人教版新课标A必修1第一章集合与函数概念综合与测试导学案

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这是一份人教版新课标A必修1第一章集合与函数概念综合与测试导学案，共35页。

1.3.1 单调性与最大(小)值

1. 函数单调性的概念
一般地，设函数f(x)的定义域为I：
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
函数单调性的概念从以下四个方面理解：
(1) 定义中的x1，x2具有三个特征：
①任意性，即“任意取x1，x2”，“任意”二字决不能丢掉，证明单调性时更不能随意用两个特殊值替换；
②有大小，通常规定x1 ③同属于一个单调区间．三者缺一不可．
(2)函数的单调性是函数在某个区间上的性质，这个区间M⊆A.(A为函数的定义域)
(3)函数的单调性是指函数值在定义域内或定义域的某个区间内的变化趋势，是增加或减少的一种定性描述，它是函数的局部性质．
(4)单调区间端点的写法，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些无意义的点，单调区间不包括这些点．
2.函数单调性的判断与证明
(1)函数单调性的判断方法有三种：一是依据单调性的定义；二是依据函数的图象；三是依据已知函数的单调性判断．如已学过的一次函数、二次函数、反比例函数的单调性情况．
(2)函数单调性的证明方法：,依据定义进行证明．其步骤如下：
①取值：即设x1，x2是该区间上的任意两个值，且x1 ②作差变形：即作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；
③定号：确定差f(x1)－f(x2)的符号，当符号不确定时，可以分情况讨论；
④判定：依据定义得出结论．
2. 函数的最大(小)值
设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：
① 对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(或f(x)≥M)；
② ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.,那么，我们就称M是函数y＝f(x)的最大值(或最小值)．,注意以下三个问题：
(1)首先M是一个函数值，它是值域的一个元素．如f(x)＝－x2 (x∈R)的最大值为0，有f(0)＝0，注意对②中“存在”一词的理解．
(2)对于定义域内全部元素，都有f(x)≤M(或f(x)≥M)成立．“任意”是说对每一个值都必须满足不等式．
(3)这两个条件缺一不可，若只有①，M不是最大(小)值，如f(x)＝－x2 (x∈R)，对任意x∈R，都有f(x)≤1成立，但1不是最大值，否则大于0的任意实数都是最大值了．最大(小)值的核心就是不等式f(x)≤M(或f(x)≥M)，故也不能只有②.
题型一　函数单调性的判断及证明
下列函数在指定区间上为单调函数的是(　　)
A.y＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞),
B.y＝，x∈(1，＋∞),
C.y＝x2，x∈R,
D.y＝|x|，x∈R
分析　选择题的解题方法可以考虑图象法或特殊值法．
解析　选项A中，由反比例函数图象知：y＝\f(2,x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上均是单调递减的，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是单调函数；选项C中，由二次函数y＝x2，x∈R的图象知，它不是单调函数；选项D中，取x1＝－1，x2＝1，x1 求证函数f(x)＝x＋ (a.,>0)在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．
分析　利用定义证明，证明函数单调性的关键在于作差变形．
证明　(1)设0 则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
＝(x1－x2) ．
因为0 01，所以<0，
所以f(x1)－f(x2)>0，所以f(x1)>f(x2)．
所以f(x)在(0，\r(a.,)]上为减函数．
(2) 设≤x1 则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2) ．
因为x1－x2<0，x1x2>a.,，所以\<1，
所以>0，所以f(x1)－f(x2)<0.
所以f(x1) 点评　定义法证明单调性把握四个步骤：①取值；②作差；③定符号；④下结论．对于本题的结论非常重要，要记住．　　　
题型二　求函数的最大(小)值
已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a.,＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a.,的取值范围．
分析　对于(1)，将f(x)变形为f(x)＝x＋＋2，其在[1，＋∞)上单调递增，所以f(x)的最小值为f(1)；
对于(2)运用好等价转化，>0 (x∈[1，＋∞))恒成立等价于x2＋2x＋a.,>0恒成立，进而解出a.,的范围．
解　(1)当a.＝时，f(x)＝x＋＋2
由定义法可证得f(x)在上为增函数，
∴[1，＋∞)为f(x)的增区间，
∴f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝．
(3) 在区间[1，＋∞)上，
f(x)＝>0恒成立⇔x2＋2x＋a.,>0恒成立．
令y＝x2＋2x＋a.,，x∈[1，＋∞)，
则易知y＝(x＋1)2＋a.,－1在[1，＋∞)上递增，
∴当x＝1时，ymin＝3＋a.,
于是，当且仅当ymin＝3＋a>0时，
函数f(x)>0恒成立，故a>－3.
点评　单调函数在闭区间上必有最大值和最小值．如果f(x)在区间D上有定义，f(x)≥0或f(x)≤0恒成立，则当且仅当f(x)min≥0或f(x)ma.,x≤0成立．

若一次函数y＝f(x)在区间[－1,3]上的最小值为1，最大值为3，则f(x)的解析式为__________．
错解　设f(x)＝kx＋b (k≠0)，则可得，
解得.故f(x)＝x＋.
错因分析　出错的主要原因是对一次函数f(x)＝kx＋b (k≠0)的单调性没有掌握好．事实上，当k>0时，f(x)在R上为增函数；当k<0时，为减函数．而在本题的解答中，只考虑递增，却忽视了递减的情况．
正解　设f(x)＝kx＋b (k≠0)．
当k>0时，，解得.
当k<0时，，解得.
∴f(x)＝x＋或f(x)＝－x＋.
正确答案　f(x)＝x＋或f(x)＝－x＋

函数的单调性一直是高考考查的重点之一，在选择题、填空题中，主要考查单调性和最值的概念，题目特点是小、巧、活．解答题常涉及单调性和最值问题的代数推理题，综合性强、难度大．熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数，以及形如y＝x＋的函数的一些常见性质，归纳提炼其应用规律是很有必要的．
1．(福建高考)已知f(x)为R上的减函数，则满足f＞f(1)的实数x的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，0)∪(0,1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
解析　∵f(x)是R上的减函数，不等式f>f(1)等价于<1移项通分得：<0，
即>0.
则不等式解集为{x|x<0或x>1}．
答案　D
2．(浙江高考)设f(x)＝g(x)是二次函数．若f[g(x)]的值域是[0，＋∞)，则g(x)的值域是(　　)
A．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
B．(－∞，－1]∪[0，＋∞)
C．[0，＋∞)
D．[1，＋∞)
解析　

