《指数函数》（人教A版必修1）学案

这是一份《指数函数》（人教A版必修1）学案，共20页。

§2.1　指数函数
2．1.1　指数与指数幂的运算

1．根式的两条基本性质
(1)性质1：()n＝a (n>1，n∈N*，当n为奇数时，a∈R；
当n为偶数时，a≥0)．
当n为奇数时，表示a的n次方根，由n次方根的定义，得()n＝a；
当n为偶数时，表示正数a的正的n次方根或0的n次方根，由n次方根的定义，得()n＝a.
若a<0，n为偶数，则没有意义．如()2≠－2.
(2)性质2：＝(n>1，n∈N*)．
当n为奇数时，∵an＝an，
∴a是an的n次方根，即a＝；
当n为偶数时，(|a|)n＝an≥0，
∴|a|是an的n次方根，
即|a|＝＝
如＝2.
2．整数指数幂的运算性质对于实数指数幂也同样适用
即对任意实数r，s，均有
(1)aras＝ar＋s (a>0，r，s∈R)(指数相加律)；
(2)(ar)s＝ars (a>0，r，s∈R) (指数相乘律)；
(3)(ab)r＝arbr (a>0，b>0，r∈R)(指数分配律)
要注意上述运算性质中，底数大于0的要求
.


　　　 题型一　有理指数幂的混合运算

计算下列各式：
(1)0＋2－2·－－(0.01)0.5；
(2)－＋(0.002)－－10(－2)－1＋(－)0.
分析　负化正，大化小，根式化为分数指数幂，小数化分数，是简化运算的常用技巧．
解　(1)原式＝1＋×－
＝1＋－＝.
(2)原式＝(－1)－－＋－－＋1
＝－＋(500)－10(＋2)＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
点评　一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的．


　　　 题型二　有理数指数幂的化简
求值问题

化简：(1)－；
(2) (a>0)．
解　(1)原式＝－
＝a－b－(a－b)＝0.
(2)原式＝＝a2－－＝a＝.
点评　一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘、除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．利用乘法公式解决分数指数幂的化简求值问题，是简化运算的常用方法，熟练掌握a＝(a)2 (a>0)，a＝(a)3以及ab－a－b＝(a＋a－)(a－a－)等变形．



　　　 题型三　灵活应用——整体代入法

已知x＋y＝12，xy＝9，且x 分析　一般不宜采用直接求值的方法，要考虑把x＋y及xy整体代入求值．
解　＝＝.①
∵x＋y＝12，xy＝9，②
∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.
∵x 将式②、③代入式①得
＝＝－.
点评　“整体代入”方法在条件求值中非常重要，也是高中数学的一种重要的解题思想、解题方法，它反映了我们“把握全局”的能力．解题过程中不宜求出x、y后再代入，而应考虑把x＋y及xy整体代入求值．

化简：(1－a)[(a－1)－2(－a)].
错解　(1－a)[(a－1)－2(－a)]
＝(1－a)(a－1)－1·(－a)＝－(－a).
错因分析　错解的原因在于忽略了题中有(－a)，即相当于告知－a≥0，故a≤0，这样，[(a－1)－2]≠(a－1)－1.
正解　由(－a)知－a≥0，故a－1<0，
∴(1－a)[(a－1)－2·(－a)]
＝(1－a)(1－a)－1(－a)＝(－a).

本节在高考中主要以选择题或填空题的形式考查，往往以考查基本知识为主．
1．(潍坊模拟)若a>1，b>0，且ab＋a－b＝2，则ab－a－b的值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A. B．2或－2
C．－2 D．2
解析　∵(ab＋a－b)2＝8⇒a2b＋a－2b＝6，
∴(ab－a－b)2＝a2b＋a－2b－2＝4.
又ab>a－b (a>1，b>0)，∴ab－a－b＝2.
答案　D
2．(全国高考)如果a3＝3，a10＝384，a3n－3＝________.
解析　原式＝3n－3＝3·(128)n－3＝3·2n－3.
答案　3·2n－3

