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高中数学人教版新课标A必修2第一章 空间几何体综合与测试教学设计
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这是一份高中数学人教版新课标A必修2第一章 空间几何体综合与测试教学设计，共8页。教案主要包含了立体几何中的符号语言，确定平面的方法，教学诊断分析，教法特点和预期效果分析等内容，欢迎下载使用。
张宏海 执教（内蒙古包头市第一中学）
章建跃 点评（人民教育出版社中学数学室）
教案
教学过程
一、立体几何中的符号语言
创设情境
板书：一加一等于二
1+1=2
师：如果让你选择其中一种方法表示，你更喜欢哪一种？
……
师：为什么？
……
师：好，这就体现了我们数学中的一种简约美，这种简约美在立体几何中也有很好的体现。我们可以把线、面看成是点的集合，这样的话，点与直线、点与平面的位置关系就是元素与集合的关系，直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系就是集合与集合之间的关系，那么，我们能用已经学过的集合语言来描述一下空间中的点、线、面的位置关系吗？
请看题：
组织活动：（实物投影）
点A在直线上 （）
B
点B在直线外 （） A
点A在平面内 （） B
点B在平面外 （） A
直线a和直线b相交于点O
a
O
（）
b
平面与平面相交于直线
（）
（或）
学生在下面练习，可以互相讨论。把学生答案通过实物投影展示。
构建符号
空间图形位置关系，可以用集合符号来表示。
尝试应用：
公理1的内容（即条件和结论）是什么？图形表示是什么？怎样运用符号来表示？
公理1：
师：任何事物都是相对的，符号语言是很简洁，但也不是万能的，有时需要辅以必要的文字说明。以公理3为例让学生体会。
公理3： A、B、C三点不共线
回顾反思：
立体几何的研究对象是立体图形，图形直观地反映了空间点、线、面的位置关系，文字语言是对图形的描述、解释与讨论，符号语言则是文字语言的简单化和再次抽象，对于研究对象的文字和符号描述，必须紧密联系图形，使抽象与直观结合起来，学习立体几何的过程中，要求同学们能够将三种语言进行熟练的转化，文字语言或是图形语言转化为符号语言的时候，一定要做到既不重复又不遗漏且符合原意，有时符号与文字共用，这说明任何事物都是辩证的。
二、确定平面的方法
创设情境
公理3的作用是什么？并以教室的门为实例，分析“有且只有一个”是“确定”的意思。所谓“确定”就是固定住了。
师：公理3用不共线的三点确定了一个平面，那么，根据大家的生活实践经验，还有其它确定平面的方法吗？
组织活动：
学生拿出准备好的竹签和垫板，按照学习小组分组讨论。 要求学生动手实验，如何把垫板固定住？
探索发现：
派学生代表上讲台交流实验发现的结果。
师：如果把两根竹签抽象成两条直线，垫板抽象成一个平面，那么我们会得到什么样的结论？
学生：思考
构建理论：
引导学生归纳总结得出结论：
经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。
经过两条相交直线，有且只有一个平面。
经过两条平行直线，有且只有一个平面。
师：公理是无需证明的，但对于上述结论的正确性，还是需要进行严格的证
明。
分析：（1）与平面几何的证明一样，证明立体几何问题的一般步骤是：
第一步：根据题意作图，写出已知、求证。
第二步：写出证明过程。
（2）对于“有且只有”型命题的证明，要从“有”和“只有”两方面证明。即既要证明存在性“有”，又要证明唯一性“只有”。
（3）化生疏为熟悉，化未知为已知是我们常用的解（证）题方法。
师：命题1的图形语言是怎样的？在黑板上画出图形。
引导学生写已知和求证，说出证明思路。
师板书：已知：
求证：经过点A和直线有且只有一个平面。
证明： = 1 \* GB3 ①存在性：
