人教版新课标A必修2第三章 直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率教案

简析直线斜率的解题功效

直线的斜率是用来衡量直线的倾斜程度的一个值，只要深入研究就会发现：直线斜率数值意义的解题功效是多方面的，如果熟练掌握了用直线斜率来处理这些问题，可以大大简化解题速度．

1　借助直线的斜率巧解应用题

例1　某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α＜180°)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m，b m(a＞b)．问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？

解　建立如图所示的直角坐标系，AO为镜框边，AB为画的宽度，O为下边缘上的一点，在x轴的正半轴上找一点C(x,0)(x＞0)，欲使看画的效果最佳，应使∠ACB取得最大值．

由三角函数的定义知：A、B两点坐标分别为(acosα，asinα)、(bcosα，bsinα)，于是直线AC、BC的斜率分别为：

kAC=tanxCA=，．

于是tanACB=

由于∠ACB为锐角，且x＞0,则tanACB≤，当且仅当=x，即x=时，等号成立，此时∠ACB取最大值，对应的点为C(,0)，因此，学生距离镜框下缘 cm处时，视角最大，即看画效果最佳．

点评　本题是一个非常实际的数学问题，它不仅考查了两点连线的斜率公式、用不等式法求最值以及对三角知识的综合运用，而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力．解决本题有几处至关重要，一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成求tanACB的最大值，从而转化为有关斜率的问题．

2　借助直线的斜率比较大小

例2　设M=，则M与N的大小关系为(    )

A．M＞N        B．M=N    C．M＜N         D．无法判断

解析　将问题转化为比较A(－1，－1）与B(102001，102000）及C(102002，102001）连线的斜率大小，因为B、C两点的直线方程为y=x，点A在直线的下方，∴kAB＞kAC,即M＞N．答案：A．

点评　如果此题按常规方法处理直接作差将会比较难处理，而采用直线斜率的几何意义就直接明了，易处理．

3　借助直线的斜率求直线的方程

例3．过点P(2,1)作直线l分别交x,y的正半轴于A,B两点，求（1）△ABO面积的最小值，及相应的直线方程；（2）若︱PA︱·︱PB︱取最小值时，求直线的方程．

解析　显然直线效率存在，设直线方程为y-1=k(x-2)(k<0)，得点A(),  B(0,1-2k)，（1）S△ABO=︱OA︱·︱OB︱=()(1-2k)=2+(-2k-)，

∵k<0  ∴S△ABO≥4，此时即直线为x＋2y－4=0．

（2）︱PA︱·︱PB︱=,  此时即直线为x＋y－3=0．

4　构造直线斜率证明不等式问题

例4．已知a、b、m都是正实数，并且a<b，求证：．

证明　如图，在平面直角坐标系内，设点，点． 由m>0和0<a<b知点A在直线y=x在第三象限的图像上，点B在直线y=x在第一象限的图像的下方，于是可得斜率，即，原不等式得证．

点评　这是新教材高二数学上册上的一道例题．教材上是用比较法去进行证明的，但细细研究会发现还可通过构造直线斜率来证明该不等式，因为所证式子酷似直线的斜率表达式，故可借助题设条件构造直线，然后运用倾斜角的大小与斜率的关系来证明不等式．

5　构造直线斜率解决变量或参数范围问题

例5　若在圆上运动，求的取值范围．

解　因为是直线OP（的斜率，在圆上，当p点是由原点O向圆作切线的切点时，取到最大值与最小值．

设直线OP的斜率为k，直线OP的方程为y=kx，圆心C的坐标为，半径为．由于圆心C到切线的距离等于半径，于是可得方程：，解得．所以的取值范围为．

点评　可以看成是点与原点连线所在直线的斜率，则可以构造如下一个函数：设k=，得函数y=kx．于是所求的取值范围问题就可以转换为求函数y=kx所对应直线的斜率的取值范围问题．

链接练习

1．在等差数列中，．

2．已知等腰直角三角形ABC中，C＝90°，直角边BC在直线2+3y-6=0上，顶点A的坐标是(5，4)，求边AB和AC所在的直线方程

3．已知三角形三顶点坐标分别为A（2，－3），B（－7，9），C（18，9），求AB边上的中线．

链接练习参考答案

1．提示：从函数的观点来看，在等差数列中通项是自变量的一次函数，则两点即都在一次函数所对应的直线上，直线斜率为=3．由直线方程的点斜式可得：，整理得．所以．

2．提示：点拨与提示：利用等腰直角三角形的性质，得出∠ABC＝45°，再利用夹角公式，求得直线AB的斜率，进而求得了直线AB的方程.直线BC的斜率kBC＝－，

∵直线AC与直线BC垂直，∴直线AC的方程为y－4＝（－5）即3－2y－7＝0

∵∠ABC＝45°，∴,即kAB＝－5或kAB＝

∴AB边所在的直线方程为:y－4＝（－5）或y－4＝－5（－5）,

即－5y＋15＝0或5＋y－29＝0.

3．提示：①求中线方程，，那么AB边上的中线CD的方向向量为，也就是，因而  直线CD的斜率为，那么直线CD的方程为，整理得  ．