1．当a>0时，下列式子中正确的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．a＋a－＝0 B．a·a＝a
C．a÷a＝a2 D．(a－)2＝
答案　D
2．若(2x－6)x2－5x＋6＝1，则下列结果正确的是(　　)
A．x＝2 B．x＝3
C．x＝2或x＝ D．非上述答案
答案　C
解析　由x2－5x＋6＝0，得(x－2)(x－3)＝0.
∴x＝2或x＝3，但x＝3时，00无意义．
由2x－6＝1，得x＝.故x＝2或x＝.
3．若a＋a－1＝3，则a2＋a－2的值为(　　)
A．9 B．6 C．7 D．11
答案　C
解析　a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝32－2＝7.
4．根据n次方根的意义，下列各式：①()n＝a；②不一定等于a；③n是奇数时，＝a；④n为偶数时，＝|a|.其中正确的有(　　)
A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②④
答案　A
解析　按分数指数幂规定①②③④全正确．
5．化简 (a>0，b>0)的结果是(　　)
A. B．ab
C．a2b D.
答案　D
解析　原式＝
＝a＋－1＋·b1＋－2－＝.
6．计算：－2＋0－27＝________.
答案　14
解析　原式＝(2－2)－2＋1－33×＝24＋1－3＝14.
7．(1)计算：0.027－－－2＋2560.75＋0－3－1；
(2)若2x＋2－x＝3，求8x＋8－x的值．
解　(1)原式＝(0.33)－－＋(28)＋1－
＝0.3－1－36＋64＋1－
＝－－36＋64＋1＝32.
(2)∵8x＋8－x＝(2x)3＋(2－x)3
＝(2x＋2－x)[(2x)2－2x·2－x＋(2－x)2]
＝3[(2x＋2－x)2－3·2x·2－x]
＝3×(32－3)＝18


学习目标
1．了解指数函数模型的实际背景，体会引入有理数指数幂的必要性．
2．理解有理数指数幂的含义，知道实数指数幂的意义，掌握幂的运算．

自学导引
1．如果一个数的n次方等于a(n>1，且n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根．
2．式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
3．(1)n∈N*时，()n＝a.
(2)n为正奇数时，＝a；n为正偶数时，＝|a|.
4．分数指数幂的定义：(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：a＝(a>0，n、m∈N*，且n>1)；
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a－＝(a>0，n、m∈N*，且n>1)；
(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义．
5．有理数指数幂的运算性质：
(1)aras＝ar＋s(a>0，r、s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r、s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)
.


　　　　　　 一、根式的化简与求值

例1　求下列各式的值：
(1)；(2)；
(3).
解　(1)＝－3.
(2)＝＝＝3.
(3)＝.
点评　解决根式的化简问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行解答．
变式迁移1　计算下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3).
解　(1)＝－8.
(2)＝|－10|＝10.
(3)＝3－π.



　　　 二、根式与分数指数幂的互化

例2　用分数指数幂的形式表示下列各式(式中a>0)：
(1)a2·；(2)a3·；(3).
分析　先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可．
解　(1)a2·＝a2·a＝a2＋＝a.
(2)a3·＝a3·a＝a3＋＝a.
(3)＝(a·a)＝(a)＝a.
点评　此类问题应熟练应用a＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．
变式迁移2　将下列根式化成分数指数幂的形式：
(1)；
(2)()－ (b>0)．
解　(1)原式＝＝＝
＝＝＝x－.
(2)原式＝[(b－)]－＝b－××＝b.