在直线上任取两点B，C，据题意A、B、C三点不共线
根据公理3，经过不共线的三点A、B、C有一个平面
， （公理1）
所以平面就是经过直线和点A的平面。
= 2 \* GB3 ②（唯一性） ， ，
任何经过点A和的平面一定经过点A、B、C，
三点A、B、C不共线，
据公理3，这样的平面只有一个，
由 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②可知：经过一条直线和直线外一点有且只有一个平面。
尝试应用
实物投影如下练习：
练习：判断下列命题是否正确。
不共线的三点确定一个平面。
有三个公共点的两个平面重合。
三角形一定是平面图形。
平行四边形一定是平面图形。
四边形一定是平面图形。
不共线的四点确定一个平面。
两条直线确定一个平面
回顾反思（2）：
师：本节课学到了哪些知识？
在学生讨论交流的基础上教师归纳。
布置作业
证明推论2及推论3
板书设计
§9.1平面的基本性质——（2）
教案说明
一、教学内容及其地位和作用
《平面的基本性质》共2课时，本课是第2课时，任务是让学生掌握立体几何的符号语言和公理的三条推论。在第1课时中，学生已经掌握了平面基本性质的三条公里的内容及其作用，高一已经学习了有关集合的内容，本课是在此基础上继续熟悉立体几何的图形语言，学习符号语言，学习确定平面的更多方法——公理的三条推论。
《平面的基本性质》是立体几何的起始课，立体几何课程是初等几何教育的内容之一，是在初中平面几何学习的基础上开设的，以空间图形的性质、画法、计算以及它们的应用为研究对象，以演绎法为研究方法。通过立体几何的教学，使学生的认识水平从平面图形延拓至空间图形，完成由二维平面向三维空间的转化，发展学生的空间想象能力，逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力
平面的概念和平面的性质是立体几何全部理论的基础，“平面”是现实世界存在着的客观事物形态的数学抽象，在立体几何中是一个描述而不定义的原始概念，是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介，在立体几何平面化的过程中具有重要的桥梁作用。
平面的基本性质是通过三条公理及其推论来刻画的，是以后演绎推理的逻辑依据，通过这些内容的教学，使学生初步了解从具体的直观形象到严格的数学表述方法，使学生的思维从直觉思维上升至分析思维，使学生的观念逐步从平面转向空间。
二、本课的数学本质与教学目标定位
立体几何的符号语言是数学简约美的重要体现之一，从运动的观点来讲，线可以看成是点的轨迹，面可以看成是线的轨迹，因此，线、面可以看成是点的集合，从而抽象出用集合语言描述点、线、面关系的符号语言。平面的基本性质的三条公理和公理的三条推论来源于大量的生活现实，如：板凳至少需要几条腿？若干条腿放成一排行不行？为什么三条腿的凳子一定是稳的，而四条腿的凳子就可能出现不稳的现象？自行车怎样才能稳稳地站住？家家户户为什么上一把锁就安全了？怎样检查一张桌子的四条腿的下端是否在同一平面内？为什么用水平仪交叉放两次就可以知道桌面是否水平？……这些是学生能够感知的生活现实，大千世界，数学无处不在，教学中，通过捕捉生活中的数学现象，抽象得出公理的三条推论，使生活问题数学化，让学生感受数学与现实生活的联系，从现实生活中发现数学、学习数学、理解数学、应用数学，从而感受数学的魅力。正如荷兰数学家弗赖登塔尔在他所著的《作为教育任务的数学》一书中所讲：“数学起源于现实”，“数学教师的任务之一是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实。”
基于此，本课的教学目标定位在：1.经历用集合符号表示空间图形位置关系的过程，体验数学的简洁美，以及数学中的辨证思想，掌握数学语言的相互转化。2.在学生动手操作，自主探究的基础上，引导学生发现三个推论，进行“数学来源于实践”的唯物主义观念的教育，在此过程中，培养学生观察、实验、猜想、归纳的能力，逐步渗透事物间既有联系又有区别的观点，并要求学生掌握推论的内容。3.在经历推论1的证明过程中，培养学生言必有据，一丝不苟的学习品质。
