精品试卷：2020-2021学年高一数学下学期期中测试卷（沪教版2020）03（测试范围：必修第二册第6、7章）

高一期中检测卷（三）

时间：120分钟    分值：150分

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．（2020·江西高一月考）若角的终边经过点，则 （    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，所以点，

点到坐标原点的距离为，

由三角函数的定义可得：，故选：D.

2．（2020·江西高一月考）若，则 （    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，

所以，故选：A.

3．（2021·陕西榆林市·高三二模（文））我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜．其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”题意是有一个三角形的沙田，其三边长分别为13里、14里、15里、1里为300步，设6尺为1步，1尺＝0.231米，则该沙田的面积约为（    ）（结果精确到0.1，参考数据：）

A．15.6平方千米 B．15．2平方千米 C．14.8平方千米 D．14.5平方千米

【答案】D

【解析】由海伦公式其中，分别为三角形三边长，

可得：该沙田的面积

平方米≈14.5平方千米，故选：D

4．（2021·河南高三月考（文））函数的部分图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为，

所以的定义域为，

则，故排除C；

而，

所以为奇函数，

其图象关于原点对称，故排除B；

当时，，，所以排除A．

故选：D．

5．（2021·全国高三其他模拟）若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，

由，得，

所以，，

故选：A．

6．（2021·安徽高三期末（文））将函数的周期为，则以下说法正确的是（    ）

A． B．函数图象的一条对称轴为

C． D．函数在区间，上单调递增

【答案】C

【解析】函数的周期为，所以，A错；

时，，不是对称轴，B错；

时，，即为最大值，因此正确，C正确；

时，，而在上不单调，D错；

故选：C．

7．（2021·黑龙江大庆市·高三一模（文））已知函数（，）的图象过点，且相邻两个零点的距离为.若将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则函数的解析式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由题意，函数的图象相邻两个零点的距离为，

可得，可得，即

又由函数过点，可得，解得，

即，又因为，可得，即，

将函数的图象向左平移个单位，可得，

即函数的解析式为.故选：C.

8．（2021·全国高三专题练习）已知的三边分别为，且边上的高为，则的最大值为 （    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【解析】由题，三角形的面积：

由余弦定理：

可得：

所以

所以的最大值为4.故选：C

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

9．（2020·全国高一课时练习）(多选题)下列各式中，值为的是（    ）

A． B．

C．cos2－sin2 D．

【答案】AC

【解析】A符合，原式；

B不符合，原式；

C符合，原式；

D不符合，原式..故选：AC.

10．（2021·河北邯郸市·高一期末）已知曲线，，则下面结论正确的是（    ）

A．把曲线向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到曲线

B．把曲线向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到曲线

C．把曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移单位长度，得到曲线

D．把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线

【答案】BD

【解析】曲线到曲线的转换可通过两个途径放缩、平移可得：

途径一：向右平移，即，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即，可得选项B正确.

途径二：把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即，所得曲线向右平移个单位长度即，可得选项D正确.故选: BD

11．（2021·全国高一课时练习）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知， ，且，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【解析】.

整理可得:

可得

为三角形内角,

故A正确，B错误.

解得 ,

由余弦定理得

解得, 故C错误，D正确.故选: AD.

12．（2021·山东高三专题练习）函数的部分图像如图中实线所示，图中的M、N是圆C与图像的两个交点，其中M在y轴上，C是图像与x轴的交点，则下列说法中正确的是（ ）

A．函数的一个周期为 B．函数的图像关于点成中心对称

C．函数在上单调递增 D．圆C的面积为

【答案】BD

【解析】由图知：，中，即，

，

，，

令，对称中心为；

令， 单调增区间；

圆的半径，则圆的面积为；

综上，知：AC错误，而BD正确.故选：BD.

第Ⅱ卷(非选择题，共90分)

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．（2021·江苏高一课时练习）已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则A＋B＝____.

【答案】

【解析】∵B为锐角，.

∴，

由于，所以.

故答案为：

14．（2021·上海高一）已知，那么的值为_____________.