　　　 三、利用幂的运算性质化简、求值

例3　计算下列各式：
(1)(0.064)－－0＋[(－2)3]－＋16－0.75＋|－0.01|；
(2)÷ (a>0)．
解　(1)原式＝[(0.4)3]－－1＋(－2)－4＋2－3＋[(0.1)2]
＝(0.4)－1－1＋＋＋0.1＝.
(2)原式＝(a·a－)÷(a－·a)
＝a×3－×2＝a0＝1.
点评　(1)在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，并尽可能地统一成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质进行化简、求值、计算，以便于运算，达到化繁为简的目的．
(2)对于根式计算结果，不强求统一的表示形式．一般地用分数指数幂的形式来表示．如果有特殊要求，则按要求给出结果．但结果中不能同时含有根号和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数，即结果必须化为最简形式．
变式迁移3　化简：
1．5－×0＋80.25×＋(×)6－.
解　原式＝×1＋2×2＋22×33－×
＝＋2＋108－＝110.



1．理解好方根的概念，是进行根式的计算和化简的关键．
2．将根式转化为分数指数幂是化简求值的关键．
3．正整数指数幂的运算性质对于实数指数幂仍然适用，只是底数的范围缩小为a>0.(想一想，为什么？)

一、选择题
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．下列运算中，正确的是(　　)
A．a2·a3＝a6 B．(－a2)5＝(－a5)2
C．(－1)0＝0 D．(－a2)5＝－a10
答案　D
2．化简－得(　　)
A．6 B．2x
C．6或－2x D．－2x或6或2x
答案　C
解析　原式＝|x＋3|－(x－3)
＝＝
3．()2·()2等于(　　)
A．a B．a2 C．a3 D．a4
答案　B
4．把根式－2改写成分数指数幂的形式为(　　)
A．－2(a－b)－ B．－2(a－b)－
C．－2(a－－b－) D．－2(a－－b－)
答案　A
5．化简(ab)÷2的结果是(　　)
A．6a B．－a C．－9a D．9a
答案　D
二、填空题
6．计算：64－的值是________．
答案　
解析　64－＝(26)－＝2－4＝.
7．化简的结果是________．
答案　－
解析　由题意知x<0，∴＝－＝－.
8．设5x＝4,5y＝2，则52x－y＝________.
答案　8
解析　52x－y＝(5x)2·(5y)－1＝42·2－1＝8.
三、解答题
9．计算：(0.027)－－－2＋256－3－1＋(－1)0.
解　原式＝(0.33)－－(－7－1)－2＋(44)－＋1
＝－49＋64－＋1＝19.
10．化简：
(1)()2＋＋；
(2)÷÷.
解　(1)原式＝a－1＋(a－1)＋1－a＝a－1
(2)原式＝÷÷
＝÷÷
＝a÷(a)÷(a－2)
＝a÷a÷a－＝a－÷a－
＝a－＋＝a.
2．1.2　指数函数及其性质

1．指数函数的定义
一般地，函数y＝ax (a>0，且a≠1)叫做指数函数．
理解指数函数的定义，需注意的几个问题：
(1)因为a>0，x是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R.
(2)规定底数a大于零且不等于1的理由：
如果a＝0，
如果a<0，比如y＝(－4)x，这时对于x＝，x＝，…，在实数范围内函数值不存在．
如果a＝1，y＝1x＝1，是一个常量，对它就没有研究的必要．
为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1.
(3)指数函数解析式的特征：ax的系数是1，a为常量，x为自变量，有些函数貌似指数函数，实际上却不是，例如y＝ax＋1 (a>0，a≠1)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，例如y＝a－x (a>0，a≠1)，因为这可等价化归为y＝x .
2．y＝ax (a>0，a≠1)的图象


图象
0 a>1


性质
定义域
(－∞，＋∞)
值域
(0，＋∞)
过定点
a>0且a≠1，无论a取何值恒过点(0,1)
各区间取值
当x>0时，0 当x<0时，y>1
当x>0时，y>1
当x<0时，0 单调性
定义域上单调递减
定义域上单调递增

3．利用指数函数的单调性可以比较幂的大小和指数值的大小
(1)比较同底数幂大小的方法：选定指数函数——比较指数大小——用指数函数单调性作出结论．
(2)比较异底数幂的大小一般采用“化成同底数幂”或采用“中间量法”，或采用“作商法”．
(3)利用指数函数的单调性可求形如af(x)>ag(x) (a>0，a≠1)不等式中变量x的取值范围(即比较指数大小)．其基本思路是由指数函数的单调性得出不等式f(x)>g(x)或f(x)


