北师大版九年级下册第三章 圆综合与测试教案

车轮为什么做成圆形 

教学目标：

（1）经历形成圆的概念的过程，经历探索点和圆位置关系的过程；

（2）理解圆的概念，理解点和圆的位置关系，并能根据条件画出符合条件的点或图形，

初步形成集合的现念；

（3）让学生在经历圆的概念的形成过程中，通过探索与交流，进一步发展学生探索交流的能力和数学表达能力；

（4）在学习中体会圆的实际应用，感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生以理论为依据分析问题、解决问题的良好习惯．

教法及学法指导：

本节应用五环教学模式：创设情境—感知探究—合作交流—拓展应用—总结升华．由于本部分知识在小学已经学过，学生也易于接受，因而主要多设计活动，让学生多些体验多些思考，激发学生学习的投入性．对于涉及知识拓展应用时，由学生生通过合作、交流与探究，掌握解决问题的方法和所使用的原理．在实际教学中，尽可能采取学生自主探索、合作交流，通过分析交流，总结规律及建立数学模型的经验．

课前准备：

教师准备：课件、直尺、圆规

学生准备：直尺、圆规，预习课本第90~93页

课前活动一：以小组为单位，用硬纸片做成三角形、正方形（或长方形）、圆形等不同形状的车轮，中心位置穿过笔芯，模拟车轮在地面上转动，有什么发现？与同学们交流体验．

【设计意图】让学生动手操作，模拟不同形状的车轮，体验哪一种转动的平稳，初步感受日常生活中的车轮为什么做成圆形，而不是其它形状，并探究其中的原由，也为本节课学习圆的概念打下基础．

【实际效果】学生积极性很高，做了很多形状不同的图形，验证了只有圆形的车轮转动起来较为平稳．由于转轴处太紧或太松、地面太平，转起来有些打滑，需调整转轴处，在铺有毛巾的桌面上效果显著．

课前活动二：体育课或课外活动进行，男、女生分开，组成两组分别进行．规则是：选出一位同学，其余同学手拿蓝球，投向这位同学，这位同学躲开，看谁最先能投中这位同学？你认为应当排成什么样的队形，对每个人都公平？

【设计意图】这是平时学生经常玩的一个活动，这一次再玩时是需要带着数学的眼光，“玩中学，学中玩”，快乐学习，从而体验到学习的快乐！这不仅为学习圆的集合概念做准备，也为学习点与圆的位置做了铺垫．

【实际效果】学生玩得相当高兴，尤其是球到处乱跑，更加体现了球（点）与大家站成的圆圈（圆）有不同的位置关系．

教学过程：

一、创设情境

师：请各小组先说一说你们车轮模拟试验的体验．

生：三角形转动的不平衡，忽上忽下的，有点像坐轿子．

生：我们做了一个长方形的，那体验才刺激，应该像坐过山车吧，不过真要做成车轮，开快不知能把人颠成什么样了，反正我是不敢坐的．

生：我们做了圆的，但是也不怎么平稳，与我们的想象不一样，为什么呢？

师：我看看，你们的图形虽说是圆形，但是中心位置太偏了，你看稍微向这挪一下不就行了．

生：通过这些模拟试验，我们感到确实是圆形的车轮转动起来是最平稳的．

生：究其原因，圆形车轮边缘上任意一点到圆心的距离是相等的，所以能够保证车轮能够平稳地转动，而其它的这些图形不能满足这一条件，所以会产生上上下下的感觉．

师：由于我们的地面相对来说比较平，因而设计成圆形的车轮能够使车子跑起来比较平稳．但是，如果是这样的特殊“地面”，车轮不是圆形的也可以比较平稳的，有兴趣的同学可以进一步探究！

师：圆在我们日常生活中应用相当广泛，从本节课开始，我们就来探究圆的概念，有哪些性质，有哪些应用？

【设计意图】展示小组活动成果，增强学生的动手能力，体验收获的喜悦，启发学生思考问题要从多个角度考虑，感知数学的魅力．为圆上的每一点到圆心的距离都相等做好铺垫．

【实际效果】学生兴致很高，动手又动脑，在做中总结规律．“特殊”地面，让学生眼前一亮，拓宽了思路，可多角度多方位想问题，发散性很强，对学生触动很大！

二、感知探究

1．圆的概念

师：很好！大家投球玩得很高兴吧，向我汇报一下你们是如何排列队形的？

生：我们大家围成了一个圆形，使每个同学距离中间同学的距离相离，才能对每个同学都公平，而且球也不容易跑到外面去．

师：在数学上我们规定，平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．其中定点称为圆心，定长称为半径的长（通常也称为半径）．以点O为圆心的圆记作⊙O，读作“圆O”．