作出函数y=f(x)的图象，如图所示，又∵g(x)是二次函数且f[g(x)]的值域是[0，+∞)，设g(x)的值域为A，则(-1,0)中的任何元素x∉A且[0,1)⊆A，∴排除A，D.又g(x)作为二次函数，且值域不可能是B(-∞，-1]∪[0，+∞)，排除B.
答案　C

1．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈(－∞，－2]时是减函数，x∈[－2，＋∞)时是增函数，则f(1)等于(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．－3 B．13
C．7 D．由m而定的常数
答案　B
解析　∵对称轴为x＝，＝－2，∴m＝－8，
∴f(x)＝2x2＋8x＋3.∴f(1)＝13.
2．若区间[1，＋∞)是函数y＝(a－1)x2＋1与y＝的递减区间，则a的取值范围为(　　)
A．a>0 B．a>1
C．0≤a≤1 D．0 答案　D
解析　由题设知a－1≠0，a≠0.y＝(a－1)x2＋1为二次函数，y＝为反比例函数，由这两个函数的性质知，a满足，得0 3．函数y＝ax＋1 (a<0)在区间[0,2]上的最大值与最小值分别为(　　)
A．1；2a＋1 B．2a＋1；1
C．1＋a；1 D．1；1＋a.

答案　A
解析　a<0，所以一次函数在区间[0,2]上是减函数，当x＝0时，函数取得最大值为1；当x＝2时，函数取得最小值为2a＋1.
4．函数f(x)＝|x|和g(x)＝x(2－x)的递增区间分别是(　　)
A．(－∞，0]；(－∞，1] B．(－∞，0]；[1，＋∞)
C．[0，＋∞)；(－∞，1] D．[0，＋∞)；[1，＋∞)
答案　C
解析　首先作出函数y＝|x|与y＝x(2－x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1的图象(如图①②)．利用图象分别确定其单调区间．f(x)＝|x|的单调递增区间为[0，＋∞)，g(x)＝x(2－x)的单调递增区间为(－∞，1]．

5．函数f(x)＝的最大值为(　　)
A.11 B．6 C．4 D．不能确定,
答案　B
解析　求分段函数的最大值，应当先分段求出最大值，然后求出各段最大值中的最大值，就是整个函数在定义域上的最大值，也可以通过画函数图象的方法分析、判断、解决．,函数f(x)＝2x＋6在区间[－1,0]上是增函数，所以它的最大值为f(0)＝6；,函数f(x)＝2＋4在区间(0,1]上也是增函数，,所以它的最大值为f(1)＝＋4＝，,因为6>，故所求函数的最大值为6.
6.函数＝(3k＋1)x＋b在R上是减函数，k的取值范围是________．
答案　k<－
解析　3k＋1<0⇒k<－.
7.函数y＝|x2－2x－3|的单调递增区间是____________．
答案　[－1,1]，[3，＋∞)
解析　由y＝|x2－2x－3|的图象，直接得出递增区间．如图所示．
8.已知函数f(x)为区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x) 答案　－1≤x<
解析　由题设得，即－1≤x<.
9．讨论函数f(x)＝(－1 解　设－1 所以x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x－1)(x－1)>0.
所以当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1) 所以当a>0时，f(x)在(－1,1)上是减函数．
当a<0时，f(x)在(－1,1)上是增函数．
10．设函数f(x)＝x2－2x＋2 (其中x∈[t，t＋1]，t∈R)的最小值为g(t)，求g(t)的表达式．
解　

f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1，
(1)当t+1≤1，即t≤0时，截取减区间上的一段，g(t)=f(t+1)=t2+1，如图①所示．
(2)当1 (3)当t+1>2，即t>1时，截取增区间上的一段，g(t)=f(t)=t2-2t+2，如图③所示．

综上可知，g(t)＝

1． 3.1　单调性与最大(小)值(一)

学习目标
1．理解单调性的定义．
2．运用单调性的定义判断函数的单调性．

预习自测
1．一般地，设函数f(x)的定义域为I：
(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1 (2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．
(3)如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2．a.
>0时，二次函数y＝a.
x2的单调增区间为.
3．k>0时，y＝kx＋b在R上是增函数．
4．函数y＝的单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)
.

　　　　　一、利用图象求单调区间

例1　求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝3|x|；
(2)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
分析　由函数的图象来确定函数的单调性是一种直观、简单的方法，若图象从左向右连续上升(下降)，则称函数在该区间上是单调递增(减)的．
解　

图(1)
(1)∵f(x)＝3|x|
＝
图象如图(1)所示．
f(x)在(－∞，0]上是减函数，
在[0，＋∞)上是增函数．
(2)∵f(x)＝

图(2)
其图象如图(2)所示．
由此可知：y＝f(x)在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数．
y＝f(x)在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．
点评　函数的单调区间可以是开的，也可以是闭的，也可以是半开半闭的，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也单调．因此，只要单调区间端点使f(x)有意义，都可以使单调区间包括端点．但要注意，不连续的单调区间必须分开写，不能用“∪”符号连接它们．
变式迁移1　写出下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)；
(2)f(x)＝＋1.
解　(1)a>0时，递增区间为，
递减区间为；
a<0时，递增区间为，
递减区间为.

(2)f(x)=，如图所示：
∴单调递增区间为(0，+∞)，
递减区间为(-∞，0)．

　　　二、利用定义证明函数的单调性

例2　证明函数f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数．
分析　证明的关键是对f(x1)－f(x2)进行变形，尽量变形成几个最简单的因式的乘积形式．
证明　设0 f(x1)－f(x2)＝－
＝(x1－x2)＋
＝(x1－x2)＋＝，
∵00.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数．
点评　证明函数的单调性的常用方法是利用函数单调性的定义．其步骤为(1)取值(注意x1、x2的任意性)；(2)作差变形(目的是便于判断符号)；(3)判断差的符号；(4)写出结论．
变式迁移2　(1)例1中若区间改为(1，＋∞)，单调性如何改变？
(2)利用单调性的定义证明函数y＝在(－1，＋∞)上是减函数．
(1)解　单调递增
(2)证明　设x1>x2>－1，
则y1－y2＝－＝，
∵x1>x2>－1，∴x2－x1<0，x1＋1>0，x2＋1>0，
∴<0.即y1－y2<0，y1 ∴y＝在(－1，＋∞)上是减函数．

　　　　　三、函数单调性的应用

例3　已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围．
分析　解答本题可先将函数解析式配方，然后找出图象的对称轴，再考虑对称轴与所给区间的位置关系，利用数形结合求解．
解　f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2
＝[x＋(a－1)]2－(a－1)2＋2，
∴此二次函数的对称轴为x＝1－a.
∴f(x)的单调减区间为(－∞，1－a]．
∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，
∴对称轴x＝1－a.
必须在直线x＝4的右侧或与其重合．
∴1－a≥4，解得a≤－3.
点评　已知函数的单调性求参数的取值范围，要注意数形结合思想，采用逆向思维．
变式迁移3　本例中，若将函数“在区间(－∞，4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(－∞，4]”，则a为何值？
解　由题意知，f(x)的单调减区间为(－∞，1－a]，
∴1－a＝4，∴a＝－3.