　　　　 题型一　函数的定义域、值域

(1)函数y＝的定义域是________；
(2)求函数y＝的定义域和值域．
(1)解析　由1－3x≥0，得3x≤1＝30，
因为函数y＝3x在实数集上是增函数，
所以x≤0，故函数y＝的定义域为(－∞，0]．
答案　(－∞，0]
(2)解　由x－2≥0，得x≥2，
所以此函数的定义域为[2，＋∞)．
当x∈[2，＋∞)时，≥0，又0<<1，
由指数函数的性质知，
y＝≤0＝1，且y>0，
故此函数的值域为(0,1]．
点评　本题中的函数都不是指数函数，但都与指数函数有关．根据指数函数的定义域为R，值域为(0，＋∞)，结合前一章求函数定义域和值域的方法，可以求解一些简单函数的定义域和值域．在求解中要注意正确运用指数函数的单调性．在求值域问题时，既要考虑指数函数的单调性，还应注意指数函数的值域为(0，＋∞)．



　　　　 题型二　指数函数的图象



如图是指数函数①y=ax，②y=bx，③y=cx，④y=dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为(　　)
A．a B．b C．1 D．a 解析　由图象可知③、④的底数必大于1，①、②的底数必小于1，过点(1,0)作直线x＝1在第一象限内分别与各曲线相交，可知1 答案　B
点评　不同底数的指数函数的图象在同一坐标平面内的相对位置关系是：在y轴右侧图象从下到上相应的底数由小到大；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大到小．


　　　　 题型三　指数函数性质的应用

比较下列各组数的大小：
(1)－0.1和－0.2；(2)和－；
(3)0.8－2和－；(4)a和a (a>0，且a≠1)．
解　(1)y＝x在上是减函数，
又－0.1>－0.2，故－0.1<－0.2.
(2)＝－，由y＝x的单调性可得，
－>－，即>－.
(3)由0.8－2>1而－<1，可知0.8－2>－.
(4)当a>1时，aa.
点评　当两个幂函数底数相同时，要比较这两个数的大小可根据它们的特征构造相应的指数函数，借助函数的单调性来比较大小．此题中第(3)小题的两个数不能看成某个指数函数的两个函数值，此时可以借助一些特殊数如0或1来搭桥间接比较两个数的大小，而第(2)小题则可以通过指数运算化为底数相同的两个幂，可构造指数函数来比较大小．因此，在利用指数函数的性质比较大小时，要注意以下几点：
(1)同底数幂比较大小，可直接根据指数函数的单调性比较；
(2)同指数幂比较大小，可利用作商和指数函数的性质判定商大于1还是小于1，从而得出结论；
(3)既不同底也不同指数幂比较大小，可找中间媒介(通常是1或0)，或用作差法，作商法来比较大小．



　　　　　 题型四　综合应用

已知函数f(x)＝·x3.
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的奇偶性；
(3)求证：f(x)>0.
(1)解　由2x－1≠0，得x≠0，
所以函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)解　f(－x)＝·(－x)3
＝－·x3＝·x3＝f(x)，
又因为函数f(x)的定义域关于坐标原点对称，所以f(x)为偶函数．
(3)证明　当x∈(0，＋∞)时，2x>1，
即2x－1>0，又>0，x3>0，
所以f(x)＝·x3>0，
由于f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，
知当x∈(－∞，0)时，f(x)>0也成立，
故对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(x)>0.
点评　指数函数是一种具体的初等函数，常与第一章学习的函数单调性、奇偶性等知识点融合在一起，此时按照原有的单调性、奇偶性的解决办法分析、解决问题即可，本例在第(3)问中，巧妙地应用了偶函数的性质而使问题巧妙地求解．