三、教学诊断分析
在高一学生已经学习了有关集合的内容，并且经过函数、方程、不等式，三角函数等一系列内容对集合语言的应用，学生已经非常熟悉，所以很容易发现并掌握用集合语言表示空间点、线、面位置关系的符号语言。基于大多数学生本身的“数学现实”，老师在课上的引导和学生们动手探究的实践过程，学生也容易抽象出数学命题即推论，但在证明推论的过程中，有一点是学生不容易想到的，也是学生难以理解的，就是关于“唯一性”的证明，如推论1.的证明过程：在直线l上任取两点B、C，因为Al，所以A、B、C三点不共线，学生容易就此根据公理3证得推论1，事实上，这样只证明了“存在性”，这里必须强调“唯一性”的证明。
四、教法特点和预期效果分析
原苏联数学教育家斯托利亚尔在他所著的《数学教育学》一书中指出：“数学教学是数学活动的教学 ”，“数学活动是思维活动，对数学家而言，这是一个发现活动；对于数学教学来说，我们要教给学生的不是死记现成的材料，而是发现数学真理（自己独立的发现科学上已经发现了的东西），学生发现那些在科学上早已被发现的东西的时候，他是像第一次发现者那样去推理的。”在弗赖登塔尔的论述中也指出：“学生通过自己努力得到的结论和创造是数学教育内容的一部分”。新课标也在倡导积极主动、勇于探索的学习方式。基于这样的理念的指导，结合本课的教学内容，本课采用探究发现式教学法，以问题为载体，学生活动为主线，给学生留下思考的空间，为学生创造合作、探索、发现、创新的氛围，激发学生的学习兴趣，体现学生的主体地位，将传授知识和培养能力融为一体。
本课通过创设情境、系列设问，将学生带入探索新知的氛围，学生从已有的集合知识的经验，容易迁移得到立体几何的符号语言，体验了成功的乐趣，产生了继续探索新发现的欲望，老师再带领学生发现公理的三条推论，学生分组合作探究，使学生亲身经历数学知识的发生、发展及解决的全过程，体会到发现数学，应用数学的乐趣。这样做，可能有个别学生要面临一定的问题、困惑、挫折甚至失败，但通过组内合作交流和老师的指导，最终可以解决。这也体现了一个人成长、发展所必须经历的过程，对于培养意志品质起到了重要作用。
点评
内蒙古包头市第一中学张宏海老师在第四届全国高中青年数学教师优秀课观魔与评选活动中，以“平面的基本性质（2）”为题进行录像课展示与自述。本课的内容取自人教版大纲教材的高中二（下），即“公理的推论”。
一、“教学目标”中的问题
张老师为本节课制定的教学目标是：
1．经历用集合符号表示空间图形位置关系的过程，体验数学的简洁美，以及数学中的辨证思想，掌握数学语言的相互转化。
2．在学生动手操作、自主探究的基础上，引导学生发现三个推论，在此过程中，培养学生观察、实验、猜想的能力，并要求学生掌握推论的内容。
3．在经历推论1的证明过程中，培养学生推理论证的能力，体会数学的严谨性。
上述教学目标中，第1条基本准确，但把“用集合符号表示空间图形位置关系”拔高到“数学中的辩证思想”值得探讨；第2条，要让学生通过“动手操作、自主探究”发现三个推论，与“公理的推论”的内容特点不吻合，这一目标定位不够准确；第3条定位准确。
二、对教材内容顺序的处理
本节课教材的安排，先讲三个推论以及推论1的证明（其余两个作为练习），然后介绍把空间看作点的集合的观点以及用集合语言描述空间点、直线、平面之间关系的方法。张老师将上述顺序进行调换，这是一个好的做法。因为教材的安排主要考虑了三个推论与公理之间不间断，而教学中，三条公理和三个推论各一课时，所以在本课时采用先介绍集合语言表示，并将集合语言用于三个公理的表示，既能熟悉集合语言，又达到复习公理的目的，并且还为三个推论的不同语言表示及其证明作了准备，这是一举三得的。
三、关于操作性试验
在三个推论的获得过程中，张老师安排了如下环节：
创设情境