1．函数的单调区间必须是定义域的子集．因此讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域．
2．研究函数的单调性，必须注意无意义的特殊点，如函数f(x)＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但不能说函数f(x)＝在定义域上是减函数．
3．求单调区间的方法：(1)图象法；(2)定义法；(3)利用已知函数的单调性．
4．用单调性的定义证明函数的单调性分四个主要步骤：
即“取值——作差变形——定号——判断”这四个步骤．
若f(x)>0，则判断f(x)的单调性可以通过作比的方法去解决，即“取值——作比变形——与1比较——判断”．

一、选择题
1．下列说法中正确的有(　　)
①若x1，x2∈I，当x1 ②函数y＝x2在R上是增函数；
③函数y＝－在定义域上是增函数；
④y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
A．0个　　　B．1个　　　C．2个　　　D．3个
答案　A
解析　函数的单调性的定义是指定义在区间I上任意两个值x1，x2，强调的是任意，从而①不对；②y＝x2在x≥0时是增函数，x<0时是减函数，从而y＝x2在整个定义域上不具有单调性；③y＝－在整个定义域内不是单调递增函数．如－3<5而f(－3)>f(5)；④y＝的单调递减区间不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，而是(－∞，0)和(0，＋∞)，注意写法．
2．设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1 A．f(x1)f(x2)
C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定
答案　D
解析　根据单调性定义，所取两个自变量是同一单调区间内的任意两个变量，才能由该区间上的函数单调性来比较出函数值的大小．
3．下列函数在区间(2，＋∞)上为减函数的为(　　)
A．y＝2x－7 B．y＝－
C．y＝－x2＋4x＋1 D．y＝x2－4x－3
答案　C
4．若函数f(x)＝x2＋2(a－2)x＋2在区间[4，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≤－2 B．a≥－2
C．a≥－6 D．a≤－6
答案　B
解析　对称轴x＝2－a≤4，得a≥－2.
5．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则(　　)
A．f(a)>f(2a) B．f(a2) C．f(a2＋a) 答案　D
解析　由a2＋1－a.
＝2＋，得a2＋1>a.

即f(a2＋1) 二、填空题
6．设x1，x2∈[a，b]，如果>0，则f(x)在[a，b]上是单调________函数，如果<0，则f(x)在[a，b]上是单调________函数．
答案　增　减
解析　单调性定义的应用
7．函数f(x)＝2x2－3|x|的单调递减区间是________________________________________________________________________．
答案　和
8．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是单调________函数．
答案　减
解析　由已知得a<0，b<0，y＝ax2＋bx对称轴为x＝－<0，开口向下，∴在(0，＋∞)上是单调减函数．
三、解答题
9．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，求f(1)的取值范围．
解　f(x)＝4x2－mx＋5的单调递增区间为，由已知可知：≤－2，∴m≤－16.
从而f(1)＝9－m≥25.
10．求证：函数y＝在区间(1，＋∞)上为单调减函数．
证明　任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1 f(x1)－f(x2)＝－＝，
因为1 所以(x1－1)(x2－1)>0，x2－x1>0，
故f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以函数y＝在区间(1，＋∞)上为单调减函数．
1．3.1　单调性与最大(小)值(二)

学习目标
1．通过对一些熟悉函数图象的观察、分析，理解函数最大值、最小值的定义．
2．会利用函数的单调性求函数的最值．

自学导引
1．最大值的概念
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．
2．最小值的概念
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最小值．
3．函数f(x)＝x2＋2x＋1 (x∈R)有最小值，无最大值．若x∈[0,1]，则f(x)最大值为4，最小值为1.
4．函数f(x)＝在定义域上无最值．(填“有”或“无”)

　　　　一、图象法求函数的最值

例1　已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值；
（1）x∈R；　(2)[0,3]；　(3)[－1,1]．
分析　求函数的最大值、最小值问题，首先考虑定义域，由于是二次函数，可以采用配方法和图象法求解．
解　

f(x)=3x2-12x+5
=3(x-2)2-7.
(1)当x∈R时，
f(x)=3(x-2)2-7≥-7，
当x=2时，等号成立．
即函数f(x)的最小值为-7，无最大值．
(2)函数f(x)=3(x-2)2-7的图象如图所示，由图可知，函数f(x)在[0,2)上递减，在[2,3]上递增，并且f(0)=5，f(2)=-7，f(3)=-4，所以在[0,3]上，函数f(x)=3(x-2)2-7在x=0时取得最大值，最大值为5，在x=2时，取得最小值，最小值为-7.
(3)由图象可知，在[-1,1]上单调递减，
f(x)max=f(-1)=20，f(x)min=f(1)=-4.
点评　探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y=f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．
变式迁移1　求f(x)=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最大值和最小值．
解　f(x)=(x-a)2-1-a.2，对称轴为x=a.
.

①当a<0时，由图①可知，
f(x)min=f(0)=-1，f(x)max=f(2)=3-4a.
②当0≤a<1时，由图②可知，
f(x)min=f(a)=-1-a2，f(x)max=f(2)=3-4a.
③当1≤a≤2时，由图③可知，
f(x)min=f(a)=-1-a2，f(x)max=f(0)=-1.
④当a>2时，由图④可知，
f(x)min=f(2)=3-4a，f(x)max=f(0)=-1.

　　　　二、利用单调性求函数最值

例2　已知函数f(x)＝ (x∈[2，＋∞))，求f(x)的最小值．
分析　求最值问题往往依赖于函数的单调性，由于这个函数并不是我们所熟悉的函数，可考虑先判断一下单调性，再求最值．
解　任取x1，x2∈[2，＋∞)，
且x1 则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)
∵x1 又∵x1≥2，x2>2，∴x1x2>4,1－>0
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1) 故f(x)在[2，＋∞)上是增函数．
∴当x＝2时，f(x)有最小值，即f(2)＝.
点评　运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法．
变式迁移2　求函数f(x)＝在区间[2,5]上的最大值与最小值．
解　任取2≤x1 则f(x1)＝，f(x2)＝，
f(x2)－f(x1)＝－＝，
∵2≤x10，x1－1>0.
∴f(x2)－f(x1)<0.∴f(x2) ∴f(x)＝在区间[2,5]上是单调减函数．
∴f(x)max＝f(2)＝＝2.
f(x)min＝f(5)＝＝.