求函数y＝9x＋2·3x－2的值域．
错解　设3x＝t，则9x＝t2，
∴y＝t2＋2t－2＝(t＋1)2－3，
∴ymin＝－3，从而y＝9x＋2·3x－2的值域为[－3，＋∞)．
错因分析　若y＝－3，则9x＋2·3x＝－1，显然不成立．错因在于没有注意t＝3x>0这一隐含条件，在利用换元法时，一定要注意换元后新变量的取值范围．
正解　设3x＝t (t>0)，则y＝t2＋2t－2＝(t＋1)2－3，
∵当t＝0时，y＝－2，
∴y＝9x＋2·3x－2的值域为(－2，＋∞)．

1．指数函数的图象和性质是高考的重要考点之一，常在与其他知识的交汇处考查．
2．本节内容在高考中几乎每年都涉及，多以选择题或填空题的形式出现．
1．(山东高考)已知集合M＝{－1,1}，N＝，则M∩N等于(　　)
A．{－1,1} B．{－1} C．{0} D．{－1,0}
解析　N＝＝{x|－1 答案　B
2．(江苏高考)设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则有(　　)
A．f B．f C．f D．f 解析　当x≥1时，函数递增，且以x＝1为对称轴．
所以自变量与1的差值的绝对值越大，函数值越大．
答案　B

1．函数f(x)＝2－|x|的值域是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．(0,1] B．(0,1)
C．(0，＋∞) D．R
答案　A
解析　∵－|x|≤0，∴0<2x≤1，即函数的值域为(0,1]．
2．若指数函数f(x)＝(a－1)x是R上的减函数，则a的取值范围是(　　)
A．a>2 B．a<2
C．0 答案　D
解析　由题意知0 3．设f(x)＝|x|，x∈R，那么f(x)是(　　)
A．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数
B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数
C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数
D．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数
答案　A
解析　∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝|x|＝x，
∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
4．函数y＝ax－5＋1 (a≠0)的图象必经过点(　　)
A．(0,1) B．(5,1) C．(5,2) D．(1,5)
答案　C
解析　指数函数的图象必过点(0,1)，即a0＝1，
由此变形得a5－5＋1＝2，所以所求函数图象必过点(5,2)．
5．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝－1.5，则(　　)
A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3
C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2
答案　D
解析　y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，
y3＝－1.5＝21.5.
因为函数y＝2x在实数集上是增函数，
且1.8>1.5>1.44，所以y1>y3>y2.
6．已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为(　　)



答案　C
解析　由0 7．函数y＝的定义域是(－∞，0]，则a的取值范围是________．
答案　(0,1)
解析　由ax－1≥0，得ax≥1.
根据指数函数的性质知a∈(0,1)．
8．解不等式ax＋50，且a≠1)．
解　当a>1时，原不等式可变为x＋5<4x－1.解得x>2；
当04x－1.解得x<2.
故当a>1时，原不等式的解集为(2，＋∞)；
当0 9．设a>0，函数f(x)＝＋是定义域为实数集R的偶函数．
(1)求实数a的值；
(2)证明：f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(1)解　∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(x)＝f(－x)，即＋＝＋，
即3x＋＝0，
＝0，又根据题意，
可得－a＝0，又a>0，所以a＝1.
(2)证明　由(1)知f(x)＝3x＋，
设任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1 则f(x1)－f(x2)＝3x1＋－3x2－
＝(3x1－3x2).
因为0 又x1＋x2>0，所以3x1＋x2>1，
则1－＝>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1) 于是知f(x)在(0，＋∞)上是增函数


学习目标
1．理解指数函数的概念，会判断一个函数是否为指数函数．
2．掌握指数函数的图象和性质．

自学导引
1．指数函数的概念
一般地，形如y＝ax_(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
2．指数函数的图象和性质




a>1
0 图象


性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
过定点
过点(0,1)即x＝0时，y＝1
函数值的变化
当x>0时，y>1；
当x>0时，0 当x<0时，0 当x<0时，y>1
单调性
是R上的增函数
是R上的减函数