师：公理3用不共线的三点确定了一个平面，那么，根据大家的生活实践经验，还有其他确定平面的方法吗？
组织活动
学生拿出准备好的竹签和垫板，按照学习小组分组讨论。 要求学生动手实验，如何把垫板固定住？
探索发现
学生代表上讲台交流实验发现的结果。
师：如果把两根竹签抽象成两条直线，垫板抽象成一个平面，那么我们会得到什么样的结论？
构建理论
引导学生归纳总结得出三个推论。
证明推论
教师重点分析“有且只有”型命题的证明，要从“有”和“只有”两方面证明。即既要证明存在性“有”，又要证明唯一性“只有”。
上述环节是本节课的核心。现在的问题是：这样安排是否体现了本节课的教学要求？
应当说，张老师安排的通过实际操作“探索发现”三个推论的教学过程，不能反映由“公理的推论”所决定的教学要求。理由如下：从本节课教学内容的逻辑关系看，“公理的推论”就是以公理作为前提，推出“经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面”等结论，所用的推理形式是演绎推理。事实上，教科书也对如何得到推论有明确的提示：“由上面的公理，可以得到下面的推论”。因此，通过实验“探索发现”三个推论的做法是不合适的。
在课后的交流中，我曾经问张老师：安排探索活动发现三个推论的目的是什么？这样做会失去什么？张老师给的回答很实在：如果不这样处理，课堂上只能“从数学到数学”，学生的动手实践、合作探究、交流互动等都不能体现，不符合新课改的要求。至于会失去什么，确实没有考虑过。我想，作为全国性的优秀课评选中的课，张老师首先考虑“符合课改理念”，要尽量“出新”，这是可以理解的。但是，同样重要的一个问题是，我们不能为了“出新”而忘记了数学教育的根本职责——培育学生的理性精神。显然，“公理的推论”需要渗透公理化思想，这是培养学生理性思维的好载体，为了“符合课改理念”而放弃演绎推理的要求是得不偿失的。
数学课要教数学。课内外安排的任何活动，无论是动手实验、合作探究还是交流互动等，都应当为理解数学内容服务，而且，并不是所有数学内容的引入、发现都需要实验操作，特别是，在高中阶段应当更多地引导学生从数学内在的逻辑发展要求去探索数学概念的引入、数学原理的发现等。
课题
§9.1平面的基本性质（2）
课型
新授课
教材
人教版高中数学第二册下B
教学目标
经历用集合符号表示空间图形位置关系的过程，体验数学的简洁美，以及数学中的辨证思想，掌握数学语言的相互转化。
在学生动手操作，自主探究的基础上，引导学生发现三个推论，在此过程中，培养学生观察、实验、猜想的能力，并要求学生掌握推论的内容。
在经历推论1的证明过程中，培养学生推理论证的能力，体会数学的严谨性。
教学
重点
发现公理的三个推论及对推论1的证明。
文字语言、图形语言、符号语言间的互译。
教学
难点
对“有且只有一个”语句的理解。
对推论1的“存在性”与“唯一性”的证明及书写格式。
平面的基本性质的简单应用。
教法
分析
根据对教材的重点、难点、教学目标及学生情况的分析，本着教法为学法服务的宗旨，确定以下教学方法：
本节课采用探究发现式教学法，并利用实物投影辅助教学。遵循“以学生为主体，教师为课堂教学活动的组织者、引导者、参与者”的现代教育思想。依据本节课的特点，引导学生通过实验进行观察、分析，发现公理的三个推论，并加深对“有且只有一个”语句的理解。通过系列设问，帮助学生渐次展开思维和想象，理解公理推论的实质和作用。由于学生初次接触“存在性”和“唯一性”的证明，因此通过模型的直观性引导学生以公理3和公理1为主要的推理依据进行分析，培养推理论证的能力，证明过程不仅要进行口头表述，而且教师要板书，使学生熟悉证明的书写格式。最后，无论定理还是推论，都要将文字语言转化为图形语言和符号语言。本节课以问题的提出，问题的解决为主线，始终在学生的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究发现，在师生互动、生生互动中，让学习过程成为学生心灵愉快的主动认知过程。
教学过程设计