　　　　　三、实际问题中的最值

例3　绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低0.05元，则可多销售40瓶．在每月的进货当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方案：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶，才可获得最大利润？
解　设销售价为x元/瓶，则根据题意(销售量等于进货量)，正好当月销售完的进货量为
×40＋400＝400(9－2x)(瓶)．
此时所得的利润为
f(x)＝400(9－2x)(x－3)＝400(－2x2＋15x－27)(元)．
根据函数性质，当x＝＝3.75(元)时，f(x)取得最大值450(元)．
这时进货量为400(9－2x)＝400＝600(瓶)，获得最大利润450元．
点评　解应用题要从实际问题出发，引进数学符号，建立函数关系式．然后再利用数学知识使问题得以解决．这个过程实际上就是建立数学模型的一种简单情形．
一般步骤：(1)阅读理解材料(先看应用背景，再找寻相关量的关系)；(2)建立函数关系；(3)讨论变量性质；(4)得出问题结论．
变式迁移3　将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润是多少？
解　设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，
销售减少10(x－50)个，
∴y＝(x－40)(1 000－10x)＝－10(x－70)2＋9 000
∴当x＝70时，y最大，ymax＝9 000.
∴售价70元时，利润最大为9 000元．

1．求函数的最值，若能作出函数的图象，由最值的几何意义不难得出．
2．运用函数的单调性求最值是求最值的重要方法，特别是函数图象作不出来时，单调性几乎成为首选方法．
3．在实际应用中，应根据问题的实际背景，考虑到定义域的特殊情形去求函数的最值．

一、选择题
1．函数y＝x2－2x＋2在[－2,2]上最大值、最小值为(　　)
A．10,2 B．10,1
C．2,1 D．以上都不对
答案　B
2．函数y＝ax＋1 (a<0)在区间[0,2]上的最大值与最小值分别为(　　)
A．1；2a＋1 B．2a＋1；1
C．1＋a；1 D．1；1＋a.

答案　A
解析　a<0，所以一次函数在区间[0,2]上是减函数，当x＝0时，函数取得最大值为1；当x＝2时，函数取得最小值为2a＋1.
3．当x∈(0,5]时，函数f(x)＝3x2－4x＋c的值域为(　　)
A．[f(0)，f(5)] B.
C. D．[c，f(5)]
答案　C
解析　画图象可知．
4．函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值为(　　)
A．10,6 B．10,8 C．8,6 D．以上都不对
答案　A
解析　画图象可知．
5．函数f(x)＝的最大值是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　f(x)＝≤.
二、填空题
6．函数y＝－，x∈[－3，－1]的最大值与最小值的差是________．
答案　
7．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a.
答案　－2,0
解析　y＝－(x－3)2＋18，∵a ∴在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9，得b＝0，
－a2＋6a＋9＝－7，得a＝－2.
8．已知f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间x∈[1,5]上的最小值为f(5)，则a的取值范围为________．
答案　a≤－4
解析　由对称轴方程为x＝1－a.
∵区间x∈[1,5]上的最小值为f(5)，
∴1－a≥5，得a≤－4.
三、解答题
9．求函数y＝在区间[1,2]上的最大值和最小值．
解　任取x1，x2，且1≤x1 f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝
因为1≤x1 即6<3(x1＋x2)<12，又10，
故f(x1)－f(x2)>0，即y1>y2.
所以函数y＝在区间[1,2]上为减函数，
ymax＝f(1)＝－，ymin＝f(2)＝－4.
10．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
解　(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
∵x∈[－5,5]，故当x＝1时，f(x)的最小值为1.
当x＝－5时，f(x)的最大值为37.
(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2图象的对称轴为x＝－a.
∵f(x)在[－5,5]上是单调的，故－a≤－5，或－a≥5.
即实数a的取值范围是a≤－5，或a≥5.
1.3.2　奇偶性

1．函数奇偶性的定义
一般地，如果对于函数f(x)的定义域D内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
一般地，如果对于函数f(x)的定义域D内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
理解函数的奇偶性要注意以下四点：
(1)函数的奇偶性与单调性的差异．奇偶性是函数在定义域上的对称性，单调性是反映函数在某一区间上函数值的变化趋势．奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同，从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对定义域中的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)[或f(－x)＝f(x)]，才能说f(x)是奇(偶)函数．
(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．由函数奇偶性的定义知，若x是定义域中的一个数值，则－x必然在定义域中，因此，函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域在数轴上所示的区间关于原点对称．换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则函数一定不具有奇偶性．如函数y＝2x在(－∞，＋∞)上是奇函数，但在[－2,3]上则无奇偶性可言．
(3)既奇又偶函数的表达式是f(x)＝0，x∈A，定义域A是关于原点对称的非空数集．
(4)若奇函数在原点处有定义，则有f(0)＝0.
2．用定义判断函数奇偶性的一般步骤及方法
函数根据奇偶性分为：奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．
(1)要判断一个函数是否具有奇偶性，应按照函数奇偶性的定义，先判断这个函数的定义域是否关于原点对称(因为一个函数的定义域不关于原点对称，那么这个函数既不是奇函数也不是偶函数，即函数的定义域关于原点对称是这个函数具有奇偶性的前提条件)，然后再确定f(－x)与f(x)的关系：①若f(－x)＝－f(x)，则此函数为奇函数；②若f(－x)＝f(x)，则此函数为偶函数；③若f(－x)＝－f(x)，同时f(－x)＝f(x)，则此函数为既奇又偶函数．
(2)在判断f(－x)与f(x)的关系时，可以从f(－x)开始化简，也可以去考虑f(－x)＋f(x)或f(－x)－f(x)是否为0，当f(x)不等于0时也可考虑，与1或－1的关系．
3．奇、偶函数的图象特征
(1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形．反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
(2)如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴成轴对称图形．反之，如果一个函数的图象关于y轴成轴对称图形，则这个函数是偶函数．
(3)由于奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，因而研究这类函数的性质时，只需通过研究函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上的情形，便可推断出函数在整个定义域上的性质(或图象)．
(4)从奇、偶函数图象可以看出：奇函数在对称的两个区间上的单调性是一致的；偶函数在称的两个区间上的单调性是相反的
.

