《函数的单调性》课件（人教版A版必修1）教案

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第三节　　函数的单调性函数单调性的判断 试判断函数f(x)＝ ，x∈(－1,1)的单调性． 分析　运用定义法进行判断．解　设－1＜x1＜x2＜1，则f(x1)－f(x2)＝ －＝＝.∵－1＜x1＜x2＜1，∴x1－1＜0，x1＋1＞0，x2－1＜0，x2＋1＞0，－1＜x1x2＜1，∴ ＞0.∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，函数为减函数．规律总结　运用定义判断或证明函数单调性时，步骤要规范：①设；②列；③证；④判；⑤定论．③证变形要彻底，一般通过因式分解，配方等手段直到符号的判定非常明显．变式训练1 下列命题：①若f(x)为增函数，则 为减函数；②若f(x)为减函数，则[f(x)]2为增函数；③若f(x)为增函数，则[f(x)]2为增函数；④若f(x)为增函数，g(x)是减函数，且g[f(x)]有意义，则g[f(x)]为减函数．其中正确命题的个数为(　　)A．1 B．2 C．3 D．4【解析】　①④正确，②③不正确，故应选B.【答案】　B　求函数的单调区间 求下列函数的单调区间．(1)y＝ (a＞b＞0); 　　(2)＝－x2＋2|x|＋3；(3)y＝log (－x2－2x＋3)．分析　(1)转化成y＝ (k≠0)的单调性问题．(2)该函数为偶函数，可以运用图象．(3)根据复合函数的单调性求解． 解　(1)y = =1+ = .∵a＞b，∴a－b＞0，∴函数在(－∞，－b)∪(－b，＋∞)上是减函数，∴(－∞，－b)，(－b，＋∞)是函数的减区间．(2)函数图象：∴函数的增区间为(－∞，－1]，[0,1]，函数的减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．(3)由－x2－2x＋3＞0，解得函数的定义域为 .设t＝－x2－2x＋3，在区间(－3，－1]上，t是x的增函数，又y＝log t是t的减函数．∴在区间(－3，－1]上，y是x的减函数，即(－3，－1]是函数的减区间．∵在区间[－1,1)上，t是x的减函数，y是t的减函数，∴[－1,1)是函数的增区间．规律总结　(1)求函数单调区间的常用方法：定义法、导数法、复合函数单调性法、数形结合法，其中定义法和导数法是通法．(2)求简单复合函数f[g(x)]的单调区间，先确定函数的定义域，再在定义域内找到内函数g(x)的单调区间，最后根据外函数f(t)的单调性，确定原函数的单调区间．复合函数的单调性的判断参看下表：可归纳简记为“同增异减”．变式训练２ 函数y＝log (x2－5x＋6)的单调增区间为(　　)A. B．(3，＋∞)C. D．(－∞，2)【解析】　x2－5x＋6＞0⇔x>3或x＜2，令t＝x2－5x＋6＝ － ，又y＝log t是t的减函数，∴在区间(－∞，2)上，y是x的增函数，故选D.【答案】　D抽象函数的单调性及运用 定义在R上的函数y＝f(x)，f(0)≠0，当x＞0时，f(x)＞1，且对任意的a，b∈R，有f(a＋b)＝f(a)·f(b)．求证：(1)f(0)＝1；(2)f(x)是R上的增函数． 分析　多设问问题注意前一设问的应用，本题没有函数解析式，理解f(a＋b)＝f(a)·f(b)含义，充分利用该条件．证明　(1)由任意的a、b∈R，f(a＋b)＝f(a)·f(b)，令a＝b＝0得，f(0)＝[f(0)]2，又f(0)≠0，∴f(0)＝1.(2)∵x＞0时，f(x)＞1，∴当x＜0时，由f(x－x)＝f(x)·f(－x)＝1.即f(x)＝ ＞0，综上所述，当x∈R时，f(x)＞0.设任意的x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)，＝f(x2－x1)·f(x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]．又x2－x1＞0，∴f(x2－x1)＞1，∴f(x1)[f(x2－x1)－1]＞0，即f(x2)－f(x1)＞0，f(x2)＞f(x1)，∴f(x)是R上的增函数．规律总结　(1)抽象函数单调性的证明用定义法．(2)解含“f”不等式，首先要根据函数单调性脱去“f ”符号，转化成关于自变量x的不等式，转化中注意定义域的限制条件．　变式训练３　函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x＞0时，f(x)＞1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)＜3.【解析】　(1)证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2－x1＞0，∴f(x2－x1)＞1，∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1＞0，∴f(x1)＜f(x2)，即f(x)是R上的增函数．(2)∵f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5，∴f(2)＝3，∴不等式即为f(3m2－m－2)＜f(2)．∵f(x)是增函数，∴3m2－m－2＜2，解得－1＜m＜ .求函数的最大(小)值 (12分)已知函数f(x)＝ ，x∈[1，＋∞)，a为正常数，求f(x)的最小值． 分析　形如f(x)＝x＋ (x≠0)函数为重要函数，首先判断函数的单调性，运用单调性求最值． 解　∵f(x)＝x＋ ＋2，x∈[1，＋∞)，∴f′(x)＝1－ ，x∈[1，＋∞)，………………2分由f′(x)＞0⇔x＞ ，∴f(x)在( ，＋∞)上为增函数；………………………………………………..4分由f′(x)＜0⇔0＜x＜ ，∴f(x)在(0， )上为减函数…………………………………………………..6分当 ＞1，即a＞1时，f(x)在区间[1，＋∞)上先减后增，f(x)min＝f( )＝2 ＋2.当 ≤1，即0＜a≤1时，f(x)min＝f(1)＝a＋3…12分规律总结　求函数的最大(小)值常用方法有函数的单调性、配方法、数形结合法等．变式训练４ 用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为(　　)A．4 B．5 C．6 D．7【解析】　作出函数y＝2x，y＝x＋2，y＝10－x(x≥0)的图象，由图可知f(x)的图象为实线部分，所以f(x)的最大值为点A的纵坐标．由 解得y＝6，故选C.【答案】　C1．一个函数的两个单调区间不可以取并集．比如：y＝ 在(－∞，0)上是单调递减的，并且在(0，＋∞)上也是单调递减的，只能说(－∞，0)和(0，＋∞)是函数y＝ 的两个单调递减区间，不能说(－∞，0)∪(0，＋∞)是原函数的单调递减区间．2．通过观察图象，对函数是否具有某种性质做出一种猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法．3．求函数的单调区间，首先应注意函数的定义域，其次充分利用一次、二次函数等基本初等函数的单调性，常用的方法有：定义法、图象法、导数法．4．复合函数的单调性：同增同减，复合为增；一增一减，复合为减．5．求函数的最值通常先判断函数的单调性，再根据所给区间求函数的最值．求函数y＝ 的单调区间． 错解　当x≥1时，y＝ ＝－x，∴函数在[1，＋∞)上是减函数．当x＜1时，y＝ ＝x－2，∴函数在(－∞，1)上是增函数．∴函数的单调区间是(－∞，1)∪(1，＋∞)．错解分析　两处错误：(1)忽视了函数的定义域{x|x≠0且x≠2}；(2)用(－∞，1)∪(1，＋∞)表示单调区间，它不表示区间，当然也就不是单调区间．正解　函数的定义域为|x－1|－1≠0，得x≠0，且x≠2.∴函数的单调增区间是(－∞，0)，(0,1)，单调减区间是(1,2)，(2，＋∞)．