《指数函数》学案8（人教A版必修1）

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题目 第二章函数指数函数和对数函数高考要求 1理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质2掌握指数函数的概念、图像和性质3理解对数的概念，掌握对数的运算性质；4掌握对数函数的概念、图像和性质能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题知识点归纳1根式的运算性质：①当n为任意正整数时，()=a②当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=⑶根式的基本性质：，（a0）2分数指数幂的运算性质：      3 的图象和性质 a>10<a<1图象性质(1)定义域：R（2）值域：（0，+∞）（3）过点（0，1），即x=0时，y=1（4）在 R上是增函数（4）在R上是减函数4指数式与对数式的互化：5重要公式： ，　对数恒等式6对数的运算法则如果有7对数换底公式：  ( a > 0 ,a  1 ，m > 0 ,m  1,N>0) 8两个常用的推论:①，  ② （ a, b > 0且均不为1）9对数函数的性质： a>10<a<1图象性质定义域：（0，+∞）值域：R过点（1，0），即当时，时 时 时  时在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数10同底的指数函数与对数函数互为反函数11指数方程和对数方程主要有以下几种类型：(1) af(x)=bf(x)=logab, logaf(x)=bf(x)=ab; （定义法）(2) af(x)=ag(x)f(x)=g(x), logaf(x)=logag(x)f(x)=g(x)>0（转化法）(3) af(x)=bg(x)f(x)logma=g(x)logmb(取对数法)(4) logaf(x)=logbg(x)logaf(x)=logag(x)/logab(换底法) 题型讲解 例1 计算：（1）；（2）；           （3）解：（1）原式             （2）原式             （3）原式            例2 已知，求的值解：∵，∴，∴，∴，    ∴，∴，   又∵，  ∴例3 已知，且，求的值 解：由得：，即，∴； 同理可得，∴由 得 ，∴，∴，∵，∴例4 设，，且，求的最小值解：令 ，∵，，∴  由得，∴， ∴，∵，∴，即，∴， ∴， ∵，∴当时，例5  设、、为正数，且满足     （1）求证：    （2）若，，求、、的值证明：（1）左边；解：（2）由得，∴……………①由得………… ……………②由①②得……………………………………③由①得，代入得，∵， ∴………………………………④由③、④解得，，从而 例6 （1）若，则，，从小到大依次为    ；    （2）若，且，，都是正数，则，，从小到大依次为          ；    （3）设，且（，），则与的大小关系是（   ）   A   B   C    D解：（1）由得，故  （2）令，则，，，，    ∴，∴；同理可得：，∴，∴（3）取，知选例8 已知函数，求证：（1）函数在上为增函数；（2）方程没有负数根证明：（1）设，则，∵，∴，，，∴；∵，且，∴，∴，∴，即，∴函数在上为增函数；另法：∵，∴∴函数在上为增函数；（2）假设是方程的负数根，且，则， 即，       ①当时,,∴,∴,而由知  ∴①式不成立；当时，，∴，∴，而∴①式不成立综上所述，方程没有负数根例9　已知函数（且）求证：（1）函数的图象在轴的一侧；     （2）函数图象上任意两点连线的斜率都大于证明：（1）由得：，∴当时，，即函数的定义域为，此时函数的图象在轴的右侧；当时，，即函数的定义域为，此时函数的图象在轴的左侧∴函数的图象在轴的一侧；（2）设、是函数图象上任意两点，且，则直线的斜率，，当时，由（1）知，∴，∴，∴，∴，又，∴；当时，由（1）知，∴，∴，∴，∴，又，∴∴函数图象上任意两点连线的斜率都大于学生练习 １合，若，，则，则运算可能是（ 　 ）   (A)加法      (B)减法     (C) 除法        (D)乘法 ２已知集合，，则满足条件的映射的个数是 ( 　  )（A）2             （B）4            （C）5           （D）7３某天清晨，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了 下面大致能上反映出小鹏这一天（0时—24时）体温的变化情况的图是                             (   )