　　　　题型一　函数奇偶性的判定

判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋2x；　　　(2)f(x)＝2x4＋3x2；
(3)f(x)＝x2＋2x＋5; (4)f(x)＝x2，x∈(0，＋∞)；
(5)f(x)＝.
分析　本题主要考查函数的奇偶性的判断，根据定义，应注意两个方面：
(1)函数中有奇函数，也有偶函数，但是还有些函数既不是奇函数也不是偶函数，只有f(x)＝0 (x∈R或x∈(－a，a)，a>0)既是奇函数又是偶函数．
(2)从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数，首先其定义域关于原点对称，其次f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)必有一成立．
解　(1)函数的定义域为R，关于坐标原点对称，对于定义域内的每一个x，有f(－x)＝(－x)3＋2(－x)＝－(x3＋2x)＝－f(x)，所以函数f(x)＝x3＋2x是奇函数．
(2)函数的定义域为R，关于坐标原点对称，对于定义域内的每一个x，有f(－x)＝2(－x)4＋3(－x)2＝2x4＋3x2＝f(x)，所以函数f(x)＝2x4＋3x2是偶函数．
(3)函数的定义域为R，关于坐标原点对称，对于定义域内的每一个x，有f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋5＝x2－2x＋5，所以f(－x)≠f(x)，且f(－x)≠－f(x)，所以函数f(x)＝x2＋2x＋5既不是奇函数也不是偶函数．
(4)函数的定义域为(0，＋∞)，不关于坐标原点对称，所以函数f(x)＝x2，x∈(0，＋∞)既不是奇函数也不是偶函数．
(5)函数的定义域为{x|x∈R且x≠1}，并不关于原点对称．所以函数f(x)＝既不是奇函数也不是偶函数．
点评　对于整式函数f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn (n∈N＋)，若解析式中只含有x的偶次方项(a0可看成a0x0，即a0可看做是x0的系数，也就是说a0也是x的偶次方项的系数)，x的奇数次方项的系数都为零，则f(x)为偶函数；若f(x)的解析式中只有x的奇次方项(偶次方项的系数都为0，包括a0＝0)．则f(x)为奇函数；若奇次方项与偶次方项均存在，则f(x)为非奇非偶函数，尤其要注意在判断之前一定要先看定义域是否关于原点对称，如第(5)小题容易先化简成f(x)＝x2，忽视定义域得出偶函数的结论．
判断分段函数f(x)＝的奇偶性．
分析　本题若画出图象，可直观形象地看出其奇偶性，但是不严格；利用定义判断此函数的奇偶性，需分x∈(－6，－1]、x∈[1,6)两种情况说明．
解　f(x)的定义域为(－6，－1]∪[1,6)，关于原点对称．
当x∈(－6，－1]时，－x∈[1,6)，
f(－x)＝(－x－5)2－4＝(x＋5)2－4＝f(x)；
当x∈[1,6)时，－x∈(－6，－1]，
f(－x)＝(－x＋5)2－4＝(x－5)2－4＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－6，－1]∪[1,6)，
都有f(－x)＝f(x)．
故f(x)是偶函数．
点评　分段函数的奇偶性应分段判断f(－x)与f(x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时才能判断其奇偶性．

　　　　题型二　奇、偶函数的图象

已知y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示，则函数F(x)＝f(x)·g(x)的图象可以是(　　)

解析　由图象可知函数y=f(x)与y=g(x)均为奇函数．
f(-x)=-f(x)，g(-x)=-g(x)，F(x)=f(x)·g(x)=[-f(-x)]·[-g(-x)]=F(-x)．所以函数F(x)=f(x)·g(x)为偶函数．注意到函数y=f(x)的图象在y轴右侧部分先小于0后大于0，而函数y=g(x)在右侧部分恒大于0，满足以上条件的只有A.
答案　A
点评　由函数图象判断函数奇偶性是一项基本要求与基本能力．本题是判断奇函数、偶函数积的奇偶性，结合图象中所凸显的特征(如函数的定义域、与x轴的交点、图象是在x轴的上方还是下方)，将图象信息用于分析函数的单调性、奇偶性等函数特征．因此在平时的训练中要加强对图象的识别能力和结合函数性质分析图象的能力．

　　　题型三　函数单调性、奇偶性的
综合应用

设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[－2,0]上单调递减，若f(1－m) 分析　已知条件较多，充分利用已知条件：f(1－m) 解　因为f(x)在[－2,2]上为偶函数，f(1－m) 所以即
解得点评　(1)满足函数关系式的自变量首先应在定义域内，这是一个很容易被忽视的问题，要加以重视；
(2)在解抽象函数中参数的范围时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉．
(3)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论．

判断函数f(x)＝(x－1)的奇偶性．
错解　将解析式变形为：
f(x)＝－＝－
＝－，
∴f(－x)＝－＝－，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
错因分析　没有考查函数定义域的对称性．
正解　函数f(x)的定义由≥0知－1≤x<1.
因为定义域不关于原点对称，所以此函数为非奇非偶函数．