师：体育老师想利用一根3m长的绳子在操场上画一个半径为3m的圆，你能帮助他想想办法吗？

生：将绳子的一端A固定，然后拉紧绳子的另一端B，并绕A在在上转一圈，B所经过后路径就是所的圆．

师：下面我给大家演示一下我的独门绝技：徒手画圆！一般人我不告诉他．（固定小拇指指尖，大拇指与食指夹住粉笔旋转一周即得圆）

生：佩服！佩服！简单实用，而且是圆的概念的直接应用．

师：作图时画圆我们通常用到的工具是什么？

生：圆规．

师：请两位同位同学到黑板上来画，其余同学在本子上练习使用圆规．（老师指点）

师：大家看这两个圆有什么不同？

生：一大一小，很明显，半径不同．

生：位置也不同，一左一右，圆心位置也不同．

师：所以说，确定一个圆需要两个要素，一是位置，二是大小．圆心确定位置，半径确定其大小．

【设计意图】学生在小学数学中已经学过圆的概念，我们在此主要体现的是集合的观点，是“点动成线”的体现，也渗透了轨迹的思想．明确确定圆的两个要素的作用，对今后作圆或在解析几何中求圆的方程都是十分重要的．

【实际效果】用身边的工具作圆，学生方法很多，当看到我表演徒手画圆时更是兴奋，学生感到数学的理论画图——圆规，地球人都知道，但是借助绳子、手等身边的工具更具有实际应用价值，也充分体现了数学原理．

2．点与圆的位置关系

师：在投球游戏中，大家围成圆形，记作⊙O，中间的那位同学就是圆心O，如果把球看作一个点P的话，那点P会落在⊙O的哪些位置？

生：有可能在⊙O内部．

生：在大家手上的话可以叫做在⊙O上．

生：如果没有接住球跑到外面去，那就落在⊙O的外部．

生：如果球恰好击中中间同学的话呢？

生：也应该是在⊙O内部．

生：总体来说，点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆外．

师：如图，三个点A，B，C代表三种不同的球的落点，这三个点到圆心O的距离d与⊙O的半径有什么大小关系？

生：

师：反过来，你能根据点P与的半径r的大小关系，确定点P与⊙O的位置关系吗？

生：当d>r时，点P在圆外；当d=r时，点P在圆上；当d<r时，点P在圆内．

生：点P在圆外d>r；

点P在圆上d=r；

点P在圆内d<r．

师：做一做：设AB=3cm，作图说明满足下列要求的图形：

（1）到点A和点B的距离都等于2cm的所有点组成的图形．

（2）到点A和点B的距离都小于2cm的所有点组成的图形．

生：到点A的距离等于2cm的所有点组成的图形是⊙A，到点B的距离等于2cm的所有点组成的图形是⊙B，两个条件同时满足应该是两圆的交点P，Q，如图（1）．

生：到点A和点B的距离都小于2cm的所有点应该在两圆的内部，如图（2）．

【设计意图】从投球游戏得出点与圆有三种不同的位置关系的直观感受，探究得到点到圆心的距离与半径的数量关系，二者可相互作为判断依据．然后通过画图表示满足条件点的集合，渗透了一种常用的数学法——交集法，让学生再次经历用集合的观点理解图形的过程．

【实际效果】点与圆的位置关系和点到圆心的距离与半径的数量关系，这二者关系学生接受很快，但对于利用图形表示满足条件的点的集合时，还不是很理解．可先让学生分步思考，将条件分成两个：①满足条件的点与⊙A有怎样的位置关系？②满足条件的点与⊙B有怎样的位置关系？

三、交流提高

1．点与圆的位置关系与数量关系的联系

师：点与圆有三种不同的位置关系，利用点到圆心的距离可衡量，以小组为单位，以表格的形式进行总结．

生：

【设计意图】先由学生交流学到的知识点，形成印记，再通过表格的形式让学生将系统，形成网络，也为后面学习直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系做类比．让学生形成系统的知识结构，及时总结规律，能够做到举一反三，有利于类比归纳．

【实际效果】利用表格，结合图象，即直观形象又简单易于记忆，学生掌握地很快很好！

2．几点共圆问题

师：大家总结得很好！那么，如图（3），矩形ABCD的四个顶点是否在同一个圆上呢？你能否加以证明．

生：要想A，B，C，D四个点在同一个圆上，只需说明．

证明：四边形是矩形，

∴，，，

∴

∴点A，B，C，D都在以O为圆心的同一个圆上．

变式练习一：如图（4），若，均为直角三角形，试说明这A，B，C，D也在同一个圆上．

生：取的中点，连接，，

在中，为斜边的中点，

∴．

在中，为斜边的中点，

∴．

∴．

∴点A，B，C，D都在以O为圆心的同一个圆上．

变式练习二：如图（5），是的高，求证：四点在同一个圆上．

生：从是的高可得出，和均为直角三角形，且斜边是公共的，因而和上题差不多，取斜边的中点可得．

生：证明：取的中点，连接，，

在中，为斜边的中点，

∴．

在中，为斜边的中点，

∴．

∴．

∴点都在以O为圆心的同一个圆上．

【设计意图】几点共圆问题是较为常见的一个题型，主要是对圆的概念的理解与应用，难点在于所涉及的知识点与前面所学的三角形、四边形的性质有关，综合性较强，通过分析，提高学生到概念的进一步理解，提高学生的综合分析问题的能力．

