高中数学3.3 直线的交点坐标与距离公式教案

《点到直线的距离》教学设计

设计说明：

数学公式的教学应包含两个部分：公式的推导和公式的运用。数学公式的推导都蕴含着丰富的数学思想和数学方法，谁忽视了这个“产生过程”，谁就忽视了数学的“精髓”，谁就忽视了学生探究性思维品质的培养。新课程“重结论，但更重过程”。因此这节课让学生真正成为课堂的主人，经历推导公式的过程，获得成功的体验，锻炼意志，增强信心。本节课使学生学会从不同的角度思考问题，加强知识间的联系，锻练、提高学生运用知识分析问题和解决问题的能力，从而提高数学素质。

教学目标：

知识与技能目标：

（1）掌握点到直线的距离公式的推导方法，能用公式来求点到直线距离。

（2）培养学生探究能力和由特殊到一般的研究问题的能力。

（3）培养学生转化的思想和综合应用知识分析问题解决问题的能力。

过程与方法目标：通过用多种方法推导点到直线的距离公式的过程，认识和体会事物（知识）之间相互联系、互相转化的辩证法思想。

情感目标：培养学生团队合作精神，培养学生个性品质及勇于探究的科学精神。

教学重点：点到直线的距离公式推导及公式的应用

教学难点：点到直线的距离公式的推导

教学方法：启发引导法、讨论法

学习方法：研究性学习

教学过程：

1 .教师提出问题，引发认知冲突

问题：假定在直角坐标系上，已知一个定点P（x0 ,y0）和一条定直线l： Ax+By+C=0，那么如何求点P到直线l的距离d？请学生思考并回答。

学生1：先过点P作直线l的垂线，垂足为Q，则|PQ|就是点P到直线l的距离d；然后用点斜式写出垂线方程，并与原直线方程联立方程组，此方程组的解就是点Q的坐标；最后利用两点间距离公式求出|PQ|。

接着，教师用投影出示下列5道题(尝试性题组)，请5位学生板演（第（4）题请一位运算能力强的同学，其余学生自己练习，每做完一题立即讲评）：

(1)求P（1 ,2）到直线l：x=3的距离d;（答案：d=2）

(2)求P（x0 ,y0）到直线l：By+C=0（B≠0）的距离d；（答案：）

(3) 求P（x0 ,y0）到直线l：Ax+C=0（A≠0）的距离d；（答案：）

(4) 求P（6 ,7）到直线l：3x-4y+5=0的距离d；（答案：d=1）

(5) 求P（x0 ,y0）到直线l：Ax+By+C=0（AB≠0）的距离d。

第（4）题运算量较大；第（5）题虽然思路清晰，但由于字母参数过多、运算量太大行不通。学生们陷入了困境。

2．教师启发引导，学生走出困境

教师：根据以上5位学生的运算结果，你能得到什么启示？

学生2：当直线的位置较特殊（水平或竖直）时，点到直线的距离易求得，而当直线是倾斜位置时则较难；含有多个字母时因计算量很大而无法得出结果。

教师：练习（5）有没有运算量小一点的推导方法呢？能否根据第（2）、（3）的启示，借助水平、竖直情形和平面几何知识来解决倾斜即一般情况呢？请同学们思考。

学生3：能！如图1，过点P作x、y 轴的垂线分别交直线l于S、R，则由三角形面积公式可得

        |PQ|=（|PR|·|PS|）/|RS|

设R（x1 ,y0），则由Ax1+By0+C=0，       

得x1= —（By0+C）／A，

       ∴|PR|=| x0- x1|=|Ax0+By0+C|／|A|；

       同理：|PS|=|Ax0+By0+C|／|B|。

教师：|RS|怎么求？|PQ|呢？

学生3：|RS|==（/|AB|）·|Ax0+By0+C|。

|PQ|=。

教师：公式的这种推导方法是否需要作补充说明？

学生4：当A=0或B=0时，ΔPRS不存在，当A=0或B=0时，由（2）、（3）检验可知公式依然成立，即公式对任意直线都适用。

3 .教师提出问题，学生分组讨论

教师：前面我们学了函数、三角函数、向量、不等式等数学知识，你能用所学过的知识从不同角度、采用不同方法来推导这个公式吗？请同学们先独立思考，然后在小组上进行讨论交流，由组长负责记录。每组推选一名代表对本组找到的最好的一种推导方法通过实物投影进行“成果”交流。