高考要求掌握函数奇偶性的概念．从考查形式上看：一方面考查函数奇偶性定义的应用，属于试卷中的容易题，注重概念的娴熟应用；另一方面综合考查函数的性质(单调性、奇偶性等)，一般属于试卷中的中档题，注重对概念的深刻理解，注重对数学思想方法及能力的考查．
1．(全国高考)函数f(x)＝－x的图象关于(　　)
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
解析　∵f(x)＝－x，
∴f(－x)＝－＋x＝－＝－f(x)．
∴f(x)是一个奇函数．∴f(x)的图象关于原点对称．
答案　C
2．(湖北高考)已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于(　　)
A．－2 B．2 C．－98 D．98
解析　f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，f(7)＝f(7－8)
＝f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2.
答案　A
3．(上海高考)已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)若f(x)在[2，＋∞)上是增函数，求实数a的范围．
解　(1)当a＝0时，f(x)＝x2，
对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
当a≠0时，f(x)＝x2＋ (a≠0，x≠0)，
取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，
f(－1)－f(1)＝－2a≠0，
∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，
∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(2)方法一　设2≤x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝x＋－x－
＝·[x1x2(x1＋x2)－a]，
要使函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，
必须f(x1)－f(x2)＜0恒成立．
∵x1－x2＜0，x1x2＞4，即a＜x1x2(x1＋x2)恒成立．
又∵x1＋x2＞4，∴x1x2(x1＋x2)＞16.
∴a的取值范围是(－∞，16]．
方法二　当a＝0时，f(x)＝x2，显然在[2，＋∞)上为增函数．
当a＜0时，反比例函数在[2，＋∞)上为增函数，
∴f(x)＝x2＋在[2，＋∞)上为增函数．
当a＞0时，同方法一
.
1．下列函数既是奇函数又是偶函数的是(　　)
A．f(x)＝＋
B．f(x)＝＋
C．f(x)＝
D．f(x)＝
答案　A
解析　∵选项A中，f(x)＝0，x∈{－1,1}
∴该函数既是奇函数又是偶函数
2．下列说法错误的个数为(　　)
①图象关于原点对称的函数是奇函数；
②图象关于y轴对称的函数是偶函数；
③奇函数的图象一定过原点；
④偶函数的图象一定与y轴相交．
A．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　D．0
答案　C
解析　①②正确．
3．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案　B
解析　由f(x＋2)＝－f(x)知
f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
故知函数y＝f(x)的周期为4，
∴f(6)＝f(4＋2)＝f(2)＝－f(0)．
∵f(x)是R上的奇函数，易知f(0)＝0，
∴f(6)＝－f(0)＝0.
4．设f(x)是R上的奇函数，并且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋)，那么当x∈(－∞，0)时，f(x)等于(　　)
A．－x(1＋) B．x(1＋)
C．－x(1－) D．x(1－)
答案　D
解析　设x∈(－∞，0)，那么－x∈(0，＋∞)，
则f(－x)＝－x(1＋)＝－x(1－)．
∵f(x)是R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x(1－)．
即f(x)＝x(1－) (x<0)．
5．如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是(　　)
A．增函数且最小值为－5 B．增函数且最大值为－5
C．减函数且最小值为－5 D．减函数且最大值为－5
答案　B
6．函数f(x)是定义域为实数集R的偶函数，它在区间[0，＋∞)上是增函数，若f(m)≥f(－2)，则实数m的取值范围为____________．
答案　(－∞，－2]∪[2，＋∞)
解析　方法一　函数f(x)是实数集R上的偶函数，其在[0，＋∞)上是增函数，所以f(x)在(－∞，0)上是减函数．
当m<0时，由f(m)≥f(－2)，知m≤－2；
当m≥0时，由f(－2)＝f(2)，从而f(m)≥f(－2)＝f(2)，知m≥2.
故所求的m的取值范围为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
(本题容易忽视对m的讨论)．
方法二　f(x)是实数集R上偶函数，
∴f(m)≥f(－2)⇔f(|m|)≥f(2)⇔|m|≥2.
∴m≥2或m≤2.
7．定义在R上的奇函数f(x)和g(x)，满足F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2，且F(x)在区间(0，＋∞)上的最大值是5，则F(x)在(－∞，0)上的最小值为________．
答案　－1
解析　∵F(x)＋F(－x)＝af(x)＋bg(x)＋2＋af(－x)＋bg(－x)＋2＝af(x)＋bg(x)－af(x)－bg(x)＋4＝4，
当x<0时，F(x)＝4－F(－x)，而－x>0，F(－x)≤5，
∴－F(－x)≥－5，∴F(x)≥－1.
∴F(x)在(－∞，0)上的最小值为－1.
8．判断函数f(x)＝的奇偶性，并加以证明．
解　函数是偶函数，证明如下：
当x>0时，f(x)＝x＋1，－x<0，f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝f(x)；当x＝0时，f(－x)＝f(x)＝1；当x<0时，f(x)＝－x＋1，－x>0，f(－x)＝－x＋1＝f(x)，
∴对任意x∈R，f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数．
9．已知函数y＝f(x)是偶函数，在x∈(0，＋∞)上递减，且f(x)<0，试问F(x)＝在(－∞，0)上是增函数还是减函数，并证明之．
解　F(x)是(－∞，0)上的减函数．
证明如下：
任取x2 ∵f(x)在x∈(0，＋∞)上递减，且f(x)<0，
∴f(－x2) ∵y＝f(x)是偶函数，∴f(x2) ∴－＝.
∵f(x2) 即F(x1) ∴F(x)是(－∞，0)上的减函数．
10．已知函数f(x)，当x、y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)如果x>0，f(x)<0，并且f(1)＝－，试求f(x)在区间[－2,6]上的最值．
分析　本题的关键条件是f(x)满足一个恒等式：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，根据需要，充分利用这一恒等式，灵活地对x、y给予不同的值进行变换，以达到证明所需结论的目的．
(1)证明　函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．
∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x，x、－x∈R，
∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．
令x＝y＝0，∴f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0.
∴f(x)＋f(－x)＝0，得f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
(2)解　设x、y为两个正实数，∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
∴f(x＋y)－f(x)＝f(y)．
∵x>0，f(x)<0.∴f(x＋y)－f(x)<0.
∴f(x＋y) ∵x＋y>x，∴f(x)在(0，＋∞)是减函数．
又∵f(x)为奇函数，f(0)＝0，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．
∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值．
∵f(1)＝－，∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，
f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.
∴f(x)在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.
1．3.2　奇偶性(一)

学习目标
1．掌握函数的奇偶性的定义和判断方法．
2．理解奇函数和偶函数的图象的特点．

自学导引
1．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
2．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称
.

　　　　　一、判断函数的奇偶性

例1　判断下列函数的奇偶性，并说明理由．
(1)f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝.
分析　解答本题应首先判定函数定义域是否关于原点对称，然后根据定义判定．
解　(1)由于f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]的定义域不是关于原点对称的区间，因此，f(x)是非奇非偶函数．
(2)f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(－1)＝0，
f(1)＝0，所以f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，
所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)由题易知函数f(x)的定义域{x|x≠0}，关于原点对称，
①当x>0时，－x<0，
∴f(－x)＝(－x)[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x)．
②当x<0时，－x>0，
∴f(－x)＝(－x)[1＋(－x)]＝－x(1－x)＝－f(x)．
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
点评　判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：
(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．
(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．
另外，还有如下性质可判定函数奇偶性：
偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数，奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．
(注：利用以上结论时要注意各函数的定义域)
变式迁移1　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝－|x|；
(2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；
(3)f(x)＝.
解　(1)既奇又偶函数．∵f(x)＝0，∴f(－x)＝0.
∴f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)．
(2)函数的定义域为(－∞，＋∞)，
∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|
＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，
∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数．
(3)f(x)的定义域为R.
①当x＝0时，－x＝0，f(x)＝f(0)＝0，f(－x)＝f(0)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)．
②当x>0时，－x<0，
∴f(－x)＝－(－x)2－2(－x)－3
＝－(x2－2x＋3)＝－f(x)．
③当x<0时，－x>0，
∴f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3
＝－(－x2－2x－3)＝－f(x)．
由①②③可知，当x∈R时，都有f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．

　　　　二、奇、偶函数图象的特征

例2　设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________．

分析　利用奇函数图象的性质，画出函数在[-5,0]上的图象，直接从图象中读出信息．
解　

图2
由原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0,5]上的图象，得它在[－5,0]上的图象，如图2所示．由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．
点评　利用奇、偶函数图象的对称性，可以画出图象的另一半，从而可以节省时间．
变式迁移2　下列图中，只画出了函数图象的一半，请你画出它们的另一半，并说出画法的依据.

