《函数的基本性质》教案12（新人教A版必修1）

函数的单调性与最大（小）值（1）

设计理念

新课标指出：“感知数学，体验数学”是人类生活的一部分，是人类生活劳动和学习不可缺少的工具。课程内容应与学生生活实际紧密联系，从而让学生感悟到生活中处处有数学，进而有利于数学学习的生活化、情境化。因此我在教学“交通与数学”这一节内容的过程中，从实际生活中的实例出发，让学生感受到交通与数学的密切联系，体会到教学在实际生活中的应用，并学会运用所学的知识解决实际生活中的简单的问题。这样就充分体现学生的主体地位，充分提供让学生独立思考的机会。
本节内容是在学生已经学习和掌握了一位数乘三位数的乘法计算和搭配方法等数学知识的基础上进行教学的。其目的在于引导学生将学过的知识与生活实际联系起来，综合运用，提高解决问题的能力。因此，在教学中我尝试以“交通”为主线，设计密切联系学生实际生活的学习情境；在整个设计中，我始终引导学生在生活情境中提出问题，解决问题，这些都是和学生息息相关的生活问题，因此学生始终能保持较高的学习兴趣，乐于将自己的想法与他人交流，积极性很高。

教学内容：

本节课是《普通高中课程标准实验教科书.数学1》（人教版A）第一章第三节第一课时（1.3.1）《单调性与最大（小）值》。

教学目标：

1、理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性；

2、启发学生发现问题和提出问题，培养学生分析问题、认识问题和解决问题的能力；

3、通过观察——猜想——推理——证明这一重要的思想方法，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识。

4、通过数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的思想教育。

学情与教材分析：

本节课是1.3.1第一课时。根据实际情况，将1.3.1划分为三节课（函数的单调性，函数单调性的应用，函数的最大（小）值），这是第一节课“函数的单调性”。函数的单调性是函数的最重要的基本性质之一，它不仅是求函数最大值与最小值的基础，同时在研究函数及实际生活中的函数问题都有着广泛的应用，所以要重点研究函数的单调性。

学生对函数已有初步认识，掌握函数三种表示方法，了解一次函数、二次函数、反比例函数等的图象和性质。仅就图象角度直观描述函数单调性的特征，学生并不感到困难。困难在于，把具体的、直观形象的函数单调性特征抽象出来，用数学的符号语言描述，即把某区间上“随的增大，也增大”（单调增）这一特征用该区间上“任意的有” （单调增）进行刻画，其中最难理解的是为什么要在区间上“任意”取两个大小不等的，本节课将通过对函数的图象及性质的分析，让学生理解并掌握这一概念。

教学准备：

制作课件，使用多媒体上课。为了有效实现教学目标，借助计算机绘制函数图象，同时辅以坐标计算、跟踪点等手段观察函数的数字变化特征。

教学过程

一、创设情境，提出问题（约3分钟）

德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：

以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数。艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”，如图：

思考1:当时间间隔t逐渐增大你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识?

设计意图：联系学生的学习实际，通过几何直观，引导学生关注图象所反映出的特征。

思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？

设计意图：引导学生先利用图象描述变化规律，下降，从几何直观角度认识函数的单调性，再从数值变化角度描述变化规律。

二、知识探究（一）（约12分钟）

考察下列两个函数:

（1）f(x)=x；                            (2) f(x)=x（x≥0）

让学生动手画出图象，观察、思考

思考1：这两个函数的图像分别是什么？二者有何共同特征？

学情预设：通过前面的学习，学生能较快地观察到这两个图象的变化趋势，上升。

思考2：如果一个函数的图像从左至右逐渐上升，那么当自变量x从小到大依次取值时，函数值y的变化情况如何？

设计意图：引导学生从数值变化角度描述变化规律，图象上升，也就是“随的增大，也增大”

思考3：如图为函数f(x)在定义域I内某个

区间D上的图像，对于该区间上任意两个自变量

和，当<时，f()与 f()的关系如

何？

设计意图：当<时，f()< f()，引导学生从形象到抽象，从具体到一般，先让学生尝试描述这一具体函数的特征，使学生从数值变化角度进一步认识增函数的性质。

思考4：我们把具有上述特点的函数称为增函数，那么怎样定义“函数f(x)在区间D上是增函数”？

学情预设：这个问题具有较高的思维要求，需要“跳一跳才能摘到果子”。教学上，可以让学生开展讨论、交流。通过学生的活动，逐步认识增函数的刻画方法。

强调关键词句：定义域I内某个区间D上，任意，都有。

对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量和的值，若当<时，都有f()< f()，则称函数f(x)在区间D上是增函数.   