【实际效果】对于矩形的四个顶点共圆，学生能够分析得出，存在推理不严谨和步骤不规范两个问题．下面的两个变式，虽说图形差不多，但所运用的知识点不同，学生对“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一原理掌握不好，同时添加辅助线也是一个难点，只有个别学生想到，可让学生充分讨论交流，由学生讲给大家听．

四、拓展应用

师：已知⊙O的半径为1，点到圆心的距离为，且方程有实根，试判定点与⊙O的位置关系．

生：∵方程有实根，

∴，即，解得．

∴当时，点在⊙O内； 

当时，点在⊙O上．

【设计意图】考查学生由点到圆心的距离与半径的关系来判定点与圆的位置关系，还综合考了对一元二次方程有实根的理解．

【实际效果】学生分析得很快，但是易对有实根仅仅理解为“”，导致判定点与圆的位置关系不全面，通过练习学生思考需再严谨和知识点落实要到位．

五、总结升华

生：我们在小学数学中已经学过圆的概念，本节课在此用集合的观点给出了圆的描述性定义．

生：学到了点与圆的三种位置关系，且可以通过点到圆心的距离与半径的数量关系来量化．

生：可能利用圆的定义来画圆，在实际生活中应用很广．

生：通过几点共圆问题的探究，我对圆的定义有了进一步的理解，同时也掌握了此类题的解决方法．

……

【设计意图】让学生小组交流，总结本节课的收获与感想，教师适当点拨与肯定．鼓励学生大胆发表见解，让学生不仅总结知识，更重要的是要通过本节课总结情感体验上的收获，进一步认识数学的应用价值，对学生的触动很大．

【实际效果】学生在这一环节能大胆发言，畅谈自己的收获与疑问，脸上露出了获取知识的喜悦．学生通过回顾本节课的学习过程，体会到“学有用的数学，学有价值的数学”，越发感到数学的亲切！

六．当堂反馈

1．如图（6），一根5m长的绳子，一端拴在柱子上，另一端拴着一只羊（羊只能在草地上活动），请画出羊的活动区域．

【考查知识点】圆的定义、用圆规作圆

2．已知⊙O的面积为．

（1）若，则点在                 ；

（2）若，则点在                   ；

（3）若               ，由点在⊙O上．

【考查知识点】点与圆的位置关系

3．设，作图说明：到点的距离小于，且到点的距离大于的所有点组成的图形．

【考查知识点】点与圆的位置关系、用图形表示满足条件点的集合

七、作业设置

1．【基础知识】⊙O的半径为3，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（2，2），则点P与⊙O的位置关系是                 ．

【考查知识点】点与圆的位置关系、平面直角坐标系

2．【能力提升】已知中，，，，以点为圆心作，半径为．

（1）当取什么值时，点在外？

（2）当取什么值时，点在内，点在外？

【考查知识点】点与圆的位置关系、作图能力

 3．【拓展应用】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图（7），据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超四级，则称为受台受影响．  

（1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由；

（2）若会受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？      

（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？

【考查知识点】点与圆的位置关系、解直角三角形

八、板书设计

九、教学反思

教材给出了圆形车轮的图片，学生也知道车轮都是圆形的，对于为什么多多少少也能说出一点，但是学生缺乏这方面的体验，因而我让学生课前做不同形状的车轮模拟试验，感受每种不能形状的运转平稳性，得到切身的体验，极大地调动学生的积极性和参与性，也锻炼了动手能力，我又给学生展示了“特殊”地面的情况，无疑打破了学生的传统思维，对开发学生的能力是个极大振动，我希望能起到抛砖引玉的效果．

本节课中我的徒手画圆对学生触动很大，下课后学生纷纷到黑板上去模仿，这说明老师的示范带动作用影响很大，也让学生体会到一技之长也可以让你自信心倍增，说不准会给你带来意想不到的机会呢．事实上，我更想上同学们意识到数学的应用价值．

本节课的变式练习也是较为成功的一面，学生对圆的概念和点与圆的位置关系往往只存在结论上面，通过变式练习，学生深刻体会到几点共圆，实质上就是点到圆的距离都相等，等于一个定值（半径）即可，难点的突破，学生感到知识点的落实很重要，普遍感到学过的定理忘记了，需要多多强化．

通过本节课的学习，增强了应用数学知识的意识，获得了利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受了数学建模思想和数学知识的应用价值．及时总结，理清了学生思考的方向和规律，学生能做到有章可寻，放手让学生总结归纳，形成良好地主动学习氛围．让学生提出解决问题的方案．鼓励学生独立思考、合作交流，进行探索规律的活动．

注意改进的方面：为了满足不同层次同学们的需要，问题设置与提问时要分层设计，布置作业时采用必做题与选做题相结合的方法，对成绩一般的同学只需完成必做题即可，而对学有余力的同学则要求必须同时完成必做题和选做题．相信学生并为学生提供充分展示自己的机会．课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度．