解　可依据函数的奇偶性画图．图(1)中函数y＝x－1为奇函数，它的图象关于原点对称，图(2)中函数y＝－x3为奇函数，图象关于原点对称，图(3)中函数y＝x2＋1为偶函数，图象关于y轴对称，图(4)中函数y＝－x4为偶函数，图象关于y轴对称，所以它们的图象如图所示．

三、利用函数的奇偶性求函数的解析式

例3　已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋3x－1，求f(x)的解析式．
分析　由奇函数的定义知f(0)＝0，再由f(－x)＝－f(x)可得当x<0时f(x)的表达式，构成定义在R上的奇函数．
解　∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．∵当x<0时，－x>0，
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋3(－x)－1]
＝－x2＋3x＋1.
又奇函数f(x)在原点有定义，∴f(0)＝0.
∴f(x)＝
点评　在求函数的解析式时，应紧扣题目中的已知条件，当求自变量在不同区间上的不同表达式时，要用分段函数的形式来表示．同时解题时不能漏掉x＝0这种特殊情况．
变式迁移3　已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x|x－2|，求x<0，f(x)的表达式．
解　设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝－x|－x－2|＝－x|x＋2|.
又f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x|x＋2|，
∴f(x)＝x|x＋2|.
故当x<0时，f(x)的表达式为f(x)＝x|x＋2|.

1．在奇函数与偶函数的定义域中，都要求x∈D，－x∈D，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于坐标原点对称．如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数的条件．
2．解题中可以灵活运用f(x)±f(－x)＝0对奇偶性作出判断．
3．奇函数f(x)若在x＝0处有意义，则必有f(0)＝0.
4．奇函数、偶函数的图象特点反映了数和形的统一性．

一、选择题
1．已知函数f(x)＝ (x≠0)，则这个函数(　　)
A．是奇函数
B．既是奇函数又是偶函数
C．是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
答案　C
解析　∵x≠0，∴f(－x)＝＝＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
2．奇函数y＝f(x) (x∈R)的图象必过点(　　)
A．(a，f(－a))　　　　　B．(－a，f(a))
C．(－a，－f(a)) D.
答案　C
解析　∵y＝f(x)是奇函数，过(－a，f(－a))点，
而f(－a)＝－f(a)
∴y＝f(x)过点(－a，－f(a))
3．若f(x)在[－5,5]上是单调奇函数，且f(3) A．f(－1)>f(－3) B．f(0)>f(1)
C．f(2) 答案　B
解析　∵f(x)在[－5,5]上是单调奇函数，且f(3) ∴f(x)在[－5,5]上是减函数，
∵0<1，∴f(0)>f(1)．
4.

如图是一个由集合A到集合B的映射，这个映射表示的是(　　)
A．奇函数而非偶函数
B．偶函数而非奇函数
C．奇函数且偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
答案　C
解析　因为f(x)＝0，x∈{－2,2}，满足f(－x)＝±f(x)．
所以该映射表示的既是奇函数又是偶函数．
5．若f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
答案　A
解析　∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
即ax2－bx＋c＝a.
x2＋bx＋c，∴b＝0，
此时g(x)＝ax3＋cx (a≠0)，
由于g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)
＝－(ax3＋cx)＝－g(x)，
∴g(x)是奇函数．
二、填空题
6．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，其定义域为[a－1,2a]，则a的值为________．
答案　
解析　∵偶函数的定义域关于原点对称，
∴a－1＝－2a，a＝.
7．下列四个结论：①偶函数的图象一定与纵轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)＝0 (x∈R)；④偶函数的图象关于y轴对称，其中正确的命题有________个．
答案　1
解析　①错误，如偶函数f(x)＝的图象与纵坐标轴不相交．
②错误，如奇函数f(x)＝不过原点．
③错误，如f(x)＝0，x∈[－1,1]，既是奇函数又是偶函数．
④正确．
8．设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，则a＝______.
答案　－1
解析　f(x)＝x2＋(a＋1)x＋a对称轴x＝－
∴－＝0，a＝－1.
三、解答题
9．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝x4＋x；
(3)f(x)＝
解　(1)定义域为，不关于原点对称．
该函数既不是奇函数也不是偶函数．
(2)定义域为R，关于原点对称，
且f(－x)＝x4－x≠x4＋x，
f(－x)＝x4－x≠－(x4＋x)，
故其既不是奇函数也不是偶函数．
(3)定义域为R，关于原点对称．
当x>0时，－x<0，
f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；
当x＝0时，f(0)＝0.
故该函数为奇函数．
10．已知f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)作出函数f(x)的图象．
解　(1)设x<0，由于f(x)是奇函数，
故f(x)＝－f(－x)，又－x>0，
由已知有f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1
＝－2x2－3x＋1.
所以－f(－x)＝2x2＋3x－1.又f(0)＝0，
从而解析式为f(x)＝
(2)函数图象如下图所示：

1．3.2　奇偶性(二)

学习目标
1．巩固函数奇偶性的性质，并能熟练应用．
2．能利用函数的奇偶性、单调性解决一些综合问题．

自学导引
1．定义在R上的奇函数，必有f(0)＝0.
2．若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是增函数，且有最小值－M.
3．若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则有f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
4．下列论断正确的为________(填序号)．
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数；
(2)如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称；
(3)如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数；
(4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为偶函数．
答案　(2)(4)
5．函数f(x)＝|x|的奇偶性为________，单调递增区间为________，单调递减区间为__________．
答案　偶函数　[0，＋∞)　(－∞，0]
6．函数f(x)＝x|x|的奇偶性为__________，单调递增区间为____________．
答案　奇函数　(－∞，＋∞)

