必修11.3.1单调性与最大(小)值第2课时综合训练题

2014年高中数学 1.3.1 单调性与最大(小)值第2课时同步测试（含解析，含尖子生题库）新人教A版必修1

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．函数y＝在区间上的最大值是(　　)

A.   B．－1

C．4   D．－4

解析：　∵函数y＝在上是减函数，

∴ymax＝＝4.

答案：　C

2．函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为(　　)

A．10,6   B．10,8

C．8,6   D．以上都不对

解析：　f(x)在[－1,2]上单调递增，

∴最大值为f(2)＝10，最小值为f(－1)＝6.

答案：　A

3．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为(　　)

A．－1   B．0

C．1   D．2

解析：　f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a.

∴函数f(x)图象的对称轴为x＝2，

∴f(x)在[0,1]上单调递增．

又∵f(x)min＝－2，∴f(0)＝－2，即a＝－2.

∴f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.

答案：　C

4．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，1]   B．(－∞，0)

C．(－∞，0]   D．(0，＋∞)

解析：　a<－x2＋2x恒成立，则a小于函数f(x)＝－x2＋2x，x∈[0,2]的最小值，而f(x)＝－x2＋2x，x∈[0,2]的最小值为0，故a<0.

答案：　B

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．函数f(x)＝在区间[2,4]上的最大值为________，最小值为________．

解析：　∵f(x)＝＝＝1－，

∴函数f(x)在[2,4]上是增函数，

∴f(x)min＝f(2)＝＝，

f(x)max＝f(4)＝＝.

答案：　　

6．在已知函数f(x)＝4x2－mx＋1，在(－∞，－2]上递减，在[－2，＋∞)上递增，则f(x)在[1,2]上的值域________．

解析：　由题意知x＝－2是f(x)的对称轴，则＝－2，m＝－16，

∴f(x)＝4x2＋16x＋1

＝4(x＋2)2－15.

又∵f(x)在[1,2]上单调递增．f(1)＝21, f(2)＝49，

∴在[1,2]上的值域为[21,49]．

答案：　[21,49]

三、解答题(每小题10分，共20分)

7．已知函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈A，当A为下列区间时，分别求f(x)的最大值和最小值．

(1)A＝[－2,0]；(2)A＝[2,3]．

解析：　f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，

其对称轴为x＝1.

(1)A＝[－2,0]为函数的递减区间，

∴f(x)的最小值是2，最大值是10；

(2)A＝[2,3]为函数的递增区间，

∴f(x)的最小值是2，最大值是5.

8．已知函数f(x)＝，x∈[3,5]，

 (1)判断函数f(x)的单调性并证明．

(2)求函数f(x)的最大值和最小值．

解析：　(1)任取x1，x2∈[3,5]且x1<x2，则

f(x1)－f(x2)＝－

＝

＝

＝.

∵x1，x2∈[3,5]且x1<x2，

∴x1－x2<0，x1＋2>0，x2＋2>0，

∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)，

∴函数f(x)＝在x∈[3,5]上为增函数．

(2)由(1)知，当x＝3时，函数f(x)取得最小值为f(3)＝；

当x＝5时，函数f(x)取得最大值为f(5)＝.

☆☆☆

9．(10分)如图所示，动物园要建造一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍，可供建造围墙的材料总长为30 m，问：每间笼舍的宽度x为多少时，才能使得每间笼舍面积y达到最大？每间笼舍最大面积为多少？

解析：　设总长为b，

由题意知b＝30－3x，

可得y＝xb，

即y＝x(30－3x)

＝－(x－5)2＋37.5，x∈(0,10)．

当x＝5时，y取得最大值37.5，

即每间笼舍的宽度为5 m时，每间笼舍面积y达到最大，最大面积为37.5 m2.