　　　　 一、指数函数定义的应用

例1　函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，求a的值．
分析　由题目可获取以下主要信息：①函数解析式中ax的系数为a2－3a＋3；②此函数为指数函数．解答本题只需紧扣指数函数的定义．
解　由y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，
可得，解得，
∴a＝2.
点评　判断一个函数是否为指数函数：
(1)切入点：利用指数函数的定义来判断；
(2)关键点：一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变量x.
变式迁移1　指出下列函数哪些是指数函数？
(1)y＝4x；　　　　　(2)y＝x4；
(3)y＝－4x; (4)y＝(－4)x；
(5)y＝πx；(6)y＝4x2；(7)y＝xx；
(8)y＝(2a－1)x (a>且a≠1)；(9)y＝4－x；(10)y＝42x.
解　(1)、(5)、(8)、(9)、(10)为指数函数．其中(9)y＝4－x＝x，(10)y＝42x＝(42)x＝16x符合指数函数的定义．而(2)中底数x不是常数，而4不是变数；(3)是－1与指数函数4x的乘积；(4)中底数－4<0，所以不是指数函数；(6)中指数不是自变量x，而是x的函数；(7)中底数x不是常数．它们都不符合指数函数的定义．



　　　　 二、求定义域、值域(最值)

例2　求下列函数的定义域与值域．
(1)y＝2；　(2)y＝－|x|.
解　(1)由x－4≠0，得x≠4.
∴定义域为{x|x∈R且x≠4}．
∵≠0，∴2≠1，
∴y＝2的值域为{y|y>0且y≠1}．
(2)定义域为R.
∵|x|≥0，∴y＝－|x|的值域为{y|y≥1}．
点评　求定义域要根据函数自身的要求，找出关于x的不等式，解不等式或不等式组可得定义域．求值域要根据定义域，根据函数的单调性，解答本题可利用换元思想化成指数函数．
变式迁移2　求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝3；
(2)y＝ .
解　(1)定义域为[2，＋∞)，
∵≥0，∴y＝3≥1，∴值域为[1，＋∞)．
(2)∵1－x≥0，∴x≤1，即x≥0，
∴函数y＝ 的定义域为[0，＋∞)．
令t＝x，∴0 ∴0≤1－t<1，∴0≤<1，
∴y＝ 的值域为[0,1)．



　　　　 三、指数函数单调性的应用

例3　比较下列各题中两个值的大小．
(1)1.72.5,1.73；　　　(2)0.8－0.1,1.250.2；
(3)1.70.3,0.93.1; (4)4.54.1,3.73.6.
分析　由本题可获得以下主要信息：都是两个指数幂进行大小比较．
解答本题可先将它们化成同底的指数幂的形式，然后，根据指数函数的性质求解．
解　(1)由于底数1.7>1，
所以指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数，
∵2.5<3，∴1.72.5<1.73.
(2)1.250.2＝0.8－0.2，
∵0<0.8<1，
∴指数函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上为减函数，
∴0.8－0.1<1.250.2.
(3)由指数函数的性质得
1．70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90＝1.
∴1.70.3>0.93.1.
(4)利用指数函数的单调性知4.54.1>4.53.6，
又∵4.53.6>0,3.73.6>0，∴＝3.6，
∵>1,3.6>1，∴3.6>1，
从而4.53.6>3.73.6，∴4.54.1>3.73.6.
点评　两数比较大小问题，一般方法是将其转化为同一函数的两个函数值的大小比较问题．对于1.70.3与0.93.1，不能直接看成某一个指数函数的两个值，所以(3)题无法用(1)、(2)两题的方法来进行比较．可在这两个数值之间找到中间量1，使这两个数值分别与数值1进行比较，进而比较出1.70.3与0.93.1的大小．(4)题直接比较有困难，可找中间变量4.53.6.
变式迁移3　比较，2，3，的大小．
解　将，2，3，分成如下三类：
(1)负数3；
(2)大于0小于1的数；
(3)大于1的数，2.
∵<4，而4＝2，
∴3<<<2.
例4　函数f(x)＝ax (a>0，a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值．
分析　解答本题可结合函数单调性，对a进行分类讨论求值．
解　(1)若a>1，则f(x)在[1,2]上递增，
最大值为a2，最小值为a.
∴a2－a＝，即a＝或a＝0(舍去).
(2)若0 最大值为a，最小值为a2.
∴a－a2＝，即a＝或a＝0(舍去)，
综上所述，所求a的值为或.
点评　利用指数函数的单调性，要注意对底数a的讨论，否则易失解．
变式迁移4　函数f(x)＝ax (a>0，a≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为6，求a的值．
解　∵f(x)＝ax在[1,2]上是单调函数，
∴f(x)在1或2时取得最值．
∴a＋a2＝6，解得a＝2或a＝－3，∵a>0，∴a＝2.