　　　　一、利用奇偶性求函数值

例1　(1)已知函数f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，求f(2)的值；
(2)已知f(x)、g(x)均为奇函数，且F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值5，求F(x)在(－∞，0)上的最小值．
分析　(1)因为2与－2互为相反数，因此可以考虑利用函数的奇偶性来解决．(2)构造一个函数，使其具备奇偶性，运用奇、偶函数的性质加以解决．
解　(1)令g(x)＝x5＋ax3＋bx，则f(x)＝g(x)－8.
∵f(－2)＝10，∴g(－2)＝18.
又∵g(－x)＝－x5－ax3－bx＝－g(x)．
∴g(x)为奇函数．∴g(2)＝－g(－2)＝－18.
∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.
(2)∵f(x)、g(x)均为奇函数，
∴F(x)－2＝af(x)＋bg(x)亦为奇函数，且在(0，＋∞)上有最大值3.
根据奇函数的性质，
F(x)－2＝af(x)＋bg(x)在(－∞，0)上有最小值－3.
∴F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(－∞，0)上有最小值－1.
点评　对于一些抽象函数或系数中含有多个参数的函数求值问题的解决方法是，通过构造一个具有奇偶性的函数，利用奇、偶函数的对称规律来解决问题．
变式迁移1　若f(x)＝ax7＋bx5＋cx3＋dx＋8，f(－5)＝－15，求f(5)的值．
解　令g(x)＝ax7＋bx5＋cx3＋dx，
则g(－x)＝－g(x)，所以f(－x)＝－g(x)＋8.
又f(－5)＝－g(5)＋8，
所以g(5)＝8－f(－5)＝8－(－15)＝23.
所以f(5)＝g(5)＋8＝31.

二、函数的单调性、奇偶性之间的联系

例2　已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数．
求证：f(x)在(－∞，0)上是减函数．
分析　解答本题关键是将x<0转化为x>0，利用f(x)在(0，＋∞)上的递减性来证明．
证明　设x1－x2>0，
∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴f(－x1) 又∵f(x)是奇函数，∴－f(x1)<－f(x2)，
即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(－∞，0)上是减函数．
点评　由奇函数或偶函数的图象特点，容易得到它们单调性的对称规律，这一规律对于不同区间内的自变量对应的函数值比较大小时，作用很大．
在证明这一规律以及与对称性有关的题目时，巧妙利用变量对称进行转化是重要的手段之一．
变式迁移2　若f(x)是偶函数，在(0，＋∞)上是减函数，则f(x)在(－∞，0)上是增函数还是减函数？
解　f(x)在(－∞，0)上是增函数．证明如下：
设x1－x2>0，
∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴f(－x1) 又∵f(x)是偶函数，∴f(x1) ∴f(x)在(－∞，0)上是增函数．

三、函数的奇偶性、单调性的综合应用

例3　函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数；
(3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0.
(1)解　∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，即＝.
∴b＝－b，b＝0.
∵f＝，∴＝，∴a＝1.
∴函数解析式为f(x)＝ (－1 (2)证明　任取x1，x2∈(－1,1)，且x1 f(x1)－f(x2)＝－
＝，
∵－1 ∴x1－x2<0,1－x1x2>0，(1＋x)(1＋x)>0，
∴f(x1)－f(x2)<0.
∴f(x)为(－1,1)上的增函数．
(3)解　∵f(t－1)＋f(t)<0，∴f(t－1)<－f(t)．
∵f(－t)＝－f(t)，∴f(t－1) ∵f(x)为(－1,1)上的增函数，
∴　解得0 ∴不等式的解集为.
点评　解决抽象函数不等式，关键是在明确单调性的基础上，脱去抽象符号“f”，且勿忽略变量的定义域．
变式迁移3　设定义域在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递增，若f(1－m)>f(m)，求实数m的取值范围．
解　由f(x)为奇函数且在[0,2]上单调递增，
得f(x)在[－2,0]上也递增，
∴，即－1≤m<.

1．函数的奇偶性是相对于定义域来说的，这一点与函数的单调性不同，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质．
2．奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数则相反．
3．函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用．

一、选择题
1．对于定义在R上的任何奇函数f(x)都有(　　)
A．f(x)－f(－x)>0 B．f(x)－f(－x)≤0
C．f(x)·[－f(－x)]≤0 D．f(x)·[－f(－x)]≥0
答案　D
解析　∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)
∴f(x)·[－f(－x)]＝f2(x)≥0
2．已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是(　　)
A．4 B．2 C．1 D．0
答案　D
解析　根据偶函数图象关于y轴对称知，四个交点的横坐标是两对互为相反数的数，因此它们的和为0.
3．已知f(x)＝ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，那么f(2)等于(　　)
A．－26 B．－18 C．－10 D．10
答案　A
解析　∵f(x)＋f(－x)＝－16
∴f(2)＋f(－2)＝－16
∴f(2)＝－26.
4．若奇函数f(x)在[1,3]上为增函数，且有最小值0，则它在[－3，－1]上(　　)
A．是减函数，有最小值0 B．是增函数，有最小值0
C．是减函数，有最大值0 D．是增函数，有最大值0
答案　D
解析　由于奇函数的图象关于原点成中心对称，故奇函数的图象在对称区间上具有相同的单调性，且一侧的最小值对应另一侧的最大值，故选D.
5．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)
A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π) 答案　A
解析　因为当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，所以有f(2) 二、填空题
6．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0)上是减函数，且f(2)＝0，则使f(x)<0的x的取值范围是________．
答案　(－2,2)
解析　∵f(x)是R上的偶函数，在(－∞，0)上是减函数．
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数且f(－2)＝0.
∴f(x)<0的x的取值范围是(－2,2)．
7．定义在(－1,1)上的奇函数f(x)＝，则常数m、n的值分别为________．
答案　0,0
解析　由f(0)＝0知m＝0.由f(x)是奇函数知f(－x)＝－f(x)，即＝－，
∴x2－nx＋1＝x2＋nx＋1，∴n＝0.
∴f(x)＝.
8．若f(x)是偶函数，其定义域为R且在[0，＋∞)上是减函数，则f与f(a2－a＋1)的大小关系是________．
答案　f(a2－a＋1)≤f
解析　显然a2－a＋1≥.又∵f(x)在[0，＋∞)上是减函数，
∴f(a2－a＋1)≤f.又f(x)是偶函数，
∴f＝f，∴f(a2－a＋1)≤f.
三、解答题
9．设函数f(x)是定义在(－2,2)上的减函数，且f(x)为奇函数，f(m－1)＋f(2m－1)>0，求实数m的取值范围．
解　∵f(－x)＝－f(x)，则由f(m－1)＋f(2m－1)>0，
得f(m－1)>－f(2m－1)，即f(m－1)>f(1－2m)．
又f(x)是定义在(－2,2)上的减函数，
故　解得－故实数m的取值范围是.