高中数学人教版新课标A必修1第一章 集合与函数概念综合与测试教学设计

第三十教时

教材：单元复习之一——函数概念、性质、指数运算及指数函数

目的：通过复习与练习要求学生对函数概念、性质、指数、指数函数有更深的理解

过程：

一、复习：映射、一一映射、函数定义、性质、反函数、指数、指数函数

二、《教学与测试》  P49  第34课   “基础训练题”  1   略

        例一、（《教学与测试》  49  例1）

                    已知函数  在区间[1，2]上的最大值是4，求  a的值。

            解：抛物线对称轴为 ,   区间[1，2]中点为

                   1 当 2≥a ,  即 a≤2时，由题设：f (1) = 4,   即 1  2a +1 = 4,  a = 1

                      （不合）

                   2 当 ,  即 时，由题设：f (1) = 4,   即  a = 1                      

                   3 当 ,  即时，由题设：f (2) = 4,   即 4 + 4a +1 = 4, 

                   4 当 a<1,  即 a>1时，由题设：f (2) = 4,   即 4 + 4a +1 = 4,   

                      （不合）

                   注：若是已知最小值，此种分类同样适用，也可分 a 在     

                           三个区间。但本题亦可将1、2和3、4分别合并成

两个区间讨论。

        例二、已知函数 f (x),  当 x , yR时，恒有f (x + y) = f (x) + f (y) ,  

                    1 求证： f (x) 是奇函数。

                    2 若 f (3) = a，试用 a 表示 f (24)  

                    3 如果 x > 0 时，f (x) > 0 且 f (1) < 0，试求 f (x) 在区间[2，6]上的

最大值与最小值。

            解：1 令 x = y = 0  得 f (0) = 0，再令 y =  x  得  f (0) = f (x) + f ( x),          

∴f (x) = f ( x)    ∴f (x)为奇函数

                    2 由 f (3) = a  得 f (3) =  f(3) = a，

f (24) = f ( 3 + 3 + …… + 3) = 8 f (3) =  f (3)

                    3 设  x 1 < x2 ，则 f (x2) = f (x 1 + x2  x 1) = f (x 1) + f (x2  x 1) < f (x 1)，

( ∵ x2  x 1 > 0 ,  f ( x2  x 1) < 0 )

                         ∴f (x) 在区间[2，6]上是减函数。

                         ∴f (x) max = f (2) = f (2) = 2f (1) = 1

                             f (x) min  = f (6) = 6 f (1) = 3

        例三、（《教学与测试》第28课  例一）

                    求函数 的值域和单调区间。

            解：  

∴函数的值域为

                    ∵设 ,  它在 上单调递减，

而二次函数 在 时是减函数，在 时是增函数令 ，则 x ≥ 1            令 ，则 x ≤ 1  

                   ∴函数 在 上是增函数，在上是减函数。

        例四、（《教学与测试》第28课  例二）

1．  已知 是奇函数，求常数 m 的值。

2．  画出函数 的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程   无解？有一解？有两解？

          解：1．定义域：x  0

                        若 f (x)为奇函数，则

                        ∴

3．  图象如图所示：

                        当 k < 0时，直线 y = k与函数 图象无交点      ∴方程无解。

                        当 k = 0或 k ≥ 1时，直线 y = k与函数 图象有一个交点      ∴方程有一解。

                        当 0 < k < 1时，直线 y = k与函数 图象有两个交点     

∴方程有两解。

      例五、（《教学与测试》第28课  例三）——机动，可以不讲

                  设 ，其中 a > 0，a  1，

问：x为何值时有1 y1 = y2          2 y1 < y2

          解：1．由于指数函数是单调函数，∴                      2．当 0 < a < 1，由 y1 < y2 ，得 2x > x2 3 ，解得 1 < x < 3

                         当  a > 1，由 y1 < y2 ，得 2x < x2 3 ，解得 x < 1 或 x > 3

   三、作业：  P50    3—7

                      《教学与测试》   P58     6、7