1．指数函数的定义及图象是本节的关键．通过图象可以求函数的值域及单调区间．
2．利用指数函数的性质可以比较两个指数幂的大小
(1)当两个正数指数幂的底数相同时，直接利用指数函数的单调性比较大小．
(2)当两个正数指数幂的底数不同而指数相同时，可利用两个指数函数的图象比较它们的大小．
(3)当两个正数指数幂的底数不同而且指数也不相同时，可考虑能否利用“媒介”数来比较它们的大小．
3．通过本节的学习，进一步体会分类讨论思想在解题中的应用．

一、选择题
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．若指数函数f(x)＝(a＋1)x是R上的减函数，那么a的取值范围为(　　)
A．a<2 B．a>2
C．－1 答案　C
2．下列一定是指数函数的是(　　)
A．形如y＝ax的函数 B．y＝xa (a>0且a≠1)
C．y＝(|a|＋2)－x D．y＝(a－2)ax
答案　C
解析　∵y＝(|a|＋2)－x＝x，|a|＋2≥2，
∴0<≤，符合指数函数定义．
3．值域为(0，＋∞)的函数是(　　)
A．y＝5 B．y＝1－x
C．y＝ D．y＝
答案　B
解析　∵B中定义域为R,1－x∈R，∴y＝1－x>0.
4．已知a＝30.2，b＝0.2－3，c＝(－3)0.2，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
答案　B
解析　c<0，b＝53>3,1a>c.
5．函数y＝2－x的图象为(　　)

答案　A
二、填空题
6．指数函数y＝f(x)的图象经过(π，e)，则f(－π)＝____.
答案　
解析　设f(x)＝ax，则aπ＝e，
∴f(－π)＝a－π＝(aπ)－1＝e－1＝.
7．函数y＝的定义域是____________．
答案　(－∞，2]
解析　由4－2x≥0，得2x≤4，x≤2.
8．若a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是______________．
答案　c>a>b
解析　∵y＝0.8x单调递减，∴1>a>b，
又∵c>1，∴c>a>b.
三、解答题
9．已知函数f(x)＝ax2＋3x－4，g(x)＝ax2＋2x－2 (a>0，a≠1)，若f(x)>g(x)，试确定x的范围．
解　由f(x)>g(x)得ax2＋3x－4>ax2＋2x－2.
当a>1时，x2＋3x－4>x2＋2x－2，∴x>2；
当0 ∴当a>1时，x的范围是(2，＋∞)；
当0 10．求下列函数的定义域和值域.
(1)y＝21＋2x－x2；(2)y＝3－－1；(3)y＝.
解　(1)函数定义域为R.
令u＝1＋2x－x2＝－(x－1)2＋2≤2，
所以y＝2u∈(0,4]，函数y＝21＋2x－x2的值域为(0,4]．
(2)函数的定义域为{x|x≠0}．
令u＝，则u＝∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．
所以y＝3－u－1＝u－1∈(－1,0)∪(0，＋∞)．
所以函数的值域为(－1,0)∪(0，＋∞)．
(3)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)．