学生们积极探讨；教师来回巡视，回答各研究小组的询问……

4.学生交流“成果”，教师点评小结

请4名代表依次上讲台（让准备成熟的先讲），借助实物投影介绍本组的“成果”。由于时间关系，每组只要求讲一种方法，用时不超过4分钟，且各组的方法不能重复。

学生5：我们用的是“设而不求，整体代换”的数学思想。

      设Q的坐标为（x1 ,y1），则直线PQ的斜率k1=，又直线l的斜率k= -，于是由PQ⊥ l得,  k1k= -1即B(x1- x0)-A(y1- y0)=0  ①

       又因为Ax1+By1+C=0， 即Ax1+By1=-C

      两边同减Ax0+By0得  A(x1-x0)+B(y1-y0)= - (Ax0+By0+C) ②　

      于是①2+②2得,     (A2+B2)[(x1-x0)2+(y1-y0)2]= (Ax0+By0+C)2,                   

即  (A2+B2) d2= (Ax0+By0+C)2

所以  d=。

 教师：“设而不求，整体代换”，真是奥妙无穷，这是解析几何减少运算量的有效途径，同时也体现了数学的内在美，妙不可言。

学生6：我们小组向大家介绍一种独特的方法——向量法：如图2，

设T（x1 ,y1）为直线l上任一点，则Ax1+By1+C=0，=（x1-x0，y1-y0）

 ∵PQ⊥直线l ，

∴平行于直线l的法向量=（A，B）           

另设与的夹角为θ，则·=cosθ

  即|A(x1-x0)+B(y1-y0)|= ||| cosθ|

  即|Ax0+By0+C|=·d

       ∴d=。

教师：向量是数量与图形的有机结合，解析几何是用代数的方法解决几何问题，两者都体现了数形结合的思想，第三小组的推导方法证明了这一点，也再次说明了向量具有很强的实用性与工具性。

学生7：：我们小组向大家介绍向量的另一种方法，妙用向量数量积的性质．

如图3，设垂足是点H(m,n)，

直线l的法向量共线，

教师：巧妙利用向量数量积的性质来求距离，简直是“巧夺天工”，与其他方法相比，这种方法有绝对优势，我们必须重视对向量工具性的研究和应用。

学生8：刚才三个小组的证明方法确实精彩，我们也发现了一种巧妙的方法，把它称为“柯西不等式法”，请看投影屏幕：

我们知道，P点到直线l的距离,实质上是点P与直线l上任意一点T的距离的最小值，于是我们设T（x1 ,y1）为直线l上的任一点（如图2），则Ax1+By1+C=0，

而d=|PT|min，于是|PT|=

=×，

利用柯西不等式，便有|PT|≥=，

所以d=，此时，即PT垂直于直线l。

教师：这一证法果然十分巧妙，包含的数学思想十分丰富。由点到直线的距想到最小值，又由最小值想到不等式，在一步步“转化”中问题得到圆满解决。同时也体现了不等式的工具作用。

5.公式应用

（1）        求P（6 ,7）到直线l：3x-4y+5=0的距离d.

（直接代公式得答案：d=1，检验尝试性题组第（4）的答案）

（2）求P（-1,1）到直线l：的距离d.

（先化直线方程为一般式再代公式得答案：）

6.请学生小结并布置作业

这节课我们学习了点到直线的距离公式，在公式的多种推导中学到了许多重要的数学思想和方法，感受到了数学的奥妙，也感受到了成功的喜悦。请同学们课后继续研究、交流。

摘要：教学设计中，重视知识的产生过程，把运算作为主线，让学生经历推导公式的过程，加强知识间的联系，学会从不同的角度思考问题，锻练、提高学生运用知识分析、解决问题的能力。