 (A )      　　　　　 (B)      　　　　  (C)            (D)４定义两种运算：，，则函数为（   ）（A）奇函数                      （B）偶函数    （C）奇函数且为偶函数            （D）非奇函数且非偶函数５偶函数在上单调递增，则与的大小关系是 (    ) （A） （B） （C） 　　　　　　（D）6如图，指出函数①y=ax;②y=bx;③y=cx;④y=dx的图象，则a,b,c,d的大小关系是Aa<b<1<c<d　　　　Bb<a<1<d<cC1<a<b<c<d　　　　Da<b<1<d<c7若logx3>logy3>0,则下列不等式恒成立的是 (　　　)A<y–1/3        B<3x–y     C <31–y   　 D >31–y  8已知函数f(x)=lg(ax–bx)(a,b为常数，a>1>b>0),若x (1,+∞)时，f(x)>0恒成立，则(　　)Aa–b1    Ba–b>1     Ca–b1        Da=b+19如图是对数函数y=logax的图象，已知a取值,4/3,3/5,1/10,则相应于①, ②, ③, ④的a值依次是                 10已知y=loga(2–ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是     11已知函数，且正数C为常数对于任意的，存在一个，使，则称函数在D上的均值为C 试依据上述定义，写出一个均值为９的函数的例子：_____12设函数f(x)=lg,其中aR,如果当x(–∞,1)时，f(x)有意义，求a的取值范围13 a为何值时，关于x的方程2lgx–lg(x–1)=lga无解？有一解？有两解？14 绿缘商店每月向工厂按出厂价每瓶3元购进一种饮料根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低005元，则可多销售40瓶请你给该商店设计一个方案：每月的进货量当月销售完，销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？15已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足：（1）对于任意x∈[0，1]，总有f(x)≥0；（2）f(1)=1（3）若，，，则有（Ⅰ）试求f(0)的值；（Ⅱ）试求函数f(x)的最大值；（Ⅲ）试证明：满足上述条件的函数f(x)对一切实数x，都有f(x)≤2x16 设、为常数，：把平面上任意一点 （，）映射为函数   （1）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数；   （2）证明：当时，，这里t为常数；   （3）对于属于M的一个固定值，得，在映射F的作用下，M1作为象，求其原象，并说明它是什么图象？ 参考答案：１D２D３C４A５D6B  7D  8A9 ,4/3,3/5,1/10,   10 (1,2)11，，　（）12 a–3/413 0<a<4时，无解；a=4时，方程有一解；a>4时，方程有两解14450 15（I）令，依条件（3）可得f(0+0) ≥f(0)+f(0)，即f(0) ≤0又由条件（1）得f(0) ≥0，则f(0)=0（Ⅱ）任取，可知,则,即，故于是当0≤x≤1时，有f(x)≤f(1)=1因此，当x=1时，f(x)有最大值为1，（Ⅲ）证明：研究①当时，f(x) ≤1<2x②当时，首先，f(2x) ≥f(x)+f(x)=2f(x)，∴显然，当时，成立假设当时，有成立，其中k＝1，2，…那么当时，可知对于，总有，其中n=1，2，…而对于任意，存在正整数n，使得，此时,③当x=0时，f(0)=0≤2x综上可知，满足条件的函数f(x)，对x∈[0，1]，总有f(x) ≤2x成立16 (1)假设有两个不同的点（，），（，）对应同一函数，即与相同，即 对一切实数x均成立特别令x=0，得a=c；令，得b=d这与（a，b），（c，d）是两个不同点矛盾，假设不成立故不存在两个不同点对应同函数（2）当时，可得常数a0，b0，使由于为常数，设是常数从而（3）设，由此得（，）在映射F下，的原象是（m，n），则M1的原象是消去t得，即在映射F下，M1的原象是以原点为圆心，为半径的圆课前后备注