浙江省衢州市仲尼中学高一数学《指数与指数函数》教案

教材分析： 

本节在根式的基础上将指数概念扩充到有理指数幂，并给出了有理指数幂的运算性质

在利用根式的运算性质对根式的化简过程，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步将其推广到实数范围内，但无须进行严格的推证，由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.

学情分析：

学生基础较为薄弱，大部分学生知道运算性质，但是运用却不灵活。关键是对知识理解的不够透彻。只有在理解的基础上，通过运算，才能使学生熟练掌握本节知识。

教学目的：

1.理解分数指数幂的概念.

2.掌握有理指数幂的运算性质.

3.会对根式、分数指数幂进行互化.

教学重点：

1.分数指数幂的概念.

2.分数指数幂的运算性质.

教学难点：对分数指数幂概念的理解.

教学过程：

一、知识梳理：

1．根式的定义

2．根式的运算性质：

①当n为任意正整数时，()=a.

②当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=.

⑶根式的基本性质：，（a0）

用语言叙述上面三个公式：

⑴非负实数a的n次方根的n次幂是它本身.

⑵n为奇数时，实数a的n次幂的n次方根是a本身；n为偶数时，实数a的n次幂的n次方根是a的绝对值.

⑶若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变.

3．引例：当a＞0时

①

②

③

④

上述推导过程主要利用了根式的运算性质，整数指数幂运算性质(2).因此，我们可以得出正分数指数幂的意义.

4.正数的正分数指数幂的意义

(a＞0,m,n∈N*,且n＞1)

要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化.

另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定.

规定：

(1) (a＞0，m,n∈N*,且n＞1)

(2)0的正分数指数幂等于0.

(3)0的负分数指数幂无意义.

规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.

5.有理指数幂的运算性质:

ar·as＝ar＋s

（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）

（a·b）r＝ar·br（a＞0，b＞0，r∈Q）

二、讲解例题：

例1求值：.

解：

课内练习

求下列各式的值：

(1)25          （2）27

（3）（）  （4）（）

（5）  （6）2××

解：(1)＝53＝125

(2)＝32＝9

(3)

 (4)

(5)

=

(6)2××＝2×3×（）×（3×22）＝2×3×3×2×3×2＝（2×2×2）×（3×3×3）＝2×3＝2×3＝6

要求：学生板演练习，做完后老师讲评.

例2计算下列各式：

         分析：（1）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算

（2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计算

解：

课内练习：

用分数指数幂表示下列各式：

(1)                 （２）（ａ＋ｂ＞０）

（３）         （４）（ｍ＞ｎ）

(5)（ｐ＞０）     (6)

解：(1)

(2)

(3)

(4) ＝（ｍ－ｎ）２

(5)

 (6)

要求：学生板演练习，做完后老师讲评.

三、小结 

本节课要求大家理解分数指数幂的意义，掌握分数指数幂与根式的互化，熟练运用有理指数幂的运算性质.

四、课后作业：

1.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)(C)

（1）     （2）

（3）    （4）

解：（1）＝

（2） ＝[a·（a·a）]＝a·a·a＝a

（3）＝（ab2＋a2b）

（4）＝（a3＋b3）＝（a3＋b3）

2.求下列各式的值：(C)

(1)｜2｜    （2）（）

（3）10000   （4）（）

解：（1）121＝（112）＝11＝11

（2）（）＝（）＝（）·（）－1＝

(3)10000＝（104）＝10＝10－3＝0.001

(4) （）＝（）＝[（）3] ＝（）＝（）－2＝

4.化简: (A)

(1)÷÷;

(2)

解:(1)原式=÷÷=1.

(2)原式=

=.

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