创设情境→组织活动→探索发现→建构理论→尝试应用→回顾反思
教具
竹签、垫板、实物投影
实
物
投
影
推论1
推论2
推论3
推论1的证明
一加一等于2
1+1=2
符号语言：
练习
张宏海 执教（内蒙古包头市第一中学）
章建跃 点评（人民教育出版社中学数学室）
教案
教学过程
一、立体几何中的符号语言
创设情境
板书：一加一等于二
1+1=2
师：如果让你选择其中一种方法表示，你更喜欢哪一种？
……
师：为什么？
……
师：好，这就体现了我们数学中的一种简约美，这种简约美在立体几何中也有很好的体现。我们可以把线、面看成是点的集合，这样的话，点与直线、点与平面的位置关系就是元素与集合的关系，直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系就是集合与集合之间的关系，那么，我们能用已经学过的集合语言来描述一下空间中的点、线、面的位置关系吗？
请看题：
组织活动：（实物投影）
点A在直线上 （）
B
点B在直线外 （） A
点A在平面内 （） B
点B在平面外 （） A
直线a和直线b相交于点O
a
O
（）
b
平面与平面相交于直线
（）
（或）
学生在下面练习，可以互相讨论。把学生答案通过实物投影展示。
构建符号
空间图形位置关系，可以用集合符号来表示。
尝试应用：
公理1的内容（即条件和结论）是什么？图形表示是什么？怎样运用符号来表示？
公理1：
师：任何事物都是相对的，符号语言是很简洁，但也不是万能的，有时需要辅以必要的文字说明。以公理3为例让学生体会。
公理3： A、B、C三点不共线
回顾反思：
立体几何的研究对象是立体图形，图形直观地反映了空间点、线、面的位置关系，文字语言是对图形的描述、解释与讨论，符号语言则是文字语言的简单化和再次抽象，对于研究对象的文字和符号描述，必须紧密联系图形，使抽象与直观结合起来，学习立体几何的过程中，要求同学们能够将三种语言进行熟练的转化，文字语言或是图形语言转化为符号语言的时候，一定要做到既不重复又不遗漏且符合原意，有时符号与文字共用，这说明任何事物都是辩证的。
二、确定平面的方法
创设情境
公理3的作用是什么？并以教室的门为实例，分析“有且只有一个”是“确定”的意思。所谓“确定”就是固定住了。
师：公理3用不共线的三点确定了一个平面，那么，根据大家的生活实践经验，还有其它确定平面的方法吗？
组织活动：
学生拿出准备好的竹签和垫板，按照学习小组分组讨论。 要求学生动手实验，如何把垫板固定住？
探索发现：
派学生代表上讲台交流实验发现的结果。
师：如果把两根竹签抽象成两条直线，垫板抽象成一个平面，那么我们会得到什么样的结论？
学生：思考
构建理论：
引导学生归纳总结得出结论：
经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。
经过两条相交直线，有且只有一个平面。
经过两条平行直线，有且只有一个平面。
师：公理是无需证明的，但对于上述结论的正确性，还是需要进行严格的证
明。
分析：（1）与平面几何的证明一样，证明立体几何问题的一般步骤是：
第一步：根据题意作图，写出已知、求证。
第二步：写出证明过程。
（2）对于“有且只有”型命题的证明，要从“有”和“只有”两方面证明。即既要证明存在性“有”，又要证明唯一性“只有”。
（3）化生疏为熟悉，化未知为已知是我们常用的解（证）题方法。
师：命题1的图形语言是怎样的？在黑板上画出图形。
引导学生写已知和求证，说出证明思路。
师板书：已知：
求证：经过点A和直线有且只有一个平面。
证明： = 1 \* GB3 ①存在性：
在直线上任取两点B，C，据题意A、B、C三点不共线
根据公理3，经过不共线的三点A、B、C有一个平面
， （公理1）
所以平面就是经过直线和点A的平面。
= 2 \* GB3 ②（唯一性） ， ，
任何经过点A和的平面一定经过点A、B、C，
三点A、B、C不共线，
据公理3，这样的平面只有一个，
