人教版新课标A必修12.1.2指数函数及其性质测试题

2.1.2.1指数函数及其性质

一、选择题

1．下列函数中，值域是(0，＋∞)的函数是(　　)

A．y＝2　　　　 　 　  B．y＝

C．y＝      D．y＝()2－x

[答案]　D

[解析]　在A中，∵≠0，∴2≠1，所以函数y＝2的值域是{y|y>0，且y≠1}．

在B中，∵2x－1≥0，∴≥0，所以函数y＝的值域是[0，＋∞)．

在C中，∵2x＋1>1，∴>1，所以函数y＝的值域是(1，＋∞)．

在D中，由于函数y＝()2－x的定义域是R，也就是自变量x可以取一切实数，所以2－x也就可以取一切实数，所以()2－x取一切正实数，即函数y＝()2－x的值域为(0，＋∞)，故选D.

2．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)．经过3个小时，这种细菌由1个可繁殖成(　　)

A．511个       B．512个

C．1 023个       D．1 024个

[答案]　B

[解析]　∵每20分钟分裂一次，故3个小时共分裂了9次，∴29＝512，故选B.

3．如果函数y＝(ax－1)－的定义域为(0，＋∞)那么a的取值范围是(　　)

A．a>0       B．0<a<1

C．a>1       D．a≥1

[答案]　C

[解析]　y＝(ax－1)－＝，因此ax－1>0

∴ax>1，又∵x>0，∴a>1，故选C.

4．函数y＝a|x|(0<a<1)的图象是(　　)

[答案]　C

[解析]　y＝，∵0<a<1，∴在[0，＋∞)上单减，在(－∞，0)上单增，且y≤1，故选C.

[点评]　可取a＝画图判断．

A．a>b>c       B．b>a>c

C．b>c>a       D．c>b>a

[答案]　B

即a>c，∴b>a>c.

[点评]　指数函数的图象第一象限内底大图高，

6．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a等于(　　)

A.        B．2

C．4        D.

[答案]　B

[解析]　当a>1时，ymin＝a0＝1；ymax＝a1＝a，

由1＋a＝3，所以a＝2.

当0<a<1时，ymax＝a0＝1，ymin＝a1＝a.

由1＋a＝3，所以a＝2矛盾，综上所述，有a＝2.

7．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax与指数函数g(x)＝ax的图象可能是(　　)

[答案]　B

[解析]　由指数函数的定义知a>0，故f(x)＝ax的图象经过一、三象限，∴A、D不正确．

若g(x)＝ax为增函数，则a>1，

与y＝ax的斜率小于1矛盾，故C不正确．

B中0<a<1，故B正确．

8．函数y＝()x2＋2x的值域是(　　)

A．(0，＋∞)      B．(0,2]

C．(，2]       D．(－∞，2]

[答案]　B

[解析]　∵u＝x2＋2x＝(x＋1)2－1≥－1，

y＝()u在[－1，＋∞)上是减函数，

∴y≤－1＝2.∴y∈(0,2]．

二、填空题

9．指数函数y＝f(x)的图象过点(－1，)，则f[f(2)]＝________.

[答案]　16

[解析]　设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，∵f(x)图象过点(－1，)，∴a＝2，∴f(x)＝2x，

∴f[f(2)]＝f(22)＝f(4)＝24＝16.

10．当x∈[－1,1]时，函数f(x)＝3x－2的值域为__________．

[答案]　{y|－≤y≤1}

[解析]　当－1≤x≤1时，≤3x≤3，∴y∈[－，1]，值域为{y|－≤y≤1}．

11．已知x>0时，函数y＝(a2－8)x的值恒大于1，则实数a的取值范围是________．

[答案]　a>3或a<－3

[解析]　当x>0时(a2－8)x>1，∴a2－8>1，

∴a>3或a<－3.

12．(09·江苏文)已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．

[答案]　m<n

[解析]　∵a＝，∴0<a<1，

∴函数f(x)＝ax在R上单调递减，

∵f(m)>f(n)，∴m<n.

三、解答题

13．已知f(x)＝(ax－a－x)，g(x)＝(ax＋a－x)，

求证：[f(x)]2＋[g(x)]2＝g(2x)．

[解析]　f   2(x)＋g2(x)

＝(ax－a－x)2＋(ax＋a－x)2

＝(2a2x＋2a－2x)＝(a2x＋a－2x)＝g(2x)成立．

14．分别把下列各题中的三个数按从小到大的顺序用不等号连接起来．

15．已知f(x)＝x＋1，g(x)＝2x，在同一坐标系中画出这两个函数的图象．试问在哪个区间上，f(x)的值小于g(x)？哪个区间上，f(x)的值大于g(x)?

[解析]　在同一坐标系中，画出函数f(x)＝2x与g(x)＝＋1的图象如图所示，两函数图象的交点为(0,1)和(3,8)，

显然当x∈(－∞，0)或x∈(3，＋∞)时，f(x)>g(x)，当x∈(0,3)时，f(x)<g(x)．

16．判断函数f(x)＝＋的奇偶性．

[解析]　∵2x－1≠0，∴x≠0，定义域{x∈R|x≠0}

∵f(x)＝＋＝，

∴f(－x)＝＝

＝＝f(x)，

∴f(x)为偶函数．

17．求下列函数的定义域和值域

 [解析]　(1)函数的定义域为R，值域为(0，＋∞)

(2)要使函数有意义，必须且只须3x－2≥0，

即x≥，∴函数的定义域为[，＋∞)

设t＝，则t≥0，y＝5t　∴y≥1

∴函数的值域为[1，＋∞)．

(3)要使函数有意义，必须且只须x＋1≠0，

即x≠－1.

∴函数的定义域为{x∈R|，x≠－1}

设t＝，则t∈R且t≠1，y＝()t，

∴y>0且y≠

∴函数的值域为(0，)∪(，＋∞)