq \f(3,2)x或eq \f(x,5)－eq \f(y,5)＝1 [解析] 设直线方程为为eq \f(x,a)－eq \f(y,a)＝1或y＝kx的形式后，代入点的坐标求得a＝5和k＝－eq \f(3,2).
11．①③⑤ [解析] ①正确，比如直线y＝eq \r(2)x＋eq \r(3)，不与坐标轴平行，且当x取整数时，y始终是一个无理数，即不经过任何整点；②错，直线y＝eq \r(3)x－eq \r(3)中k与b都是无理数，但直线经过整点(1,0)；③正确，当直线经过两个整点时，它经过无数多个整点；④错误，当k＝0，b＝eq \f(1,3)时，直线y＝eq \f(1,3)不通过任何整点；⑤正确，比如直线y＝eq \r(3)x－eq \r(3)只经过一个整点(1,0)．
12．[解答] (1)依题意a＋1≠0，∴eq \f(a－2,a＋1)＝a－2，
∴a＝2，或a＝0，
∴所求的直线方程是3x＋y＝0，或x＋y－2＝0.
(2)设所围成的面积为S，则S＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(a－2,a＋1)))|a－2|＝2，
∴(a－2)2＝4|a＋1|，解得a＝8，或a＝0，
∴所求直线方程是x＋y－2＝0，或9x＋y＋6＝0.
【难点突破】
13．[解答] 建立如图所示的直角坐标系，则E(30,0)，F(0,20)，线段EF的方程是eq \f(x,30)＋eq \f(y,20)＝1(0≤x≤30)，
在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于Q，作PR⊥CD于R，设矩形PQCR的面积为S，则
S＝|PQ||PR|＝(100－m)(80－n)，
又eq \f(m,30)＋eq \f(n,20)＝1(0≤m≤30)，
∴n＝20eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(m,30)))，
∴S＝(100－m)80－20＋eq \f(2,3)m
＝－eq \f(2,3)(m－5)2＋eq \f(18 050,3)(0≤m≤30)，
故当m＝5时，Smax＝eq \f(18 050,3)，此时eq \(EP,\s\up6(→))＝eq \f(30－5,5)eq \(PF,\s\up6(→))，
即eq \(EP,\s\up6(→))＝5eq \(PF,\s\up6(→)).
∴当草坪矩形的两边在BC，CD上，一个顶点在线段EF上，且满足条件eq \(EP,\s\up6(→))＝5eq \(PF,\s\up6(→))时有最大面积，这一最大面积为eq \f(18 050,3) m2.