由 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②可知：经过一条直线和直线外一点有且只有一个平面。
尝试应用
实物投影如下练习：
练习：判断下列命题是否正确。
不共线的三点确定一个平面。
有三个公共点的两个平面重合。
三角形一定是平面图形。
平行四边形一定是平面图形。
四边形一定是平面图形。
不共线的四点确定一个平面。
两条直线确定一个平面
回顾反思（2）：
师：本节课学到了哪些知识？
在学生讨论交流的基础上教师归纳。
布置作业
证明推论2及推论3
板书设计
§9.1平面的基本性质——（2）
教案说明
一、教学内容及其地位和作用
《平面的基本性质》共2课时，本课是第2课时，任务是让学生掌握立体几何的符号语言和公理的三条推论。在第1课时中，学生已经掌握了平面基本性质的三条公里的内容及其作用，高一已经学习了有关集合的内容，本课是在此基础上继续熟悉立体几何的图形语言，学习符号语言，学习确定平面的更多方法——公理的三条推论。
《平面的基本性质》是立体几何的起始课，立体几何课程是初等几何教育的内容之一，是在初中平面几何学习的基础上开设的，以空间图形的性质、画法、计算以及它们的应用为研究对象，以演绎法为研究方法。通过立体几何的教学，使学生的认识水平从平面图形延拓至空间图形，完成由二维平面向三维空间的转化，发展学生的空间想象能力，逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力
平面的概念和平面的性质是立体几何全部理论的基础，“平面”是现实世界存在着的客观事物形态的数学抽象，在立体几何中是一个描述而不定义的原始概念，是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介，在立体几何平面化的过程中具有重要的桥梁作用。
平面的基本性质是通过三条公理及其推论来刻画的，是以后演绎推理的逻辑依据，通过这些内容的教学，使学生初步了解从具体的直观形象到严格的数学表述方法，使学生的思维从直觉思维上升至分析思维，使学生的观念逐步从平面转向空间。
二、本课的数学本质与教学目标定位
立体几何的符号语言是数学简约美的重要体现之一，从运动的观点来讲，线可以看成是点的轨迹，面可以看成是线的轨迹，因此，线、面可以看成是点的集合，从而抽象出用集合语言描述点、线、面关系的符号语言。平面的基本性质的三条公理和公理的三条推论来源于大量的生活现实，如：板凳至少需要几条腿？若干条腿放成一排行不行？为什么三条腿的凳子一定是稳的，而四条腿的凳子就可能出现不稳的现象？自行车怎样才能稳稳地站住？家家户户为什么上一把锁就安全了？怎样检查一张桌子的四条腿的下端是否在同一平面内？为什么用水平仪交叉放两次就可以知道桌面是否水平？……这些是学生能够感知的生活现实，大千世界，数学无处不在，教学中，通过捕捉生活中的数学现象，抽象得出公理的三条推论，使生活问题数学化，让学生感受数学与现实生活的联系，从现实生活中发现数学、学习数学、理解数学、应用数学，从而感受数学的魅力。正如荷兰数学家弗赖登塔尔在他所著的《作为教育任务的数学》一书中所讲：“数学起源于现实”，“数学教师的任务之一是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实。”
基于此，本课的教学目标定位在：1.经历用集合符号表示空间图形位置关系的过程，体验数学的简洁美，以及数学中的辨证思想，掌握数学语言的相互转化。2.在学生动手操作，自主探究的基础上，引导学生发现三个推论，进行“数学来源于实践”的唯物主义观念的教育，在此过程中，培养学生观察、实验、猜想、归纳的能力，逐步渗透事物间既有联系又有区别的观点，并要求学生掌握推论的内容。3.在经历推论1的证明过程中，培养学生言必有据，一丝不苟的学习品质。
三、教学诊断分析