【答案】

【解析】由，得

，

由，得

所以，

所以，故答案为：

15．（2021·全国高三月考（理））锐角三角形的面积为，内角的对边分别为，若，则________.

【答案】

【解析】根据余弦定理得，三角形面积公式得，二倍角公式得：，

因为，所以，

因为是锐角三角形，

所以，即：，所以.

故答案为：

16．（2021·浙江宁波市·高三月考）下图是函数的部分图像，则_____，_____．

【答案】2       

【解析】根据函数的图象，所以，

当时函数值为，且为下降的零点，即，

解得，由于，所以，

所以，．

故答案为：，．

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．（2021·江苏高一课时练习）化简下列各式：

（1）；

（2）.

【解析】（1）原式=.

（2）原式=

18．（2021·江苏高一课时练习）如图所示，在平面直角坐标系中，以为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆相交于、两点，已知点、的横坐标标分别为、.求的值.

【解析】由三角函数的定义可得，，

因为、为锐角，则，，

因此，.

19．（2020·南昌市第三中学高一月考）已知函数的最小值为，求实数的值.

【解析】设，令，

则.

（1）若，函数在上单调递增，

当时，函数取最小值，即，

解得（舍去）或；

（2）当时，，整理得，

解得（舍去）或；

（3）若，函数在区间上单调递减，

当时，函数取最小值，即，

解得（舍去）或（舍去）.

综上所述，或.

20．（2021·江苏省苏州实验中学高一月考）现给出以下三个条件：①的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为；②的图象上的一个最低点为；③.

请从上述三个条件中任选两个，补充到下面试题中的横线上，并解答该试题.

已知函数，满足___________，___________.

（1）根据你所选的条件，求的解析式；

（2）将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，求的单调递增区间.

【解析】（1）选择①②：由的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，

即函数的最小正周期为，可得，

又由的图象上的一个最低点为，可得，

即，解得，

所以，

因为，可得，所以.

选择①③：由的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，

即函数的最小正周期为，可得，

又由，可得，即，

因为，可得，所以.

选择②③：由，可得，即，

因为，可得，所以，

又由的图象上的一个最低点为，可得，

即，解得，即，

因为，令，可得，所以.

（2）将的图象向左平移个单位长度，

得到，

令，解得，

所以函数的单调递增区间为.

21．（2021·苏州市第五中学校高一月考）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟.当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.

（1）经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足(其中，，)求摩天轮转动一周的解析式；

（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？

【解析】（1）该摩天轮轮盘直径为124米，且摩天轮最高点距离地面145米，

摩天轮最低点距离地面米，即，

，解得

又摩天轮匀速转动一周大约需要30分钟，的最小正周期为

，

又，

，

所以摩天轮转动一周的解析式为：()

（2）由（1）知，()，

令，解得：

要求求摩天轮第一次距离地面的高度为52米，，，

，

所以游客甲坐上摩天轮后5分钟，距离地面的高度第一次恰好达到52米.

22．（2021·上海高一单元测试）如图，岛、相距海里．上午9点整有一客轮在岛的北偏西且距岛海里的处，沿直线方向匀速开往岛，在岛停留分钟后前往市．上午测得客轮位于岛的北偏西且距岛海里的处，此时小张从岛乘坐速度为海里/小时的小艇沿直线方向前往岛换乘客轮去市．

（Ⅰ）若，问小张能否乘上这班客轮？

（Ⅱ）现测得，．已知速度为海里/小时()的小艇每小时的总费用为()元，若小张由岛直接乘小艇去市，则至少需要多少费用？

【解析】（Ⅰ）如图，根据题意得：

，，，．

在中，由余弦定理得，

,

所以客轮的航行速度（海里/小时）．

因为，所以，

所以．

在中，由余弦定理得，，

整理得：，

解得或（不合舍去）．

所以客轮从处到岛所用的时间小时，

小张到岛所用的时间至少为小时．

由于，

所以若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮.

（Ⅱ）在中，，,

所以为锐角，，．

所以.

由正弦定理得，,

所以,

所以小张由岛直接乘小艇去城市的总费用为

()，

当且仅当，即时，（元）.

所以若小张由岛直接乘小艇去市，其费用至少需元．