三、知识探究（二）（约8分钟）

考察下列两个函数：

（1）f(x)=-x；                          (2) f(x)=x（x≤0）

思考1：这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特征？

设计意图：由于有了增函数的经验，学生很快得到减函数的图象变化规律。

思考2：我们把具有上述特点的函数称为减函数，那么怎样定义“函数f(x)在区间D上是减函数”？

设计意图：对照增函数的概念，让学生通过对比图象，得到减函数的概念。

对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量和的值，若当<时，都有f()>f()，则称函数f(x)在区间D上是减函数. 

思考3：对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量和的值，若当>时，都有f()< f(),则函数f(x)在区间D上是增函数还是减函数？

设计意图：  由于有了增函数的经验，学生很快得到减函数的图象变化规律。

思考4：如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做函数f(x)的单调区间.那么二次函数在R上具有单调性吗？函数f(x)=（x-1）的单调区间如何？

设计意图：通过这一思考问题，进一步强化函数的单调性是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有，函数的单调区间是函数定义域上的一个子集。

四、理论迁移（约20分钟）

例1 如图是定义在闭区间[-5，6]

上的函数y=f(x) 的图象，根据图象说

出 y=f(x)的单调区间，以及在每一单

调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减

函数.

设计意图：通过例题的讲解，加强学生通过直观图象判断函数单调性的能力，加深对函数的单调性是函数的局部性质的理解。

例2 物理学中的玻意耳定律告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强p将增大，试用函数的单调性证明。

设计意图：通过例题的讲解，加深学生对定义的理解和知识的应用。同时，引导学生归纳判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤。

知识链接：如何比较两个代数式的大小？

（1）作差法

（2）作商法

练习： 试确定函数f(x)= 在区间上的单调性。

设计意图：进一步加深学生对定义的理解和知识的应用。

五、小 结（约2分钟）

利用定义确定或证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

1.取数:任取∈D，且x1<x2；                                      

2.作差（作商）:；                                                      

3.变形:通常是因式分解和配方;                   

4.定号:判断差的正负;                     

5.小结:指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性.

设计意图：再次归纳判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤，加深印象。

六、作业：P32  4     P39     2（1）

设计思路：

本节课的教学是以函数的单调性的概念为主线，它始终贯穿于整个课堂教学过程。对函数的单调性概念的深入而正确的理解往往是学生认知过程的难点，因此，在课堂上突出对概念的分析不仅仅是为了分析函数单调性的定义，而是想让学生对如何学会、弄懂一个概念有初步的认识，并且在今后的学习中有所用；使用函数单调性定义证明具体函数的单调性又是一个难点，使用函数的单调性定义证明是对函数单调性概念的深层理解，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助。另外，这也是以后学习的不等式证明方法中比较法的基本思路，现在提出要求，对今后的教学作一定的辅垫。

1、函数的单调性是函数和一个重要性质，函数在在高中数学中占有很重要的位置。如何突破这个既重要又抽象的内容，其实质就是将直观的图象语言转化为抽象的数学符号语言，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲——持久的好奇心。本节课力图让学生把具体的、直观形象的函数单调性特征抽象出来，用数学的符号语言描述，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种研究方法，便能将其迁移到其他数学学习中去。

2、在本节课的教学中我努力实践以下两点；

（1）在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。

（2）在教学过程中努力做到生生对话、师生对话、并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。

3、通过课堂教学活动向学生渗透从特殊到一般、数形结合的数学思想方法。