在高一学生已经学习了有关集合的内容，并且经过函数、方程、不等式，三角函数等一系列内容对集合语言的应用，学生已经非常熟悉，所以很容易发现并掌握用集合语言表示空间点、线、面位置关系的符号语言。基于大多数学生本身的“数学现实”，老师在课上的引导和学生们动手探究的实践过程，学生也容易抽象出数学命题即推论，但在证明推论的过程中，有一点是学生不容易想到的，也是学生难以理解的，就是关于“唯一性”的证明，如推论1.的证明过程：在直线l上任取两点B、C，因为Al，所以A、B、C三点不共线，学生容易就此根据公理3证得推论1，事实上，这样只证明了“存在性”，这里必须强调“唯一性”的证明。
四、教法特点和预期效果分析
原苏联数学教育家斯托利亚尔在他所著的《数学教育学》一书中指出：“数学教学是数学活动的教学 ”，“数学活动是思维活动，对数学家而言，这是一个发现活动；对于数学教学来说，我们要教给学生的不是死记现成的材料，而是发现数学真理（自己独立的发现科学上已经发现了的东西），学生发现那些在科学上早已被发现的东西的时候，他是像第一次发现者那样去推理的。”在弗赖登塔尔的论述中也指出：“学生通过自己努力得到的结论和创造是数学教育内容的一部分”。新课标也在倡导积极主动、勇于探索的学习方式。基于这样的理念的指导，结合本课的教学内容，本课采用探究发现式教学法，以问题为载体，学生活动为主线，给学生留下思考的空间，为学生创造合作、探索、发现、创新的氛围，激发学生的学习兴趣，体现学生的主体地位，将传授知识和培养能力融为一体。
本课通过创设情境、系列设问，将学生带入探索新知的氛围，学生从已有的集合知识的经验，容易迁移得到立体几何的符号语言，体验了成功的乐趣，产生了继续探索新发现的欲望，老师再带领学生发现公理的三条推论，学生分组合作探究，使学生亲身经历数学知识的发生、发展及解决的全过程，体会到发现数学，应用数学的乐趣。这样做，可能有个别学生要面临一定的问题、困惑、挫折甚至失败，但通过组内合作交流和老师的指导，最终可以解决。这也体现了一个人成长、发展所必须经历的过程，对于培养意志品质起到了重要作用。
点评
内蒙古包头市第一中学张宏海老师在第四届全国高中青年数学教师优秀课观魔与评选活动中，以“平面的基本性质（2）”为题进行录像课展示与自述。本课的内容取自人教版大纲教材的高中二（下），即“公理的推论”。
一、“教学目标”中的问题
张老师为本节课制定的教学目标是：
1．经历用集合符号表示空间图形位置关系的过程，体验数学的简洁美，以及数学中的辨证思想，掌握数学语言的相互转化。
2．在学生动手操作、自主探究的基础上，引导学生发现三个推论，在此过程中，培养学生观察、实验、猜想的能力，并要求学生掌握推论的内容。
3．在经历推论1的证明过程中，培养学生推理论证的能力，体会数学的严谨性。
上述教学目标中，第1条基本准确，但把“用集合符号表示空间图形位置关系”拔高到“数学中的辩证思想”值得探讨；第2条，要让学生通过“动手操作、自主探究”发现三个推论，与“公理的推论”的内容特点不吻合，这一目标定位不够准确；第3条定位准确。
二、对教材内容顺序的处理
本节课教材的安排，先讲三个推论以及推论1的证明（其余两个作为练习），然后介绍把空间看作点的集合的观点以及用集合语言描述空间点、直线、平面之间关系的方法。张老师将上述顺序进行调换，这是一个好的做法。因为教材的安排主要考虑了三个推论与公理之间不间断，而教学中，三条公理和三个推论各一课时，所以在本课时采用先介绍集合语言表示，并将集合语言用于三个公理的表示，既能熟悉集合语言，又达到复习公理的目的，并且还为三个推论的不同语言表示及其证明作了准备，这是一举三得的。
三、关于操作性试验
在三个推论的获得过程中，张老师安排了如下环节：
创设情境
师：公理3用不共线的三点确定了一个平面，那么，根据大家的生活实践经验，还有其他确定平面的方法吗？
组织活动
学生拿出准备好的竹签和垫板，按照学习小组分组讨论。 要求学生动手实验，如何把垫板固定住？
探索发现
学生代表上讲台交流实验发现的结果。
师：如果把两根竹签抽象成两条直线，垫板抽象成一个平面，那么我们会得到什么样的结论？
构建理论
引导学生归纳总结得出三个推论。
证明推论
教师重点分析“有且只有”型命题的证明，要从“有”和“只有”两方面证明。即既要证明存在性“有”，又要证明唯一性“只有”。
上述环节是本节课的核心。现在的问题是：这样安排是否体现了本节课的教学要求？
应当说，张老师安排的通过实际操作“探索发现”三个推论的教学过程，不能反映由“公理的推论”所决定的教学要求。理由如下：从本节课教学内容的逻辑关系看，“公理的推论”就是以公理作为前提，推出“经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面”等结论，所用的推理形式是演绎推理。事实上，教科书也对如何得到推论有明确的提示：“由上面的公理，可以得到下面的推论”。因此，通过实验“探索发现”三个推论的做法是不合适的。
在课后的交流中，我曾经问张老师：安排探索活动发现三个推论的目的是什么？这样做会失去什么？张老师给的回答很实在：如果不这样处理，课堂上只能“从数学到数学”，学生的动手实践、合作探究、交流互动等都不能体现，不符合新课改的要求。至于会失去什么，确实没有考虑过。我想，作为全国性的优秀课评选中的课，张老师首先考虑“符合课改理念”，要尽量“出新”，这是可以理解的。但是，同样重要的一个问题是，我们不能为了“出新”而忘记了数学教育的根本职责——培育学生的理性精神。显然，“公理的推论”需要渗透公理化思想，这是培养学生理性思维的好载体，为了“符合课改理念”而放弃演绎推理的要求是得不偿失的。
数学课要教数学。课内外安排的任何活动，无论是动手实验、合作探究还是交流互动等，都应当为理解数学内容服务，而且，并不是所有数学内容的引入、发现都需要实验操作，特别是，在高中阶段应当更多地引导学生从数学内在的逻辑发展要求去探索数学概念的引入、数学原理的发现等。
课题
§9.1平面的基本性质（2）
课型
新授课
教材
人教版高中数学第二册下B
教学目标
经历用集合符号表示空间图形位置关系的过程，体验数学的简洁美，以及数学中的辨证思想，掌握数学语言的相互转化。
在学生动手操作，自主探究的基础上，引导学生发现三个推论，在此过程中，培养学生观察、实验、猜想的能力，并要求学生掌握推论的内容。
在经历推论1的证明过程中，培养学生推理论证的能力，体会数学的严谨性。
教学
重点
发现公理的三个推论及对推论1的证明。
文字语言、图形语言、符号语言间的互译。
教学
难点
对“有且只有一个”语句的理解。
对推论1的“存在性”与“唯一性”的证明及书写格式。
平面的基本性质的简单应用。
教法
分析
根据对教材的重点、难点、教学目标及学生情况的分析，本着教法为学法服务的宗旨，确定以下教学方法：
本节课采用探究发现式教学法，并利用实物投影辅助教学。遵循“以学生为主体，教师为课堂教学活动的组织者、引导者、参与者”的现代教育思想。依据本节课的特点，引导学生通过实验进行观察、分析，发现公理的三个推论，并加深对“有且只有一个”语句的理解。通过系列设问，帮助学生渐次展开思维和想象，理解公理推论的实质和作用。由于学生初次接触“存在性”和“唯一性”的证明，因此通过模型的直观性引导学生以公理3和公理1为主要的推理依据进行分析，培养推理论证的能力，证明过程不仅要进行口头表述，而且教师要板书，使学生熟悉证明的书写格式。最后，无论定理还是推论，都要将文字语言转化为图形语言和符号语言。本节课以问题的提出，问题的解决为主线，始终在学生的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究发现，在师生互动、生生互动中，让学习过程成为学生心灵愉快的主动认知过程。
教学过程设计
创设情境→组织活动→探索发现→建构理论→尝试应用→回顾反思
教具
竹签、垫板、实物投影
实
物
投
影
推论1
推论2
推论3
推论1的证明
一加一等于2
1+1=2
符号语言：
练习
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